Construction de parallélogrammes
Dans l'atelier de Camille, la lampe d'architecte a un bras articulé en forme de quadrilatère. Quand elle déplace la lampe, la forme change, mais les barres opposées restent toujours parallèles et de même longueur. Pourquoi ? Et comment dessiner un tel quadrilatère à la règle et au compas ? C'est ce que tu vas voir dans cette page.
Les propriétés du parallélogramme
Sur la figure, $ABCD$ est un parallélogramme : $(AB) \parallel (DC)$ et $(AD) \parallel (BC)$. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en $O$.
Pourquoi ces propriétés ? Une symétrie centrale de centre $O$ échange $A$ et $C$, puis $B$ et $D$. Elle conserve les longueurs et les angles : le parallélogramme est donc sa propre image. Le point $O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$.
Pour les angles consécutifs : les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles, et $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ sont des angles intérieurs du même côté de la sécante $(AB)$. Leur somme vaut $180^\circ$.
Citer trois propriétés d'un parallélogramme portant sur ses côtés, ses diagonales ou ses angles.
Citer trois propriétés d'un parallélogramme portant sur ses côtés, ses diagonales ou ses angles.
Soit $ABCD$ un parallélogramme avec $AB = 6$ cm et $\widehat{A} = 70^\circ$. Calculer $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ et $\widehat{D}$.
Soit $ABCD$ un parallélogramme avec $AB = 6$ cm et $\widehat{A} = 70^\circ$. Calculer $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ et $\widehat{D}$.
Construire un parallélogramme
Pour construire un parallélogramme, on choisit les propriétés qui donnent le dernier sommet. On dispose de la règle graduée, de l'équerre, du rapporteur et du compas.
Avec trois sommets et le compas
On connaît $A$, $B$, $C$ avec $AB = 5$ cm et $BC = 4$ cm. Comme $DC = AB$ et $AD = BC$, le point $D$ est à 5 cm de $C$ et à 4 cm de $A$.
Avec deux côtés et un angle
Avec les diagonales
Comme les diagonales se coupent en leur milieu, on les construit à partir de $O$.
Les points $A$, $B$, $C$ sont tels que $AB = 5$ cm, $BC = 4$ cm. Expliquer comment placer $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, à l'aide du compas.
Les points $A$, $B$, $C$ sont tels que $AB = 5$ cm, $BC = 4$ cm. Expliquer comment placer $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, à l'aide du compas.
Décrire la construction du parallélogramme $ABCD$ tel que $AB = 7$ cm, $AD = 4$ cm et $\widehat{BAD} = 60^\circ$.
Décrire la construction du parallélogramme $ABCD$ tel que $AB = 7$ cm, $AD = 4$ cm et $\widehat{BAD} = 60^\circ$.
Construire un parallélogramme $EFGH$ dont les diagonales mesurent $EG = 8$ cm et $FH = 6$ cm et se coupent en $O$. Décrire le programme de construction.
Construire un parallélogramme $EFGH$ dont les diagonales mesurent $EG = 8$ cm et $FH = 6$ cm et se coupent en $O$. Décrire le programme de construction.
Dans un repère
Dans un repère orthogonal, on lit un « déplacement » sur le quadrillage. Dans un parallélogramme $ABCD$, aller de $B$ à $C$ revient à aller de $A$ à $D$ : $[BC]$ et $[AD]$ sont parallèles, de même longueur et de même sens.
Dans un repère, on donne $A(1\,;1)$, $B(5\,;2)$ et $C(6\,;5)$. Déterminer les coordonnées de $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Dans un repère, on donne $A(1\,;1)$, $B(5\,;2)$ et $C(6\,;5)$.
Déterminer les coordonnées de $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Reconnaître un parallélogramme
Les propriétés fonctionnent aussi dans l'autre sens : elles permettent de prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
La première est la plus utile avec les symétries centrales : si deux segments ont le même milieu, leurs extrémités forment un parallélogramme.
On donne un triangle $ABC$ et $I$ le milieu de $[BC]$. Le point $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $I$. a) Montrer que $ABDC$ est un parallélogramme. b) Si…
On donne un triangle $ABC$ et $I$ le milieu de $[BC]$. Le point $D$ est le symétrique de $A$ par rapport à $I$.
- a) Montrer que $ABDC$ est un parallélogramme.
- b) Si $AB = AC$, quelle est la nature de $ABDC$ ? Justifier.
Soit $ABCD$ un parallélogramme et $E$ le point tel que $C$ soit le milieu de $[BE]$. a) Montrer que $ACED$ est un parallélogramme. b) Que peut-on dire de $AD$ et $CE$ ?…
Soit $ABCD$ un parallélogramme et $E$ le point tel que $C$ soit le milieu de $[BE]$.
- a) Montrer que $ACED$ est un parallélogramme.
- b) Que peut-on dire de $AD$ et $CE$ ? Justifier.
Cas particuliers
Certains parallélogrammes ont des propriétés en plus.
Pourquoi les diagonales égales donnent un rectangle ? Si les diagonales se coupent en $O$, milieu des deux, et qu'elles sont égales, alors $OA = OB = OC = OD$ : les quatre sommets sont sur un même cercle de centre $O$. Les quatre angles sont alors droits.
Un quadrilatère $ABCD$ a ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ qui se coupent en leur milieu $O$. a) Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme. b) Si de plus $AC = BD$, quelle…
Un quadrilatère $ABCD$ a ses diagonales $[AC]$ et $[BD]$ qui se coupent en leur milieu $O$.
- a) Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
- b) Si de plus $AC = BD$, quelle est la nature de $ABCD$ ? Justifier.
Retour sur la lampe de Camille : le quadrilatère articulé reste un parallélogramme. Ses barres opposées gardent la même longueur, et quand elle bouge la lampe, ses diagonales continuent de se couper en leur milieu. Les barres opposées restent donc parallèles.
L'essentiel
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