Automatismes en statistiques et probabilités
Dans une classe de 5e de Lille, 25 élèves, dont 10 filles, tirent au sort un délégué. Quelle est la probabilité que ce soit un garçon ? Pour répondre vite et sans calculatrice, il faut quelques automatismes : calculer une moyenne, une fréquence, une probabilité. Cette page les rassemble.
Moyenne et effectifs
La moyenne d'une série de nombres est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
Pourquoi ? La moyenne est la valeur que chacun aurait si on partageait le total en parts égales.
Deux astuces utiles :
On peut aussi raisonner « à l'envers » : si la moyenne de $4$ nombres est $15$, leur somme est $4 \times 15 = 60$.
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer la moyenne des nombres $4$, $6$ et $8$. 2. On lance un dé équilibré à six faces. Donner la probabilité…
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice.
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Calculer la moyenne des nombres $4$, $6$ et $8$.
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On lance un dé équilibré à six faces. Donner la probabilité d'obtenir $4$.
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Une classe compte $25$ élèves, dont $10$ filles. Donner le nombre de garçons.
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Dans un groupe de $20$ élèves, $5$ élèves sont demi-pensionnaires. Donner la fréquence de ces élèves en pourcentage.
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Donner la probabilité d'un événement impossible.
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On lance une pièce équilibrée. Donner la probabilité d'obtenir pile.
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer la moyenne des notes $8$, $12$, $14$, $10$ et $16$. 2. La moyenne de quatre nombres est $15$. Calculer…
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice.
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Calculer la moyenne des notes $8$, $12$, $14$, $10$ et $16$.
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La moyenne de quatre nombres est $15$. Calculer la somme de ces quatre nombres.
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Une roue est partagée en $8$ secteurs de même taille : $3$ rouges, $2$ bleus et $3$ verts. On la fait tourner. Donner la probabilité d'obtenir un secteur bleu.
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Un sac contient $20$ jetons. La probabilité de tirer un jeton rouge est $0{,}35$. Donner le nombre de jetons rouges.
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Sur $40$ élèves interrogés, $14$ viennent au collège à vélo. Donner la fréquence de ces élèves en pourcentage.
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On lance une pièce $10$ fois et pile apparaît $7$ fois ; on la lance ensuite $1\,000$ fois et pile apparaît $512$ fois. Calculer la fréquence de pile dans chacun des deux cas.
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Cinq nombres ont pour moyenne $8$. Quatre d'entre eux sont $6$, $7$, $9$ et $10$. Calculer le cinquième nombre.…
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice.
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Cinq nombres ont pour moyenne $8$. Quatre d'entre eux sont $6$, $7$, $9$ et $10$. Calculer le cinquième nombre.
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Sur $24$ lancers d'une pièce, face apparaît $18$ fois. Donner la fréquence de face, en pourcentage.
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On lance deux fois une pièce équilibrée. Les issues possibles sont PP, PF, FP et FF, de même probabilité. Donner la probabilité d'obtenir deux fois pile.
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Une roue équilibrée est partagée en $10$ secteurs identiques, dont $4$ sont rouges. Donner la probabilité d'obtenir un secteur rouge, sous la forme d'une fraction irréductible.
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Sur $35$ élèves, $60\,\%$ pratiquent un sport en club. Calculer le nombre de ces élèves.
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Les températures relevées en cinq jours sont : $-4\,^\circ\text{C}$, $2\,^\circ\text{C}$, $-1\,^\circ\text{C}$, $7\,^\circ\text{C}$ et $1\,^\circ\text{C}$. Calculer la température moyenne.
Effectif, fréquence et pourcentage
Dans une étude statistique, l'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. L'effectif total est la somme des effectifs. On range souvent les données dans un tableau d'effectifs : chaque colonne correspond à une valeur, et la ligne « Effectif » donne le nombre de fois où elle apparaît.
La fréquence d'une valeur est :
Pour passer de l'un à l'autre : $\dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%$ ; $\dfrac{1}{2} = 50\,\%$ ; $\dfrac{1}{10} = 10\,\%$. Et pour prendre un pourcentage d'une quantité : $25\,\%$ de $80$ élèves, c'est le quart de $80$, soit $20$ élèves.
Un diagramme en bâtons se lit simplement : la hauteur du bâton est l'effectif de la valeur.
Ici, le bâton de la valeur $3$ monte jusqu'à $6$ : son effectif est $6$.
Il existe d'autres représentations. Dans un diagramme circulaire, chaque secteur a un angle proportionnel à l'effectif : une valeur de fréquence $25\,\%$ occupe un quart du disque. Dans un graphique cartésien, on place les valeurs en abscisse et les effectifs en ordonnée, puis on relie les points.
On peut aussi utiliser un tableur : on saisit les effectifs dans une ligne, par exemple en B2, C2 et D2. L'effectif total s'obtient avec la formule =SOMME(B2:D2) en E2. La fréquence de la première valeur s'obtient avec =B2/E2, qu'on peut afficher en pourcentage. Le tableur construit ensuite un diagramme en bâtons ou circulaire en quelques clics.
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer la moyenne des nombres $10$, $12$, $14$ et $16$. 2. Une urne contient $3$ boules rouges et $7$ boules…
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Calculer la moyenne des nombres $10$, $12$, $14$ et $16$.
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Une urne contient $3$ boules rouges et $7$ boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Donner la probabilité qu'elle soit rouge.
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Le tableau donne la couleur préférée d'élèves de 5e :
| Couleur | Bleu | Vert | Rouge |
|---|---|---|---|
| Effectif | $8$ | $5$ | $7$ |
Donner l'effectif total.
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Calculer la fréquence de la couleur bleue, en pourcentage.
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On lance un dé équilibré à six faces. Donner la probabilité d'obtenir un nombre pair.
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On lance une pièce $100$ fois et pile apparaît $47$ fois. Donner la fréquence de pile.
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer la moyenne des nombres $2{,}5$ ; $3{,}5$ ; $4$ et $6$. 2. À Lille, quatre températures sont relevées :…
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Calculer la moyenne des nombres $2{,}5$ ; $3{,}5$ ; $4$ et $6$.
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À Lille, quatre températures sont relevées : $-2\,^\circ\text{C}$, $0\,^\circ\text{C}$, $4\,^\circ\text{C}$ et $6\,^\circ\text{C}$. Calculer la température moyenne.
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Une urne contient douze boules numérotées de $1$ à $12$. On tire une boule au hasard. Donner la probabilité d'obtenir un multiple de $3$.
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Sur $80$ élèves, $25\,\%$ mangent à la cantine. Donner le nombre d'élèves concernés.
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On lance un dé équilibré à six faces. Donner la probabilité d'obtenir un nombre pair ou un nombre impair.
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La moyenne de six notes est $11$. Calculer la somme de ces six notes.
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Le tableau donne les fruits choisis par des élèves à la cantine : | Fruit | Pomme | Poire | Banane | Kiwi |…
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice.
- Le tableau donne les fruits choisis par des élèves à la cantine :
| Fruit | Pomme | Poire | Banane | Kiwi |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | $12$ | $8$ | $5$ | $5$ |
Donner l'effectif total.
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Donner la fréquence des pommes en pourcentage.
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Donner la fréquence des bananes sous la forme d'une fraction irréductible.
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Une urne contient $5$ boules rouges, $3$ vertes et $2$ noires. On tire une boule au hasard. Donner la probabilité qu'elle ne soit pas rouge.
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Une urne contient $30$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac{2}{5}$. Donner le nombre de boules rouges.
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Les températures relevées en cinq jours à Lyon sont : $-3\,^\circ\text{C}$, $-1\,^\circ\text{C}$, $2\,^\circ\text{C}$, $4\,^\circ\text{C}$ et $-2\,^\circ\text{C}$. Calculer la température moyenne.
Probabilités
Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles, dont on ne peut pas prévoir laquelle se produira. Lancer une pièce : deux issues, pile et face. Lancer un dé : six issues, $1$ à $6$.
Quand toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, pièce équilibrée, boules indiscernables au toucher) :
Fréquence et probabilité
Quand on répète une expérience aléatoire, la fréquence d'une issue fluctue : elle change d'une série à l'autre. Mais quand le nombre de répétitions $n$ devient grand, elle se stabilise autour de la probabilité de cette issue.
Avec un tableur, on peut simuler des milliers de lancers (formule =ALEA.ENTRE.BORNES(0;1), avec $0$ pour face et $1$ pour pile) et calculer la fréquence de pile après chaque lancer. La courbe obtenue oscille d'abord beaucoup, puis se stabilise.
Autres exemples avec un dé équilibré : obtenir un nombre pair, c'est $3$ issues ($2$, $4$, $6$) sur $6$, donc $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Obtenir un nombre premier ($2$, $3$, $5$) : $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$. Obtenir $7$ : impossible, donc $0$.
Si on connaît la probabilité, on retrouve l'effectif : sur $20$ jetons avec $P(\text{rouge}) = 0{,}35 = \dfrac{35}{100}$, il y a $0{,}35 \times 20 = 7$ jetons rouges.
Pour deux lancers de pièce, on liste les issues : PP, PF, FP, FF. Elles sont équiprobables, donc $P(\text{PP}) = \dfrac{1}{4}$.
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer la moyenne des nombres $5$, $5$, $8$, $10$ et $12$. 2. On lance un dé équilibré à six faces. Donner la…
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice.
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Calculer la moyenne des nombres $5$, $5$, $8$, $10$ et $12$.
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On lance un dé équilibré à six faces. Donner la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à $5$.
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Donner les issues possibles du lancer d'une pièce.
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Dans un diagramme en bâtons, le bâton associé à la valeur $3$ a pour hauteur $6$. Donner l'effectif de la valeur $3$.
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Une probabilité vaut $0{,}25$. L'écrire sous la forme d'une fraction irréductible, puis en pourcentage.
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Une urne contient cinq boules numérotées de $1$ à $5$. On tire une boule au hasard. Donner la probabilité d'obtenir la boule $5$.
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer la moyenne des nombres $12$, $15$, $9$, $14$ et $10$. 2. Dans un sondage auprès de $30$ élèves sur leur…
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Calculer la moyenne des nombres $12$, $15$, $9$, $14$ et $10$.
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Dans un sondage auprès de $30$ élèves sur leur sport préféré, $9$ choisissent le handball. Donner la fréquence du handball, en pourcentage.
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Une urne contient $4$ boules rouges, $3$ vertes et $5$ bleues. On tire une boule au hasard. Donner la probabilité qu'elle soit bleue.
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On lance un dé équilibré à six faces. Donner la probabilité d'obtenir un nombre premier.
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On lance un dé équilibré à six faces. Donner la probabilité d'obtenir $7$.
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On lance une pièce $50$ fois et face apparaît $28$ fois. Calculer la fréquence de face, en pourcentage.
Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer la moyenne des nombres $6$, $9$, $11$ et $14$. 2. On ajoute le nombre $15$ à cette série. Calculer la…
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Calculer la moyenne des nombres $6$, $9$, $11$ et $14$.
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On ajoute le nombre $15$ à cette série. Calculer la nouvelle moyenne.
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On lance un dé équilibré à six faces. Donner la probabilité d'obtenir un multiple de $2$ ou un multiple de $3$.
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Une urne contient huit jetons numérotés de $1$ à $8$. On tire un jeton au hasard. Donner la probabilité que son numéro soit un carré (de $1^2$, $2^2$, etc.).
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Une urne contient $10$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est $0{,}3$ et celle de tirer une boule bleue est $0{,}5$. Les autres boules sont vertes. Donner la probabilité de tirer une boule verte, puis le nombre de boules vertes.
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Un élève a obtenu les notes $12$, $14$ et $9$, et sa moyenne sur quatre notes est $12$. Calculer la quatrième note.
Retour au début : dans la classe de $25$ élèves dont $10$ filles, il y a $15$ garçons, donc la probabilité de tirer un garçon est $\dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.