Le langage algébrique

Dans le monde des jeux vidéo, on utilise parfois des formules pour calculer des scores. Traduire en langage littéral les phrases suivantes, en appelant $x$ le nombre de gemmes obtenues par un joueur :

• a) Le double du nombre de gemmes.

• b) Le triple du nombre de gemmes plus $50$ points bonus.

• c) Le nombre de gemmes qu'il aurait s'il en perdait $5$.

• d) La moitié des gemmes qu'il possède.

Dans un magasin de vêtements, un sweat coûte $s$ euros. Si un pantalon coûte $12$ euros de moins que le sweat, exprimer en langage littéral :

• a) Le prix du pantalon.

• b) Le prix total de l'achat de deux sweats.

• c) Le prix total de l'achat d'un sweat et d'un pantalon.

Dans un jeu vidéo d'aventure très populaire, les joueurs obtiennent différents scores selon leurs actions. On appelle $x$ le nombre de coffres d'or trouvés et $y$ le nombre de quêtes secondaires terminées. Exprimer en langage littéral les situations suivantes :

• Le triple du nombre de coffres d'or trouvés.

• Le nombre de quêtes secondaires plus cinq quêtes bonus supplémentaires.

• Le double de la somme des coffres d'or et des quêtes secondaires.

• La moitié des coffres trouvés après en avoir perdu trois lors d'un combat.

• Le total de points si chaque coffre vaut 100 points et chaque quête vaut 50 points.

Mathis doit traduire en langage littéral la consigne suivante donnée par sa professeure : « Le triple de la somme d'un nombre et de quatre ». Dans son cahier, il a écrit l'expression :

1. a) Repérer l'erreur commise par Mathis et expliquer en justifiant quelle phrase en langage courant correspond en réalité à ce qu'il a écrit.
2. b) Écrire la traduction littérale correcte en utilisant les signes de ponctuation mathématique nécessaires.
3. c) Vérifier numériquement l'erreur en remplaçant $x = 2$ à la fois dans l'expression erronée de Mathis et dans la vôtre, correcte. Pourquoi les valeurs sont-elles différentes et que montre cela sur la nécessité d'utiliser des parenthèses ?

Exprimer en langage algébrique les phrases complexes suivantes, en utilisant une seule variable $x$ pour le nombre inconnu :

1. a) Le triple de la différence entre le carré d'un nombre et sa moitié.
2. b) La somme de trois entiers naturels consécutifs, sachant que le premier d'entre eux est $x-2$.
3. c) Le prix final d'un sweat qui coûtait $x$ euros, si l'on applique d'abord une augmentation de $10\%$ pour frais d'envoi puis une réduction de $5$ euros grâce à un bon de réduction.
4. d) La différence entre le cube du suivant d'un nombre et le double de son précédent.

Lors d'une activité de révision, le professeur demande de traduire en langage littéral la phrase suivante : « Le triple du précédent d'un nombre $x$, augmenté du double du suivant de ce nombre $x$ ».

Deux élèves proposent des réponses différentes :

• Marc écrit : $3 \cdot x - 1 + 2 \cdot x + 1$

• Lucie écrit : $3 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x + 1)$

1. a) Analyser la proposition de Marc : repérer les deux erreurs commises faute d'avoir utilisé des parenthèses et expliquer quelle phrase courante correspondrait textuellement à l'expression qu'il a écrite.
2. b) Développer et réduire l'expression de Lucie en appliquant la distributivité et en regroupant les termes semblables pour obtenir une expression réduite de la forme $a \cdot x + b$.
3. c) Raisonner et justifier : serait-il possible que, $x$ étant un nombre entier, la valeur finale de l'expression de Lucie soit égale à $40$ ? Égaler l'expression réduite à $40$, résoudre pour trouver la valeur de $x$ et justifier la conclusion en analysant si le résultat appartient à l'ensemble des nombres entiers.

Si $n$ représente un nombre entier relatif quelconque, écrire l'expression littérale de :

• a) Le nombre suivant $n$.

• b) Le nombre précédent $n$.

• c) Le triple du suivant de $n$.

• d) La somme d'un nombre et de son précédent.

On appelle $x$ l'âge actuel d'Ioana. Exprimer littéralement les âges de sa famille :

• a) L'âge qu'aura Ioana dans $8$ ans.

• b) L'âge qu'avait Ioana il y a $3$ ans.

• c) Son frère a le double de l'âge d'Ioana. Quel âge a le frère ?

• d) Sa mère a le triple de l'âge qu'aura Ioana dans $1$ an.

Amina, Boris et Clara comparent le nombre d'abonnés sur leurs réseaux sociaux. Boris a deux fois plus d'abonnés qu'Amina. Clara a 500 abonnés de moins que Boris. On appelle $s$ le nombre d'abonnés d'Amina :

• Exprimer en langage littéral le nombre d'abonnés de Boris.

• Exprimer en langage littéral le nombre d'abonnés de Clara.

• Écrire une expression qui représente la somme des abonnés des trois amis.

• Si Amina a $s = 1200$ abonnés, combien d'abonnés ont-ils à eux trois ?

Dans un magasin de sport, un maillot de football coûte $x$ euros et un short coûte $y$ euros. Traduire du langage littéral au langage courant (français) ce que signifient les expressions suivantes :

• $x + y$

• $2x + 3y$

• $x - 10$

• $0,85 \cdot x$

• $3(x + y)$

Dans une classe de mathématiques, on propose le problème inverse suivant : à partir de l'expression littérale déjà construite $2 \cdot (x - 5)$, il faut reconstituer le problème d'origine.

1. a) Traduire cette expression par une phrase en langage courant en utilisant rigoureusement les mots « double », « différence » et « nombre ».
2. b) Modéliser une situation de la vie courante vraisemblable (par exemple, des achats avec réduction ou des points gagnés dans un jeu) qui correspond exactement à cette expression, en indiquant clairement ce que représente la variable $x$.
3. c) Sachant que la valeur numérique finale de l'expression après calculs est $16$, déduire, en remontant les opérations (dans l'ordre inverse), quelle était la valeur initiale de $x$.

Un créateur de contenu sur TikTok analyse ses revenus mensuels. Si $v$ représente le nombre de vidéos publiées dans un mois, son gain en euros est défini par l'expression littérale : $G = 0,5 \cdot v + 12$.

• Que représentent les nombres $0,5$ et $12$ dans ce contexte ?

• Quel sera son gain si ce mois-ci il a réussi à publier un total de $v = 40$ vidéos ?

• Si le mois prochain il décide de publier deux fois plus de vidéos que ce mois-ci, écrire la nouvelle expression de son gain.

On veut clôturer l'enceinte d'un festival de musique, qui a la forme d'un carré. On ne connaît pas encore la longueur du côté, on l'appelle donc $x$.

• a) Écrire une expression littérale pour le périmètre de l'enceinte (la somme de tous ses côtés).

• b) Écrire une expression littérale pour l'aire de l'enceinte.

Calculer la valeur numérique des expressions suivantes pour la valeur indiquée (rappel : entre un nombre et une lettre, il y a toujours un signe de multiplication invisible) :

• a) $3x + 5$ quand $x = 2$

• b) $10 - 2n$ quand $n = 3$

• c) $a^2 + 1$ quand $a = 5$

• d) $\frac{x}{2} + 7$ quand $x = 10$

Dans le service public de taxis d'une ville française, les tarifs de jour officiels se calculent en combinant plusieurs éléments :

• Une prise en charge (coût fixe pour démarrer la course) de $2,50$ €.

• Un coût de $1,30$ € par kilomètre parcouru.

• Un supplément fixe supplémentaire de $3,20$ € si le trajet a pour destination la gare centrale.

1. a) Écrire l'expression littérale qui permet de calculer le coût total d'un trajet ordinaire de $k$ kilomètres (sans supplément gare).
2. b) Écrire l'expression littérale pour un trajet de $k$ kilomètres qui se termine à la gare et la réduire en additionnant les deux montants fixes en un seul terme.
3. c) Deux collègues partagent le taxi jusqu'à la gare et conviennent de payer le montant total exactement à parts égales. Écrire l'expression littérale du prix que doit payer chacune en fonction de $k$ et calculer combien paiera chacune si le trajet total est de $10$ km.

Recopier dans votre cahier le tableau suivant et compléter les informations sur ces monômes (rappel : s'il n'y a pas de nombre devant la lettre, le coefficient est $1$) :

Recopier et compléter dans votre cahier le tableau suivant sur les monômes. Rappel : si le coefficient n'apparaît pas, il est égal à 1.

Calculer le périmètre du terrain de padel suivant, dont les dimensions sont données en mètres par des expressions littérales. Une fois l'expression simplifiée obtenue, calculer sa valeur numérique pour $x = 4$ mètres.

Un groupe d'amis veut offrir une console de jeux vidéo à un camarade. La console coûte $C$ euros. Ils décident que deux des amis, qui sont frères, paieront chacun seulement la moitié de ce que paie chacun des autres.

1. a) Si $x$ est la somme d'argent apportée par chacun des amis qui ne sont pas frères, et qu'il y a $6$ amis au total (y compris les deux frères), exprimer algébriquement le coût total $C$ de la console.
2. b) Si le coût de la console est de $300$ euros, calculer combien d'argent doit apporter chacun des frères.

Dans le plan d'une piscine moderne, on souhaite entourer une zone d'eau rectangulaire de longueur $l$ et de largeur $a$ d'une bordure en bois de $2$ mètres de large sur tout son contour.

1. a) Écrire l'expression littérale qui représente l'aire totale occupée par le bois (la bordure).
2. b) Simplifier l'expression obtenue à la question précédente.
3. c) Quelle serait la valeur numérique de cette aire si la piscine mesure $10$ mètres de long et $5$ mètres de large ?

Lors d'une compétition de triathlon, un athlète court à une vitesse constante de $v$ km/h.

1. a) Exprimer littéralement la distance qu'il parcourt en $t$ heures et $15$ minutes. (Penser à exprimer le temps dans une seule unité.)
2. b) Si l'athlète décide d'augmenter sa vitesse de $2$ km/h pendant la seconde moitié du temps, écrire l'expression de la distance totale parcourue en un temps total de $t$ heures.
3. c) Calculer la distance totale de la question b) si $v = 12$ km/h et $t = 2$ heures.

On considère l'expression littérale $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

1. a) Calculer la valeur numérique de $P(x)$ pour $x = 0, x = 2$ et $x = 10$.
2. b) En observant les résultats, pourriez-vous proposer une expression beaucoup plus simple, équivalente à $P(x)$ pour toute valeur de $x$ (sauf pour $x = -2$) ?
3. c) Pourquoi, selon vous, ne peut-on pas calculer la valeur numérique de $P(x)$ pour $x = -2$ ? Justifier la réponse en s'appuyant sur ce que vous savez des fractions.

Observer la série de figures suivante, formées de points orange. On appelle $n$ le rang de la figure (Figure 1, Figure 2…) :

• a) Combien de points aura la Figure 4 ?

• b) Écrire une expression littérale qui donne le nombre de points de la Figure $n$.

Observer la série de tables hexagonales suivante, placées en ligne pour une fête au lycée. Chaque hexagone représente une table où s'assoient les élèves.

Si une table ($n=1$) peut accueillir 6 personnes, deux tables ($n=2$) 10 personnes et trois tables ($n=3$) 14 personnes :

• Créer une expression littérale qui permet de calculer le nombre de personnes pouvant s'asseoir en fonction du nombre de tables $n$.

• Calculer combien de personnes pourront s'asseoir si l'on réunit 15 tables.

Dans une entreprise de paysagisme, on utilise des dalles hexagonales pour entourer des parterres de fleurs. Si l'on place les parterres en ligne, chaque parterre supplémentaire partage quelques dalles avec le précédent pour économiser du matériel. Observer la séquence de conception suivante :

On note $n$ le nombre de parterres que l'on veut placer en ligne :

1. a) Trouver une expression littérale qui permet de calculer le nombre de dalles nécessaires pour $n$ parterres.
2. b) Utiliser cette expression pour calculer combien de dalles seraient nécessaires pour une rangée de $25$ parterres.

Pour renouveler la barrière d'une passerelle piétonne dans le Parc national de Las Tablas de Daimiel, les ouvriers posent des poteaux verticaux reliés par des traverses en bois formant des modules continus :

• Pour $1$ mètre de passerelle, il faut $6$ pièces de bois.

• Pour $2$ mètres de passerelle, il faut $10$ pièces de bois.

• Pour $3$ mètres de passerelle, il faut $14$ pièces de bois.

• Pour $4$ mètres de passerelle, il faut $18$ pièces de bois.

1. a) Estimer et vérifier : avant de déduire une formule, si les ouvriers doivent construire un tronçon de $25$ mètres, faire une estimation mentale rapide : pensez-vous qu'il leur faudra plus ou moins de $100$ pièces de bois ? Justifier l'estimation sans faire le calcul étape par étape.
2. b) Observer le motif : combien de pièces de bois sont ajoutées pour chaque mètre supplémentaire ? Déduire en justifiant l'expression littérale qui donne le nombre total de pièces de bois nécessaires pour un tronçon de $n$ mètres de passerelle.
3. c) Utiliser l'expression pour calculer le nombre exact de pièces de bois qui seront utilisées pour les $25$ mètres. Comparer le résultat obtenu avec l'estimation de la question a) et dire si elle était juste et raisonnable.

Dans un entrepôt de logistique, les caisses sont empilées en formant des structures pyramidales à base carrée. Au niveau le plus haut (niveau 1), il y a $1$ caisse. Au niveau 2 (sous le premier), il y a $4$ caisses formant un carré de $2 \times 2$. Au niveau 3, il y a $9$ caisses formant un carré de $3 \times 3$.

1. a) Écrire l'expression littérale qui représente le nombre de caisses au niveau $n$.
2. b) Écrire une expression littérale qui représente le nombre total de caisses si la pyramide n'a que $3$ niveaux.
3. c) Si une pyramide a $n$ niveaux, on sait que le nombre total de caisses est donné par la formule $T = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Calculer combien il y aura de caisses au total dans une structure de $10$ niveaux.

Valentine propose un tour de magie à son frère en utilisant le calcul littéral. Suivre les étapes, puis expliquer littéralement pourquoi on obtient toujours le même résultat :

1. Pense à un nombre quelconque ($n$).

2. Ajoute-lui 5.

3. Multiplie le résultat par 2.

4. Soustrais 10 à la valeur obtenue.

5. Divise le résultat par 2.

6. Quel nombre obtiens-tu par rapport au nombre de départ ? Écrire l'expression simplifiée du processus.

Un magicien demande à un spectateur d'exécuter les instructions suivantes :

1. Pense à un nombre entier naturel quelconque $n$.

2. Multiplie-le par $6$.

3. Ajoute $12$ au résultat précédent.

4. Divise le tout par $3$.

5. Soustrais le double du nombre auquel tu as pensé au début.

1. a) Traduire en langage littéral chaque étape du tour et écrire l'expression finale simplifiée.
2. b) Quel est le résultat final du tour ? Dépend-il du nombre choisi par le spectateur ? Justifier la réponse à l'aide du calcul littéral.

Dans un atelier de mathématiques récréatives, on propose le tour de magie numérique suivant :

1. Pense à un nombre entier quelconque.

2. Ajoute-lui $5$.

3. Multiplie le résultat obtenu par $2$.

4. Soustrais $6$.

5. Divise le résultat par $2$.

6. Soustrais le nombre auquel tu avais pensé au début.

Le résultat final est toujours $2$, quel que soit le nombre choisi !

Pour convaincre la classe que ce n'est pas un hasard, deux démarches sont débattues :

• Méthode A (vérification empirique) : tester le tour avec cinq nombres très différents les uns des autres (un nombre à un chiffre, un nombre à trois chiffres, zéro, un nombre négatif et une fraction).

• Méthode B (démonstration littérale) : appeler $n$ le nombre de départ, enchaîner toutes les opérations en une seule expression littérale et la simplifier étape par étape.

1. a) Développer entièrement la méthode B : écrire l'expression littérale obtenue après chacune des 6 instructions et la simplifier jusqu'à démontrer que le résultat final est $2$.
2. b) Choisir la méthode et justifier : comparer les deux démarches en expliquant pourquoi la méthode A, bien qu'elle teste de nombreux cas, ne démontre pas que le tour fonctionne toujours, et quel avantage décisif apporte le calcul littéral de la méthode B.