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5e · Mathématiques
Angles, symétrie centrale, divisibilité et automatismes en 5e · Arithmétique et automatismes

Carrés, cubes et calcul mental

Lucas veut carreler le sol carré de sa chambre : 4 carreaux de côté. Combien de carreaux lui faut-il ? Et pour un carré de 12 carreaux de côté ? Pour répondre vite, sans calculatrice, il vaut mieux connaître les carrés par cœur. C'est ce que nous allons apprendre, avec quelques astuces de calcul mental.

Le carré d'un nombre

Un carré de côté $4$ est formé de $4$ rangées de $4$ carreaux : il contient $4 \times 4 = 16$ carreaux.

Un carré de côté 4 formé de 16 petits carreaux côté : 4 4 × 4 = 4² = 16

Par exemple, $7^2 = 7 \times 7 = 49$. Si le côté d'un carré mesure $a$, son aire est $\mathcal{A} = a^2$.

Les carrés à connaître par cœur

$a$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$a^2$ 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144
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Calculer de tête : $7^2$, $9^2$, $12^2$, $11^2$.

Calculer de tête : $7^2$, $9^2$, $12^2$, $11^2$.

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Un carré a pour côté $8$ cm. a) Calculer son aire. b) Un autre carré a une aire de $144$ cm². Quel est son côté ?

Un carré a pour côté $8$ cm.

  1. a) Calculer son aire.
  2. b) Un autre carré a une aire de $144$ cm². Quel est son côté ?
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Le cube d'un nombre

Un cube d'arête $a$ est un empilement de $a$ couches de $a \times a$ petits cubes.

Exemples : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ ; $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ ; $0^2 = 0$.

Le volume d'un cube d'arête $a$ est $\mathcal{V} = a^3$.

Quand il y a un carré dans une somme, on calcule d'abord la puissance : $5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$ (et non $8^2$).

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Calculer $10^3$ et $0^2$ puis $5^2 + 3^2$.

Calculer $10^3$ et $0^2$ puis $5^2 + 3^2$.

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Calculer sans calculatrice : a) $6^2 + 8^2$ b) $12^2 - 11^2$ c) $2 \times 10^3 + 5 \times 10^2$

Calculer sans calculatrice :

  1. a) $6^2 + 8^2$
  2. b) $12^2 - 11^2$
  3. c) $2 \times 10^3 + 5 \times 10^2$
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Un cube a pour arête $10$ cm. a) Calculer son volume en cm³. b) Exprimer ce volume en litres.

Un cube a pour arête $10$ cm.

  1. a) Calculer son volume en cm³.
  2. b) Exprimer ce volume en litres.
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Du carré au côté, et l'encadrement d'un carré

Si l'aire d'un carré est $144\ \text{cm}^2$, quel est son côté ? On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne $144$. Grâce à la table : $12^2 = 144$, donc le côté mesure $12\ \text{cm}$.

Si le nombre n'est pas dans la table, on l'encadre entre deux carrés consécutifs. Par exemple, $144 < 150 < 169$, donc $12^2 < 150 < 13^2$ : $150$ est compris entre deux carrés consécutifs.

Différence de deux carrés consécutifs

Observe : $6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11 = 2 \times 5 + 1$ et $8^2 - 7^2 = 64 - 49 = 15 = 2 \times 7 + 1$. Cela marche toujours : $(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$. Pour le voir, découpe le carré de côté $n+1$ : il contient le carré de côté $n$ et deux bandes de $n$ carreaux plus un carreau d'angle.

Un carré de côté n+1 contient un carré de côté n, deux bandes de n carreaux et un carreau d'angle n² n n 1 (n+1)² = n² + 2n + 1
Entraîne-toi★★★
Trouver deux entiers consécutifs dont la différence des carrés vaut $25$. Justifier.

Trouver deux entiers consécutifs dont la différence des carrés vaut $25$. Justifier.

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Un entier $n$ vérifie $n^2 < 200 < (n+1)^2$. a) Déterminer $n$. b) Calculer $(n+1)^2 - n^2$ et vérifier que ce résultat est égal à $2n + 1$.

Un entier $n$ vérifie $n^2 < 200 < (n+1)^2$.

  1. a) Déterminer $n$.
  2. b) Calculer $(n+1)^2 - n^2$ et vérifier que ce résultat est égal à $2n + 1$.
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Calculer astucieusement

Le calcul mental repose sur quelques réflexes.

  • Regrouper pour obtenir des dizaines : $15 + 28 + 5 = (15 + 5) + 28 = 48$.

  • Multiplier par $10$ : on décale la virgule d'un rang vers la droite : $10 \times 3{,}6 = 36$.

  • Associer pour faire $100$ : $25 \times 4 = 100$.

  • Décomposer : $99 \times 12 = (100 - 1) \times 12 = 1\,200 - 12 = 1\,188$.

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Calculer mentalement $25 \times 4$, $15 + 28 + 5$ et $10 \times 3,6$.

Calculer mentalement $25 \times 4$, $15 + 28 + 5$ et $10 \times 3,6$.

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Entraîne-toi★★★
Calculer astucieusement : a) $99 \times 12$ b) $25 \times 17 \times 4$ c) $13^2 - 12^2 + 5^2$

Calculer astucieusement :

  1. a) $99 \times 12$
  2. b) $25 \times 17 \times 4$
  3. c) $13^2 - 12^2 + 5^2$
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Retour au début : Lucas a besoin de $4^2 = 16$ carreaux pour 4 de côté, et de $12^2 = 144$ carreaux pour 12 de côté.

L'essentiel

  • $a^2 = a \times a$ (« $a$ au carré ») et $a^3 = a \times a \times a$ (« $a$ au cube »). Attention : $3^2 \neq 3 \times 2$.

  • Carrés à connaître : $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ ; et $10^3 = 1\,000$.

  • Aire d'un carré de côté $a$ : $a^2$ ; volume d'un cube d'arête $a$ : $a^3$ ; $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3$.

  • On calcule les puissances avant les additions et soustractions.

  • Pour calculer vite : regrouper, associer ($25 \times 4$), décomposer ($99 = 100 - 1$).

  • $(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$.

À s'entraîner ! 9 exercices dans cette section
★☆☆ Calculer de tête : $7^2$, $9^2$, $12^2$, $11^2$.★☆☆ Calculer $10^3$ et $0^2$ puis $5^2 + 3^2$.★☆☆ Calculer mentalement $25 \times 4$, $15 + 28 + 5$ et $10 \times 3,6$.
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