Expressions littérales

Dans le monde des jeux vidéo, il est très courant de traduire des situations en langage mathématique. Si l'on note $x$ le nombre de gemmes que vous avez dans un coffre, exprimer en langage algébrique les situations suivantes :

• Le triple des gemmes que vous avez.

• Le nombre de gemmes que vous aurez si vous en trouvez 15 de plus.

• Le nombre de gemmes qu'il vous reste après en avoir dépensé la moitié pour un skin.

• Le double de vos gemmes moins 5 que vous devez à un ami.

Kenza et son frère Adrien comparent l'argent qu'ils ont économisé pour le prochain festival. Kenza a $x$ euros. Exprimer en langage algébrique l'argent qu'a Adrien dans chacun de ces cas indépendants :

• Adrien a 12 € de plus que Kenza.

• Adrien a le double de Kenza.

• Adrien a 5 € de moins que le triple de ce qu'a Kenza.

• S'ils mettent leur argent en commun et que la mairie leur offre 20 € supplémentaires, ils ont en tout 100 €.

En cours d'éducation physique, le professeur nous demande de faire le tour d'un terrain d'entraînement rectangulaire. On ne connaît pas les mesures exactes, mais on sait que la longueur mesure $L$ mètres et la largeur mesure $a$ mètres.

• Écrire l'expression littérale du périmètre du terrain.

• Si le professeur nous dit que la longueur est le double de la largeur ($L = 2a$), écrire à nouveau l'expression du périmètre en utilisant uniquement la lettre $a$.

Traduire ces situations réelles en langage algébrique en utilisant une seule variable (la $x$) :

• a) Le prix d'une place de cinéma ($x$) augmenté de $10\%$ pour frais de dossier.

• b) L'âge de Lucie, sachant qu'elle a trois ans de moins que le double de l'âge de son petit frère ($x$).

• c) La somme de trois nombres entiers consécutifs.

• d) Les économies qu'il me reste si j'avais $x$ euros et que j'en ai dépensé le quart pour un livre, puis $10$ euros pour un cadeau.

Un groupe d'amis veut louer un terrain de padel pendant plusieurs heures ($h$). Le prix de la location est de $12$ euros par heure. De plus, ils doivent louer des raquettes pour tous. La location de chaque raquette coûte $3$ euros pour toute la séance. Si le groupe est composé de $n$ personnes :

• Écrire l'expression littérale du coût total de la location ($C$) en fonction du nombre d'heures ($h$) et du nombre de personnes ($n$).

• S'ils décident de payer le coût total à parts égales, écrire l'expression de ce que doit payer chaque personne.

• Simplifier l'expression précédente. La part correspondant aux raquettes dépend-elle du nombre de personnes présentes ? Justifier la réponse.

La valeur numérique est le résultat obtenu en remplaçant la lettre par un nombre. Imaginer que le coût d'organisation d'une fête d'anniversaire est donné par l'expression $15n + 50$, où $n$ est le nombre d'invités.

Calculer combien coûtera la fête si vous décidez d'inviter :

• $n = 10$ amis.

• $n = 20$ amis.

• $n = 25$ amis.

Calculer la valeur numérique des expressions suivantes pour les valeurs indiquées. Faire très attention aux signes négatifs et se souvenir de l'ordre des opérations :

• $2x + 7$ pour $x = -3$

• $x^2 - 5$ pour $x = 4$

• $3(a + b)$ pour $a = 2, b = 5$

• $\frac{x}{2} + 10$ pour $x = 8$

Lors d'un contrôle, Marc devait calculer la valeur numérique de l'expression littérale $8 - 2x$ pour $x = -3$. Sur sa feuille, il a écrit ceci :

1. a) Identifier et expliquer les deux erreurs mathématiques commises par Marc dans sa résolution.
2. b) Expliquer pourquoi il est essentiel d'écrire des parenthèses lorsqu'on remplace une variable par un nombre négatif.
3. c) Corriger la démarche et calculer la valeur numérique correcte.

Le service public de vélos en libre-service d'une ville française facture aux usagers sans abonnement annuel un tarif fixe de déverrouillage de $1,20$ € par trajet, plus $0,15$ € par minute d'utilisation.

1. a) Écrire une expression littérale permettant de calculer le coût total d'un trajet effectué par un usager qui pédale pendant $m$ minutes.
2. b) Si vous utilisez un vélo pendant $18$ minutes pour aller de chez vous à la bibliothèque, calculer le montant exact qui vous sera facturé en appliquant votre expression.
3. c) Que représente la variable $m$ dans ce contexte réel ? Expliquer s'il aurait un sens pratique de calculer la valeur numérique de l'expression pour $m = -4$ ou pour $m = 25,5$.

Un influenceur analyse la croissance de ses abonnés. Il a créé une formule pour estimer les « points d'impact » ($I$) de ses publications :

$I = 10a + 5b - 2c$

où :

• $a$ est le nombre de « j'aime » (en milliers).

• $b$ est le nombre de partages de la publication.

• $c$ est le nombre de commentaires négatifs.

Calculer la valeur numérique de l'impact ($I$) pour les données suivantes :

• $a = 5$

• $b = 20$

• $c = 15$

Sur une plateforme de jeux vidéo en ligne, l'abonnement mensuel coûte $12$ euros fixes, mais chaque fois que vous achetez un « aspect » ou skin pour votre personnage, on vous facture $3$ euros supplémentaires.

• a) Écrire une expression littérale permettant de calculer le coût total mensuel si vous achetez $x$ skins.

• b) Si un mois vous décidez d'acheter $4$ skins, utiliser l'expression précédente pour calculer combien vous paierez au total.

• c) Traduire en langage courant ce que signifierait l'expression $12 + 3(x + 1)$.

D'après les relevés météorologiques habituels dans les zones de montagne, lorsqu'on monte en montagne, la température diminue d'environ $1\text{ }^\circ\text{C}$ par tranche de $150\text{ m}$ d'altitude. Par une journée de printemps, la température $T$ (en degrés Celsius) sur le versant d'un massif en fonction de l'altitude $a$ (en mètres) peut être modélisée par l'expression :

1. a) Dans le village situé à la base ($a = 600\text{ m}$), le thermomètre indique $16\text{ }^\circ\text{C}$. Avant de faire le calcul exact, estimer de façon argumentée si, au sommet du pic ($a = 2400\text{ m}$), la température sera au-dessus ou en dessous de $5\text{ }^\circ\text{C}$. Expliquer sur quoi repose votre estimation.
2. b) Vérifier votre estimation en calculant la valeur numérique exacte de la température à l'altitude du sommet ($a = 2400\text{ m}$).
3. c) Un randonneur affirme qu'à $3300\text{ m}$ la température serait de $-2\text{ }^\circ\text{C}$. Vérifier si la formule donne ce résultat et juger de façon critique s'il est pertinent d'appliquer ce modèle à cette altitude dans ce massif, sachant que son point culminant n'atteint pas $2500\text{ m}$.

Une entreprise de messagerie utilise des drones pour livrer des colis. Le coût total d'un envoi en euros dépend de trois facteurs : un coût fixe de maintenance ($F$), le poids du colis en kg ($p$) et la distance parcourue en km ($d$).

La formule utilisée est : $C = 1,5F + \frac{p \cdot d}{10} - 0,5p$.

• Si le coût fixe est de $F = 4$ euros, simplifier l'expression en réduisant les monômes semblables.

• Calculer la valeur numérique (coût de l'envoi) pour un colis de $2$ kg qui doit parcourir $35$ km.

• Quel facteur influence le plus le prix final si l'on augmente d'une unité : le poids ou la distance ? Justifier la réponse en s'appuyant sur la structure de l'expression.

On veut découvrir une expression littérale inconnue qui vérifie toutes les conditions suivantes :

1. Elle utilise une seule variable, $x$, et son degré est $2$.

2. C'est un binôme formé d'un terme en $x^2$ et d'un terme constant (un nombre sans lettre).

3. Pour $x = 0$, sa valeur numérique est $-5$.

4. Pour $x = 3$, sa valeur numérique est $13$.

1. a) Déduire pas à pas quel doit être le terme constant en utilisant la condition donnée pour $x = 0$.
2. b) Trouver quel coefficient doit multiplier $x^2$ pour que la valeur numérique demandée soit obtenue lorsque $x = 3$, et écrire l'expression littérale complète.
3. c) Sans faire de longs calculs, quelle sera la valeur numérique de votre expression pour $x = -3$ ? Justifier la réponse en observant le signe et l'exposant.

Observer la série de figures suivante, formées avec des bâtonnets en bois. On veut savoir combien de bâtonnets seront nécessaires pour construire une rangée de $n$ carrés.

Si l'on utilise 4 bâtonnets pour 1 carré, 7 bâtonnets pour 2 carrés et 10 bâtonnets pour 3 carrés :

1. a) Combien de bâtonnets ajouteriez-vous pour chaque nouveau carré ?

1. b) Écrire la formule ou expression littérale qui permet de calculer le nombre total de bâtonnets pour $n$ carrés.

On construit une série de figures avec des carreaux carrés selon un motif donné. Observer les trois premières figures de la série :

• a) Si $n$ représente le numéro de la figure, écrire une expression littérale qui indique combien de carreaux carrés aura la figure $n$.

• b) Combien de carreaux aura la figure numéro $25$ ?

• c) Quel numéro de figure aura exactement $40$ carreaux ?

Observer le plan de cette nouvelle zone de skate que la mairie veut construire. Les dimensions sont exprimées en mètres à l'aide de la variable $x$.

• a) Écrire une expression littérale simplifiée qui représente le périmètre total de la zone de skate.

• b) Calculer le périmètre si la valeur de l'inconnue est $x = 4$ mètres.

Dans une réserve naturelle, on étudie la croissance d'une espèce de fougère qui se développe selon un motif géométrique. La première semaine (semaine $n=1$), la fougère a une feuille centrale. La deuxième semaine, trois nouvelles feuilles poussent autour. La troisième semaine, cinq autres poussent.

Observer le motif des étapes et réaliser les tâches suivantes :

• Trouver une expression littérale qui donne le nombre total de feuilles de la fougère à la semaine $n$.

• Si une fougère a 121 feuilles, à quelle semaine en est-elle ?

• Calculer la valeur numérique pour la semaine $n = 15$.

Dans le projet de réaménagement d'une promenade piétonne, on conçoit des zones vertes carrées entourées de dalles protectrices sur leur périmètre. Si l'on installe une seule jardinière carrée, il faut $8$ dalles pour l'entourer. Si l'on place plusieurs jardinières accolées en ligne, formant une rangée continue, les jardinières intérieures partagent des dalles.

Trois urbanistes ont proposé trois formules différentes pour calculer combien de dalles $B$ sont nécessaires pour une rangée de $n$ jardinières :

• Formule de Lucie : $B = 2(n + 2) + 2$

• Formule de Sarah : $B = 8 + 2(n - 1)$

• Formule de Nerea : $B = 2n + 6$

1. a) Interpréter la signification géométrique des formules : expliquer comment Lucie a compté les dalles et comment Sarah les a comptées pour arriver à leurs expressions.
2. b) Utiliser les opérations algébriques (distributivité et réduction de termes semblables) pour démontrer si les trois formules sont équivalentes entre elles.
3. c) La mairie dispose d'une palette de $75$ dalles pour une avenue. Proposer une stratégie à partir des expressions précédentes pour calculer combien de jardinières complètes en rangée on peut entourer au maximum et combien de dalles resteront exactement.

Identifier les parties d'un monôme est essentiel pour « parler » algèbre. Compléter mentalement ou sur votre cahier les informations pour les monômes suivants :

• $5x^3 \rightarrow$ Coefficient : ___ , Partie littérale : ___ , Degré : ___

• $-ab^2 \rightarrow$ Coefficient : ___ , Partie littérale : ___ , Degré : ___

• $\frac{1}{2}y \rightarrow$ Coefficient : ___ , Partie littérale : ___ , Degré : ___

• $-7 \rightarrow$ Coefficient : ___ , Partie littérale : ___ , Degré : ___

Pour simplifier des expressions, on ne peut additionner ou soustraire que des monômes semblables (ceux qui ont la même partie littérale). Réduire au maximum les expressions suivantes :

• $3x + 5x - x$

• $2a + 7b - a + 3b$

• $4x^2 + 2x^2 - 5x$

• $m + m + m + n + n$

Dans l'étude des monômes, il est essentiel d'identifier leurs parties pour pouvoir calculer avec eux. Compléter les informations de la liste de monômes suivante :

• Monôme A : $-5ax^3$

• Monôme B : $\frac{2}{3}y^2z$

• Monôme C : $-x^2y^2$

• Monôme D : $12$

Pour chacun, indiquer :

1. Le coefficient.

2. La partie littérale.

3. Le degré du monôme.

4. Écrire un monôme semblable au monôme A.

Manon conçoit une étagère modulaire. Chaque module carré nécessite $4$ planches longues et $4$ connecteurs dans les coins. Cependant, lorsqu'on assemble des modules côte à côte, ils partagent une planche verticale et les deux connecteurs de leurs extrémités.

• Écrire une expression littérale donnant le nombre de planches nécessaires pour monter une rangée de $x$ modules.

• Si chaque planche coûte $a$ euros et chaque connecteur coûte $b$ euros, écrire l'expression du coût total d'une rangée de $x$ modules.

• Simplifier l'expression du coût total sachant que le connecteur coûte le quart du prix d'une planche ($b = a/4$).

Réduire les expressions littérales suivantes en regroupant les termes semblables. Penser à appliquer correctement la règle des signes :

• a) $5x^2 - 3x + 2x^2 + x - 8$

• b) $3ab + 5a - 2ab + 7b - 4a$

• c) $-(2x + 5) + 3(x - 1)$

• d) $4y^2 - (2y^2 - 5y) + 3y$

Effectuer les opérations suivantes avec des monômes et simplifier le résultat chaque fois que c'est possible. Si le résultat est un nombre, l'indiquer :

• a) $(3x^2) \cdot (4x^3)$

• b) $(-15a^4b^2) : (3a^2b)$

• c) $2 \cdot (5xy) \cdot (-x^2)$

• d) $\frac{10x^3y}{2x^3y}$

Pour calculer la valeur numérique de l'expression littérale :

pour la valeur $x = 15$, deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Stratégie de Laura : elle remplace directement la valeur $x = 15$ dans l'expression telle quelle et effectue les calculs en respectant les priorités opératoires.

• Stratégie de David : il commence par simplifier l'expression littérale en appliquant la distributivité et en regroupant les monômes semblables ; puis il remplace $x = 15$ dans l'expression obtenue.

1. a) Résoudre l'exercice en suivant pas à pas la stratégie de Laura.
2. b) Résoudre l'exercice en suivant pas à pas la stratégie de David.
3. c) Vérifier si l'on obtient le même résultat numérique avec les deux méthodes et expliquer pourquoi.
4. d) Comparer les deux méthodes : laquelle demande les calculs les plus simples ? Si vous deviez calculer la valeur numérique de cette même expression pour cinq valeurs différentes de $x$ ($x = -2$, $x = 0$, $x = 1$, $x = 10$ et $x = 100$), justifier quelle stratégie vous choisiriez.

Dans un jeu vidéo de rôle, les dégâts infligés par un sort de feu se calculent avec l'expression : $D = \frac{3(x + 2y)^2 - 6xy}{2}$, où $x$ est le niveau de magie du personnage et $y$ est la puissance du bâton.

• Calculer les dégâts si le personnage a un niveau de magie $x = 4$ et une puissance de bâton $y = 1$.

• Un programmeur affirme que si le personnage n'a pas de bâton ($y = 0$), les dégâts se simplifient en une expression proportionnelle au carré du niveau de magie. Démontrer si c'est vrai en effectuant la substitution et en simplifiant.

• Si l'on double le niveau de magie ($2x$) et que l'on garde le bâton à $y = 0$, combien de fois les dégâts totaux sont-ils multipliés ?

On considère les trois monômes suivants : $A = 12x^2y$, $B = -4x^2y$ et $C = 5xy^2$.

Effectuer les opérations combinées suivantes et simplifier au maximum le résultat :

• $A + B - \frac{1}{2}A$

• $(A \cdot C) : (2xy)$

• Expliquer pourquoi on ne peut pas additionner le monôme $A$ avec le monôme $C$. Quelle condition devrait changer dans leur partie littérale pour que ce soit possible ?

Le plan d'un nouveau centre de loisirs pour adolescents a une forme irrégulière composée d'un rectangle central et de deux zones triangulaires identiques sur les côtés. Les dimensions sont données en fonction d'une variable $x$ qui représente la largeur de base des salles.

• Écrire l'expression littérale simplifiée du périmètre total de la figure.

• Écrire l'expression littérale simplifiée de l'aire totale du centre de loisirs.

• Si, pour respecter la réglementation de sécurité, l'aire totale doit être d'au moins $150 \, m^2$, vérifier si le projet est valide lorsque $x = 5 \, m$.