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5e · Mathématiques
Automatismes de cinquième · Automatismes de cinquième

Automatismes : nombres et calculs

Au collège, beaucoup de questions se font de tête, sans calculatrice : c'est le principe des automatismes. Quelle est la température à Strasbourg si elle passe de $-6\,^\circ\text{C}$ à $+5\,^\circ\text{C}$ ? Combien de paquets de 5 biscuits peut-on faire avec 47 biscuits ? Cette page rassemble les réflexes à acquérir pour répondre vite et juste.

Nombres relatifs

Un nombre relatif s'écrit avec un signe (+ ou −) et une partie numérique : $+4$, $-7$, $-2{,}5$… Sur une droite graduée, les nombres négatifs sont à gauche de $0$, les positifs à droite.

Droite graduée de −4 à 2 avec les points A d'abscisse −2 et B d'abscisse 2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 A B

  • L'opposé d'un nombre est le nombre qui a la même distance à $0$ (même valeur absolue) et le signe contraire : l'opposé de $-8$ est $8$ ; l'opposé de $5$ est $-5$.

  • La valeur absolue d'un nombre est sa distance à $0$ : $|-6| = 6$ et $|6| = 6$. Deux nombres ont la même valeur absolue s'ils sont opposés : si la valeur absolue est $9$, le nombre est $9$ ou $-9$.

  • Comparer : plus un nombre est à droite, plus il est grand. Donc $-7 < -3 < 0 < 2$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer $(-7)+(-5)$. 2. Calculer $4-9$. 3. Donner l'opposé de $-8$. 4. Donner la valeur absolue de $-6$. 5.…

Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice.

  1. Calculer $(-7)+(-5)$.

  2. Calculer $4-9$.

  3. Donner l'opposé de $-8$.

  4. Donner la valeur absolue de $-6$.

  5. Calculer $7^2$.

  6. Ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants : $-3$ ; $2$ ; $-7$ ; $0$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Le solde du compte de Léa est de $-45\ €$. Elle dépose $120\ €$, puis elle retire $90\ €$. Donner le nouveau…

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  1. Le solde du compte de Léa est de $-45\ €$. Elle dépose $120\ €$, puis elle retire $90\ €$. Donner le nouveau solde.

  2. Calculer $\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}$.

  3. Calculer les $\dfrac{3}{4}$ de $36$, puis en retrancher le tiers de $36$.

  4. Calculer $10^3-12^2$.

  5. Donner tous les nombres entiers relatifs dont la valeur absolue est strictement inférieure à $3$.

  6. Calculer $3{,}6\div 0{,}12$.

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Additionner et soustraire des relatifs

Additionner un nombre, c'est avancer sur la droite graduée (à droite si positif, à gauche si négatif). Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : $a - b = a + (-b)$. Pourquoi ? Perdre une dette de $6\ €$, c'est gagner $6\ €$.

  • Même signe : on additionne les valeurs absolues et on garde le signe. $(-7)+(-5) = -12$.

  • Signes différents : on soustrait les valeurs absolues et on garde le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue. $-3+8=5$.

  • Distance entre deux points : $A(-2)$ et $B(5)$ sont à $2+5=7$ unités. Si $A(-3)$ et $B$ est à $8$ unités à droite, l'abscisse de $B$ est $-3+8=5$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer $-3+8$. 2. Calculer $(-4)-(-6)$. 3. Calculer $5^3$. 4. Calculer $3^2+4^2$. 5. Sur une droite graduée, le…

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  1. Calculer $-3+8$.

  2. Calculer $(-4)-(-6)$.

  3. Calculer $5^3$.

  4. Calculer $3^2+4^2$.

  5. Sur une droite graduée, le point A a pour abscisse $-2$ et le point B a pour abscisse $5$. Donner la distance AB.

  6. Écrire $\dfrac{1}{2}$ sous la forme d'une fraction de dénominateur $10$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}$. 2. Calculer $\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{6}$. Donner le résultat sous la forme…

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  1. Calculer $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}$.

  2. Calculer $\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{6}$. Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

  3. Calculer $-2{,}5+4{,}1$.

  4. Calculer $7^2-6^2$.

  5. Un nombre relatif a pour valeur absolue $9$. Donner les deux nombres possibles.

  6. Calculer $15\div 0{,}5$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Un plongeur est à l'altitude $-18\ \text{m}$ par rapport au niveau de la mer. Il remonte de $7\ \text{m}$, puis…

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  1. Un plongeur est à l'altitude $-18\ \text{m}$ par rapport au niveau de la mer. Il remonte de $7\ \text{m}$, puis redescend de $15\ \text{m}$. Donner son altitude finale.

  2. Calculer $-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$.

  3. Sur une droite graduée, le point A a pour abscisse $-3$. Le point B est à droite de A et $AB=8$. Donner l'abscisse de B.

  4. Calculer $3^2+2^2$, puis calculer $(3+2)^2$.

  5. Calculer $\dfrac{7}{12}+\dfrac{5}{18}$.

  6. Dans une division euclidienne par $9$, le quotient est $11$ et le reste est $4$. Déterminer le dividende.

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Fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut le même dénominateur : on ne peut additionner que des parts de même taille. Si les dénominateurs sont égaux, on garde le dénominateur : $\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7}$.

Sinon, on cherche un dénominateur commun (souvent un multiple du plus grand) en multipliant numérateur et dénominateur par un même nombre : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{15}{20}$.

Pour comparer, on met au même dénominateur (ou on passe en décimaux) : $\dfrac{1}{2}=0{,}5$, $\dfrac{3}{5}=0{,}6$, donc $0{,}4<\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{5}$.

Pour prendre une fraction d'une quantité : les $\dfrac{3}{5}$ de $40$ : $40\div5=8$ puis $8\times3=24$.

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier : $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer $12^2$. 2. Calculer $10^3$. 3. Calculer $\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{7}$. 4. Donner le quotient et le reste…

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  1. Calculer $12^2$.

  2. Calculer $10^3$.

  3. Calculer $\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{7}$.

  4. Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de $47$ par $5$.

  5. Parmi les nombres $120$ ; $135$ ; $244$ ; $301$, indiquer ceux qui sont divisibles par $5$.

  6. Compléter l'égalité : $\dfrac{3}{4}=\dfrac{\ldots}{20}$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer $\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}$. 2. Calculer $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}$. Donner le résultat sous la forme…

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  1. Calculer $\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}$.

  2. Calculer $\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{3}$. Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

  3. Calculer $-12+7-(-8)$.

  4. Comparer $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{3}{4}$ à l'aide du symbole $<$ ou $>$.

  5. Calculer les $\dfrac{3}{5}$ de $40$.

  6. Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de $1\,000$ par $7$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer $\dfrac{7}{10}-\dfrac{2}{5}$. 2. Calculer $2{,}4\div 0{,}6$. 3. Calculer $-5+(-9)-(-14)$. 4. Ranger dans…

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  1. Calculer $\dfrac{7}{10}-\dfrac{2}{5}$.

  2. Calculer $2{,}4\div 0{,}6$.

  3. Calculer $-5+(-9)-(-14)$.

  4. Ranger dans l'ordre croissant les nombres $\dfrac{1}{2}$ ; $0{,}4$ ; $\dfrac{3}{5}$.

  5. Calculer $2^3+10^2$.

  6. Donner le plus petit nombre supérieur à $123$ qui soit divisible par $2$ et par $5$.

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Carrés et cubes

$a^2$ se lit « $a$ au carré » : $a\times a$. $a^3$ se lit « $a$ au cube » : $a\times a\times a$.

$n$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$n^2$ 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144

À connaître aussi : $10^3=1\,000$, $5^3=125$, $2^3=8$, $3^3=27$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. À Strasbourg, il fait $-6\,^\circ\text{C}$ au lever du jour. La température monte de $11\,^\circ\text{C}$ dans la…

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  1. À Strasbourg, il fait $-6\,^\circ\text{C}$ au lever du jour. La température monte de $11\,^\circ\text{C}$ dans la matinée, puis baisse de $8\,^\circ\text{C}$ en soirée. Donner la température en soirée.

  2. Calculer $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{8}$.

  3. Ranger dans l'ordre croissant les nombres $\dfrac{7}{4}$ ; $1{,}7$ ; $\dfrac{3}{2}$ ; $1+\dfrac{4}{5}$.

  4. Calculer $4^2-3^3$.

  5. Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de $2\,025$ par $12$.

  6. Le nombre $2\,025$ est-il divisible par $2$ ? par $5$ ? par $10$ ?

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Division euclidienne et divisibilité

Faire la division euclidienne de $a$ par $b$, c'est trouver le quotient $q$ et le reste $r$ tels que $a=b\times q+r$ avec $r

Pour retrouver le dividende : $9\times11+4=103$.

Critères de divisibilité :

  • par $2$ : le chiffre des unités est $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ ;

  • par $5$ : le chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;

  • par $10$ : le chiffre des unités est $0$.

Ainsi $135$ est divisible par $5$ mais pas par $2$ ; $120$ l'est par $2$, $5$ et $10$.

Diviser par un décimal : on multiplie le dividende et le diviseur par $10$ (ou $100$) pour obtenir un diviseur entier, le quotient ne change pas. $2{,}4\div0{,}6=24\div6=4$ ; $15\div0{,}5=150\div5=30$ ; $3{,}6\div0{,}12=360\div12=30$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer $\dfrac{7}{10}-\dfrac{2}{5}$. 2. Calculer $2{,}4\div 0{,}6$. 3. Calculer $-5+(-9)-(-14)$. 4. Ranger dans…

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  1. Calculer $\dfrac{7}{10}-\dfrac{2}{5}$.

  2. Calculer $2{,}4\div 0{,}6$.

  3. Calculer $-5+(-9)-(-14)$.

  4. Ranger dans l'ordre croissant les nombres $\dfrac{1}{2}$ ; $0{,}4$ ; $\dfrac{3}{5}$.

  5. Calculer $2^3+10^2$.

  6. Donner le plus petit nombre supérieur à $123$ qui soit divisible par $2$ et par $5$.

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Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. À Strasbourg, il fait $-6\,^\circ\text{C}$ au lever du jour. La température monte de $11\,^\circ\text{C}$ dans la…

Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice.

  1. À Strasbourg, il fait $-6\,^\circ\text{C}$ au lever du jour. La température monte de $11\,^\circ\text{C}$ dans la matinée, puis baisse de $8\,^\circ\text{C}$ en soirée. Donner la température en soirée.

  2. Calculer $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{8}$.

  3. Ranger dans l'ordre croissant les nombres $\dfrac{7}{4}$ ; $1{,}7$ ; $\dfrac{3}{2}$ ; $1+\dfrac{4}{5}$.

  4. Calculer $4^2-3^3$.

  5. Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de $2\,025$ par $12$.

  6. Le nombre $2\,025$ est-il divisible par $2$ ? par $5$ ? par $10$ ?

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À s'entraîner ! 9 exercices dans cette section
★☆☆ Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer $(-7)+(-5)$. 2. Calculer…★☆☆ Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer $12^2$. 2. Calculer…★☆☆ Répondre aux questions suivantes, sans calculatrice. 1. Calculer $-3+8$. 2. Calculer…

L'essentiel

  • Opposé : même distance à $0$, signe contraire. Valeur absolue : distance à $0$. Soustraire, c'est ajouter l'opposé.

  • Fractions : même dénominateur pour additionner, soustraire ou comparer ; penser à simplifier.

  • $a^2=a\times a$, $a^3=a\times a\times a$ ; connaître les carrés de $0$ à $12$ et $10^3=1\,000$.

  • Division euclidienne : $a=b\times q+r$ avec $r

  • Divisible par $2$, $5$, $10$ : regarder le chiffre des unités.

  • Diviser par un décimal : multiplier dividende et diviseur par $10$, $100$…

Pour finir : de $-6\,^\circ\text{C}$ à $+5\,^\circ\text{C}$, on gagne $11\,^\circ\text{C}$ ; et avec 47 biscuits, on fait $9$ paquets de $5$, il en reste $2$.

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