Partages proportionnels

Trois frères et sœurs décident de se partager un sachet de $120$ bonbons de façon proportionnelle à leurs âges, qui sont $2$, $3$ et $7$ ans. Combien de bonbons revient-il à chacun ?

Trois amis, Alice, Benoît et Camille, ont participé à un marché solidaire en vendant des objets faits main. Ils décident de se partager les $300 \ €$ de bénéfice de façon proportionnelle au nombre d'heures travaillées par chacun : Alice a travaillé $2$ heures, Benoît $3$ heures et Camille $5$ heures. Calculer la somme que reçoit chacun.

Pour répartir un prix de $180$ € entre trois sœurs de façon proportionnelle aux heures passées à nettoyer le jardin ($2$ heures pour Lucie, $3$ heures pour Hélène et $4$ heures pour Manon), leur frère aîné Paul raisonne ainsi : « Comme elles sont trois, je divise $180$ par $3$ et cela fait $60$ € par part. Ensuite je multiplie par leurs heures : Lucie reçoit $2 \cdot 60 = 120$ €, Hélène $3 \cdot 60 = 180$ € et Manon $4 \cdot 60 = 240$ € ».

1. a) Expliquer avec vos propres mots l'erreur conceptuelle commise par Paul dans le calcul de la valeur d'« une part » ($k$).
2. b) Vérifier la somme des montants obtenus par Paul pour démontrer pourquoi sa solution est impossible en pratique.
3. c) Corriger l'exercice en effectuant correctement la répartition proportionnelle et calculer la somme que reçoit réellement chaque sœur.

Un menuisier a une latte de bois de $240\text{ cm}$ et doit la découper en trois morceaux dont les longueurs sont proportionnelles aux nombres $1$, $2$ et $3$. On note $k$ la longueur du morceau le plus court, de sorte que les deux autres mesurent $2k$ et $3k$. Quelle sera la longueur de chaque morceau ?

Trois classes de 4e d'un collège participent à une campagne solidaire de collecte de denrées alimentaires et ont réuni un total de $450\text{ kg}$. La direction de l'établissement va récompenser leur effort en répartissant $90$ billets de cinéma de façon proportionnelle aux kilos apportés par chaque classe : la 4e A a récolté $100\text{ kg}$, la 4e B a récolté $150\text{ kg}$ et la 4e C a récolté $200\text{ kg}$.

1. a) Avant tout calcul, estimer : la classe de 4e C recevra-t-elle plus ou moins de la moitié des billets disponibles ? Justifier l'estimation en comparant les kilos de la 4e C avec le total récolté.
2. b) Calculer la valeur de chaque part ($k$) et déterminer combien de billets exactement revient à chaque classe.
3. c) Vérifier si l'estimation initiale était correcte et confirmer que la somme des trois quantités est égale au nombre total de billets.

Une association écologiste a reçu une subvention de $2\ 160\ €$ pour récompenser trois bénévoles qui ont participé au nettoyage des plages. L'argent sera réparti de façon proportionnelle au nombre de sacs de déchets ramassés par chacun. Si le premier bénévole a ramassé $24$ sacs, le deuxième $30$ sacs et le troisième $36$ sacs, calculer la somme d'argent qui revient à chaque bénévole.

Trois familles ont loué un gîte rural pour passer les vacances de Pâques. Le coût total de la location est de $1\,500$ €. Elles décident de répartir la dépense de façon directement proportionnelle au nombre de nuits que chaque famille a passées dans le gîte. La famille Martin est restée $5$ nuits, la famille Dupont est restée deux fois plus de nuits que la famille Leroy, et la famille Leroy est restée $3$ nuits de moins que la famille Martin. Quelle somme chaque famille doit-elle payer ?

Une application de musique a réparti ses bénéfices trimestriels entre trois artistes émergents de façon directement proportionnelle au nombre d'écoutes de leurs titres. On sait que l'artiste $X$ a reçu $1\,200$ € pour $300\,000$ écoutes. Si l'artiste $Y$ a eu $450\,000$ écoutes et que l'artiste $Z$ a reçu $2\,400$ €, calculer :

1. Le nombre d'écoutes de l'artiste $Z$.

2. La somme reçue par l'artiste $Y$.

3. Le bénéfice total réparti par l'application entre les trois.

Lors d'un concours de jeux vidéo, $100$ points de bonus sont répartis entre deux joueurs de façon inversement proportionnelle au nombre d'erreurs qu'ils ont commises. Si le premier joueur a commis $2$ erreurs et le second $4$ erreurs, combien de points chacun reçoit-il ?

Lors d'une course de drones, $310$ points de bonus sont répartis entre les trois premiers du classement de façon inversement proportionnelle au nombre de fautes techniques commises pendant le parcours. Le premier a commis $2$ fautes, le deuxième $5$ fautes et le troisième $10$ fautes. Combien de points chacun reçoit-il ?

Lors d'un concours de robotique scolaire, $270$ points sont répartis entre les trois équipes finalistes de façon inversement proportionnelle au nombre de pénalités techniques commises pendant l'épreuve : l'équipe Alfa a commis $3$ pénalités, l'équipe Beta $4$ et l'équipe Gamma $6$.

Pour effectuer la répartition, deux membres du jury proposent des méthodes différentes :

• Méthode 1 : additionner les fractions des inverses $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$, diviser le total des points par cette somme de fractions pour trouver la constante $k$, puis multiplier chaque fraction par $k$.

• Méthode 2 : multiplier les inverses par le plus petit commun multiple des dénominateurs (PPCM$(3\ ;\ 4\ ;\ 6) = 12$) pour obtenir des nombres entiers équivalents ($4$, $3$ et $2$), puis effectuer une répartition proportionnelle sur ces entiers.

1. a) Appliquer les deux méthodes pas à pas et vérifier qu'elles donnent exactement le même nombre de points pour chaque équipe.
2. b) Justifier laquelle des deux procédures vous paraît la plus commode et la plus sûre pour travailler à la main lors d'un contrôle, en expliquant les difficultés que présente l'autre méthode.

Lors d'un concours de recyclage, une mairie répartit un fonds de $2\,600$ € entre trois établissements scolaires de façon inversement proportionnelle au nombre de tonnes de déchets non recyclés qu'ils ont produites. L'établissement $1$ a produit $\frac{1}{2}$ tonne, l'établissement $2$ a produit $\frac{1}{3}$ de tonne et l'établissement $3$ a produit $\frac{1}{4}$ de tonne. Quelle récompense financière chaque établissement reçoit-il ?

Trois agriculteurs d'une association d'irrigants de la plaine de Camargue se partagent la facture d'électricité du moteur du puits qui alimente leurs champs. En juillet, le coût total de l'électricité a été de $1\,500$ €. Cependant, l'association bénéficie d'une subvention régionale pour utilisation efficace de l'eau, qui finance $20\%$ du montant total avant l'émission des paiements. Le montant net obtenu doit être réparti de façon proportionnelle au volume d'eau consommé par chaque exploitation :

• Vincent : $1\,200\text{ m}^3$

• Amélie : $1\,800\text{ m}^3$

• Charles : $3\,000\text{ m}^3$

1. a) Calculer le montant net restant à payer après application de la subvention de $20\%$.
2. b) Déterminer le prix du mètre cube ($k$) pour cette répartition et calculer combien doit payer chacun des trois agriculteurs.
3. c) Pourquoi la subvention de $20\%$ doit-elle être appliquée sur le total avant de faire la répartition proportionnelle, plutôt que de répartir d'abord les $1\,500$ € puis de retrancher un tiers de l'aide à chacun ? Justifier la réponse en s'appuyant sur l'équité de la répartition proportionnelle.

Trois amis d'un club d'e-sport ont gagné un tournoi régional et vont se partager un prix de $1\,900$ €. Le partage doit être directement proportionnel aux points obtenus lors de la grande finale. Le premier joueur a obtenu $150$ points, le deuxième $120$ points et le troisième $110$ points. Cependant, avant de toucher la somme, le club leur retient $5\%$ du total du prix pour frais de gestion. Quelle somme nette chacun des trois joueurs recevra-t-il après application de la retenue et partage proportionnel ?

Un grand-père veut partager une collection de $168$ pièces anciennes entre ses trois petits-enfants de façon inversement proportionnelle à leurs âges, qui sont $12$, $15$ et $20$ ans. Le plus jeune lui fait tellement plaisir que le grand-père décide de lui offrir en plus $10$ pièces prises dans sa réserve personnelle. Avec combien de pièces chaque petit-enfant finira-t-il ?

Une mairie consacre une enveloppe budgétaire de $3\,700$ € à trois associations de quartier pour des projets de mobilité durable. Selon le règlement municipal, chaque association reçoit d'abord une aide fixe individuelle de $200$ € pour les frais de secrétariat et de gestion. L'argent restant de l'enveloppe est réparti de façon inversement proportionnelle au nombre de plaintes d'habitants pour le bruit et la circulation que cumule chaque quartier au cours de l'année : quartier Nord ($2$ plaintes), quartier Centre ($3$ plaintes) et quartier Sud ($5$ plaintes).

1. a) Déterminer quelle part de l'enveloppe municipale est distribuée par partage inversement proportionnel et calculer la somme revenant à chaque quartier à ce titre.
2. b) Ajouter l'aide fixe de secrétariat et calculer le montant total définitif que percevra chacune des trois associations.
3. c) La porte-parole du quartier Sud proteste en affirmant : « Nous n'avons que trois plaintes de plus que le quartier Nord, mais ils reçoivent plus du double de notre somme dans le partage proportionnel ; ce partage est injuste. » Réfuter mathématiquement sa plainte : analyser la relation multiplicative entre les plaintes ($5$ contre $2$) et expliquer comment la proportionnalité inverse intervient dans l'attribution des parts.