Division euclidienne et divisibilité
Une boulangerie de Dijon a 250 croissants à ranger dans des boîtes de 12. Combien de boîtes sera-t-on capable de remplir complètement ? Et combien de croissants resteront-ils sur le comptoir ? C'est exactement ce que permet de calculer la division euclidienne. À la fin de la page, tu sauras répondre.
Division euclidienne : quotient et reste
Quand on partage en parts égales, il reste parfois des objets qu'on ne peut pas répartir. La division euclidienne donne le nombre de parts entières et ce qui reste.
La condition $r < b$ est essentielle : si le reste était plus grand que le diviseur, on pourrait encore faire une part de plus.
Effectuer la division euclidienne de $487$ par $12$. Écrire l'égalité correspondante.
Effectuer la division euclidienne de $487$ par $12$. Écrire l'égalité correspondante.
Une boulangerie de Dijon a $250$ croissants à ranger dans des boîtes de $12$. a) Combien de boîtes pleines peut-on remplir ? b) Combien de croissants restent-ils ? c)…
Une boulangerie de Dijon a $250$ croissants à ranger dans des boîtes de $12$.
- a) Combien de boîtes pleines peut-on remplir ?
- b) Combien de croissants restent-ils ?
- c) Combien de boîtes faut-il pour tout ranger ?
Dans la division euclidienne de $a$ par $17$, le quotient est $23$ et le reste est $9$. a) Calculer $a$. b) Quel est le plus petit nombre à ajouter à $a$ pour obtenir un…
Dans la division euclidienne de $a$ par $17$, le quotient est $23$ et le reste est $9$.
- a) Calculer $a$.
- b) Quel est le plus petit nombre à ajouter à $a$ pour obtenir un multiple de $17$ ?
Multiples, diviseurs et divisibilité
Si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est $0$, alors $a = b \times q$. On dit que $a$ est divisible par $b$, que $a$ est un multiple de $b$ et que $b$ est un diviseur de $a$.
Exemple : $42 = 6 \times 7$, donc $42$ est un multiple de $6$ et de $7$ ; $6$ et $7$ sont des diviseurs de $42$.
Pourquoi ? Parce que $10 = 2 \times 5$ : en ajoutant ou en retirant des dizaines, on ajoute des multiples de $2$, de $5$ et de $10$. Seul le chiffre des unités décide.
| Nombre | par 2 | par 5 | par 10 |
|---|---|---|---|
| 240 | oui | oui | oui |
| 375 | non | oui | non |
| 412 | oui | non | non |
Parmi les nombres $240$, $375$, $412$ et $1\,000$, lesquels sont divisibles par $2$ ? par $5$ ? par $10$ ?
Parmi les nombres $240$, $375$, $412$ et $1\,000$, lesquels sont divisibles par $2$ ? par $5$ ? par $10$ ?
Quel est le plus petit entier $n$ à trois chiffres, divisible par $5$, dont le reste dans la division par $7$ est $3$ ? Justifier.
Quel est le plus petit entier $n$ à trois chiffres, divisible par $5$, dont le reste dans la division par $7$ est $3$ ? Justifier.
Dans une division euclidienne, le diviseur est $15$ et le reste est le plus grand possible. Le quotient est $26$. a) Donner la valeur du reste. b) Calculer le dividende.…
Dans une division euclidienne, le diviseur est $15$ et le reste est le plus grand possible. Le quotient est $26$.
- a) Donner la valeur du reste.
- b) Calculer le dividende.
- c) Montrer que le dividende augmenté de $1$ est divisible par $15$.
Diviser par un nombre décimal
Combien de morceaux de $0,25$ m peut-on couper dans un ruban de $7,5$ m ? C'est calculer $7,5 \div 0,25$. Diviser par un décimal est plus délicat : on se ramène à une division par un entier.
Pourquoi ? Combien de fois $0,25$ m tient dans $7,5$ m ? C'est la même question que combien de fois $25$ cm tient dans $750$ cm : on a changé d'unité, pas le résultat.
Calculer $12 \div 0,4$ et $4,5 \div 0,05$.
Calculer $12 \div 0,4$ et $4,5 \div 0,05$.
Un ruban de $7,5$ m est découpé en morceaux de $0,25$ m. a) Combien de morceaux obtient-on ? b) Même question avec des morceaux de $0,4$ m. Y a-t-il un reste ? Si oui,…
Un ruban de $7,5$ m est découpé en morceaux de $0,25$ m.
- a) Combien de morceaux obtient-on ?
- b) Même question avec des morceaux de $0,4$ m. Y a-t-il un reste ? Si oui, lequel ?
Raisonner avec le reste
Revenons à la boulangerie : $250 = 12 \times 20 + 10$. On remplit donc $20$ boîtes pleines et il reste $10$ croissants. Pour tout ranger, il faut une boîte de plus : $21$ boîtes. Selon la question, on utilise le quotient ou le quotient plus un.
Pour les nombres de la forme $\overline{a5}$ (chiffre des dizaines $a$, chiffre des unités $5$) : il se termine par $5$, donc il est divisible par $5$ mais jamais par $10$. Pour la divisibilité par $3$, on peut tester les valeurs de $a$ de $1$ à $9$ : $15, 25, 35, \dots, 95$.
Un nombre à deux chiffres $\overline{a5}$ est divisible par $5$. a) Montrer que $\overline{a5}$ n'est jamais divisible par $10$. b) Pour quelles valeurs de $a$ le nombre…
Un nombre à deux chiffres $\overline{a5}$ est divisible par $5$.
- a) Montrer que $\overline{a5}$ n'est jamais divisible par $10$.
- b) Pour quelles valeurs de $a$ le nombre $\overline{a5}$ est-il divisible par $3$ ?
- c) Pour quelles valeurs de $a$ est-il divisible à la fois par $3$ et par $5$ ?
L'essentiel
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Division euclidienne de $a$ par $b$ : $a = b \times q + r$ avec $0 \leqslant r < b$.
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Si $r = 0$, $a$ est divisible par $b$ : c'est un multiple de $b$.
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Divisible par $2$ : se termine par $0, 2, 4, 6, 8$ ; par $5$ : par $0$ ou $5$ ; par $10$ : par $0$.
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Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu'une affirmation est fausse.
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Pour diviser par un décimal, on multiplie dividende et diviseur par $10$, $100$… pour obtenir un diviseur entier.
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Retour au début : $250 = 12 \times 20 + 10$, donc $20$ boîtes pleines, $10$ croissants restants, $21$ boîtes en tout.