Volume

Pour un projet de classe, vous devez estimer la quantité d'eau que peut contenir votre cartable. Si l'on suppose que votre cartable a une capacité de $18\,500 \text{ cm}^3$, combien de litres d'eau pourrait-il contenir s'il était totalement étanche ?

Rappel : $1 \text{ dm}^3$ est équivalent à $1 \text{ litre}$.

Vous venez d'acheter un nouveau smartphone et vous voulez calculer le volume de sa boîte pour savoir quelle place elle prendra sur votre étagère. La boîte est un pavé droit avec les dimensions suivantes : $16 \text{ cm}$ de longueur, $9 \text{ cm}$ de largeur et $5 \text{ cm}$ de hauteur. Calculer son volume en $\text{cm}^3$.

Au laboratoire de sciences, il y a un petit aquarium en forme de pavé droit. Ses dimensions sont $40 \text{ cm}$ de longueur, $20 \text{ cm}$ de largeur et $25 \text{ cm}$ de hauteur. Si on le remplit d'eau jusqu'à une hauteur de $20 \text{ cm}$, combien de litres d'eau a-t-on versés ?

Vous avez décidé de construire une fourmilière en gel pour un projet de sciences. Le récipient a la forme d'un pavé droit avec des dimensions de $25\text{ cm}$ de longueur, $10\text{ cm}$ de largeur et $18\text{ cm}$ de hauteur. Si le gel est vendu en pots de $0,5\text{ litres}$, combien de pots entiers devrez-vous acheter pour remplir la fourmilière jusqu'à une hauteur de $15\text{ cm}$ ?

Une piscine municipale en forme de pavé droit a une capacité de $1200\text{ m}^3$. Sachant que la longueur de la piscine est de $50\text{ mètres}$ et sa largeur de $12\text{ mètres}$, calculer la profondeur (hauteur) de la piscine. Si la mairie décide de ne la remplir qu'aux $4/5$ de sa capacité par sécurité, combien de litres d'eau y aura-t-il dans la piscine ?

Une célèbre marque de sodas utilise des canettes cylindriques pour ses boissons. Si le rayon de la base de la canette est de $3 \text{ cm}$ et sa hauteur de $12 \text{ cm}$, calculer le volume de soda que peut contenir la canette. (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Vous faites du camping avec vos amis et vous avez une tente en forme de prisme droit à base triangulaire. La base de la tente (le sol) est un triangle de base $2 \text{ m}$ et de hauteur $1,5 \text{ m}$. Si la tente a une longueur (profondeur) de $3 \text{ m}$, quel est le volume d'air à l'intérieur de la tente ?

Une célèbre marque de milkshakes a conçu un nouvel emballage cylindrique pour son édition limitée d'été. La bouteille a un diamètre de $8\text{ cm}$ et une hauteur de $15\text{ cm}$. Si le fabricant indique que le milkshake occupe $90\%$ de la capacité totale de l'emballage pour laisser de la place à l'air, calculer combien de millilitres ($ml$) de produit contient chaque bouteille.

Lucie veut calculer le volume d'une bougie parfumée de forme cylindrique. La bougie mesure $10\text{ cm}$ de diamètre et $12\text{ cm}$ de hauteur. Dans son cahier, elle a écrit la résolution suivante :

$$V = \pi \cdot 10^2 \cdot 12 = \pi \cdot 100 \cdot 12 = 1\,200\pi \approx 3\,769,91\text{ cm}^3$$

1. a) Repérer et expliquer précisément quelle erreur conceptuelle Lucie a commise dans sa démarche.
2. b) Corriger son calcul et déterminer le volume réel de cire que contient la bougie (prendre $\pi \approx 3,14$).
3. c) Si Lucie utilisait son résultat erroné pour commander la cire à l'usine, combien de fois plus de matière que nécessaire aurait-elle commandée ? Justifier la réponse à partir de la formule du volume, sans refaire de calculs avec des décimaux.

Vous avez un presse-papier en verre en forme de pyramide régulière à base carrée. L'aire de sa base carrée est de $25 \text{ cm}^2$ et la hauteur de la pyramide est de $9 \text{ cm}$. Calculer le volume de verre nécessaire pour fabriquer ce presse-papier.

Pour une fête d'anniversaire, on a fabriqué des chapeaux en carton en forme de cône. Si chaque chapeau a un rayon de $8 \text{ cm}$ et une hauteur de $15 \text{ cm}$, quel volume d'air est « emprisonné » dans le chapeau lorsque quelqu'un le porte ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Une balle de ping-pong a un rayon de $2 \text{ cm}$. Calculer le volume de la balle de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliser la formule du volume de la boule $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ et prendre $\pi \approx 3,14$.)

Dans un musée des sciences, une exposition interactive présente une boule de verre remplie d'un gaz noble. Si le diamètre de la boule est de $60\text{ cm}$, quel est le volume de gaz à l'intérieur ? Exprimer le résultat en mètres cubes ($m^3$).

Un silo de stockage de grain a une forme composée : un corps cylindrique de $10\text{ m}$ de hauteur et une coupole en demi-boule sur le dessus. Si le rayon de la base est de $4\text{ m}$, calculer la capacité totale du silo en hectolitres ($hl$).

Une pièce industrielle en acier a la forme d'un pavé droit de dimensions $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Pour alléger son poids, on y a percé un trou cylindrique qui traverse la pièce de haut en bas par sa plus grande face. Le rayon du cylindre est de $2\text{ cm}$. Sachant que la masse volumique de l'acier est de $7,85\text{ g/cm}^3$, calculer la masse totale de la pièce en kilogrammes. (Prendre $\pi \approx 3,14$.)

On souhaite construire une rampe en béton pour un skatepark. La rampe a la forme d'un prisme droit dont la base est un trapèze rectangle. Les bases du trapèze mesurent $3\text{ m}$ et $1\text{ m}$, et sa hauteur (longueur de la base de la rampe au sol) est de $5\text{ m}$. Si la largeur de la rampe est de $4\text{ m}$, calculer combien de mètres cubes de béton sont nécessaires ainsi que le coût total si le prix est de $95\text{ €/m}^3$.