Aires de solides
Combien de carton faut-il pour fabriquer une boîte à chaussures ? Combien de fer-blanc pour une boîte de conserve ? Pour le savoir, il faut calculer l'aire du solide : la somme des aires de toutes ses faces. L'astuce est toujours la même : imaginer le solide déplié à plat sur la table. C'est son patron.
Aire latérale et aire totale
Unités d'aire. Une aire s'exprime en unités de surface : $\text{cm}^2$, $\text{dm}^2$, $\text{m}^2$. Un carré de $1\ \text{m}$ de côté mesure $100\ \text{cm}$ sur $100\ \text{cm}$, donc $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$. De même, $1\ \text{dm}^2 = 100\ \text{cm}^2$ et $1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2$.
Pour un cube, le patron est formé de 6 carrés identiques.
Pour un pavé droit de dimensions $L$, $l$ et $h$, on a trois paires de rectangles identiques : $\mathcal{A}_T = 2 \times (L \times l + L \times h + l \times h)$.
Un artisan fabrique des dés géants en bois pour une ludothèque. Si chaque dé est un cube parfait d'arête $a = 12 \text{ cm}$, calculer la surface totale de bois qu'il…
Un artisan fabrique des dés géants en bois pour une ludothèque. Si chaque dé est un cube parfait d'arête $a = 12 \text{ cm}$, calculer la surface totale de bois qu'il devra peindre sur chacun des dés.
Calculer l'aire totale d'une boîte à chaussures en forme de pavé droit dont les dimensions sont $15 \text{ cm}$ de largeur, $30 \text{ cm}$ de longueur et…
Calculer l'aire totale d'une boîte à chaussures en forme de pavé droit dont les dimensions sont $15 \text{ cm}$ de largeur, $30 \text{ cm}$ de longueur et $10 \text{ cm}$ de hauteur. Dessiner de façon schématique son patron pour t'aider dans le calcul.
Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.
Aire d'un prisme droit
Dans un prisme droit, les faces latérales sont des rectangles qui ont tous la même hauteur $h$. Une fois dépliées, elles forment un seul grand rectangle : sa longueur est le périmètre de la base et sa largeur est la hauteur du prisme.
Autres bases. Si la base est un triangle, son aire est $\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Si la base est un hexagone régulier, on la découpe en $6$ triangles identiques : $\mathcal{A}_{\text{base}} = 6 \times \dfrac{c \times a}{2}$, où $c$ est le côté et $a$ la hauteur d'un de ces triangles (donnée par l'énoncé ou par une figure).
Une tonnelle de jardin a la forme d'un prisme droit à base triangulaire. La base est un triangle équilatéral de côté $l = 3 \text{ m}$. Si la longueur de la tonnelle…
Une tonnelle de jardin a la forme d'un prisme droit à base triangulaire. La base est un triangle équilatéral de côté $l = 3 \text{ m}$. Si la longueur de la tonnelle (hauteur du prisme) est de $5 \text{ m}$, calculer l'aire latérale de la tonnelle (sans compter les deux bases triangulaires).
Aire du disque et aire d'un cylindre
Le disque de rayon $r$ a pour aire $\mathcal{A} = \pi \times r \times r = \pi r^2$, et le cercle a pour périmètre $2\pi r$. Dans les exercices : $\pi \approx 3{,}14$.
Le patron d'un cylindre est formé de deux disques (les bases) et d'un rectangle. Sa longueur est le périmètre du cercle de base, $2\pi r$, et sa largeur est la hauteur $h$.
Calculer l'aire latérale d'un cylindre dont le cercle de base a un périmètre de $C = 25,12 \text{ cm}$ et dont la hauteur est de $h = 10 \text{ cm}$. (Indice :…
Calculer l'aire latérale d'un cylindre dont le cercle de base a un périmètre de $C = 25,12 \text{ cm}$ et dont la hauteur est de $h = 10 \text{ cm}$. (Indice : rappelez-vous que, lorsqu'on déplie le cylindre, l'aire latérale est un rectangle dont la base est la longueur du cercle.)
Marc veut recouvrir de papier adhésif un pot à crayons de forme cylindrique. Le pot est ouvert sur le dessus, sa base circulaire a un rayon de $4\text{ cm}$ et sa…
Marc veut recouvrir de papier adhésif un pot à crayons de forme cylindrique. Le pot est ouvert sur le dessus, sa base circulaire a un rayon de $4\text{ cm}$ et sa hauteur est de $12\text{ cm}$. Pour calculer la quantité de papier nécessaire, Marc note dans son cahier :\n- Aire latérale : $A_L = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 12 \approx 301,59\text{ cm}^2$\n- Aire de la base : $A_{base} = \pi \cdot 4^2 \approx 50,27\text{ cm}^2$\n- Aire totale : $A_T = A_L + 2 \cdot A_{base} = 301,59 + 2 \cdot 50,27 = 402,13\text{ cm}^2$\na) Indiquer l'erreur de raisonnement géométrique commise par Marc, compte tenu de la fonction de l'objet à recouvrir.\nb) Expliquer quelle modification doit être apportée à la formule de l'aire totale à partir du patron d'un cylindre ouvert sur le dessus.\nc) Calculer la surface réelle de papier adhésif que Marc doit découper (utiliser $\pi \approx 3,14$).
Un fabricant de bougies artisanales veut recouvrir d'un papier protecteur argenté la surface latérale d'une bougie cylindrique. La bougie a un diamètre de $8\text{ cm}$…
Un fabricant de bougies artisanales veut recouvrir d'un papier protecteur argenté la surface latérale d'une bougie cylindrique. La bougie a un diamètre de $8\text{ cm}$ et une hauteur de $20\text{ cm}$. Si le papier ne doit couvrir que la partie courbe (sans les bases), quelle surface de papier faut-il pour chaque bougie ? Utiliser $\pi \approx 3,14$.
Pyramide, cône et sphère
Pyramide régulière. Ses faces latérales sont des triangles identiques, de base le côté $c$ de la base et de hauteur l'apothème $a_p$ de la pyramide (la hauteur d'une face latérale, à ne pas confondre avec la hauteur $h$ du solide).
$$\mathcal{A}_L = \frac{P_{\text{base}} \times a_p}{2} \qquad\qquad \mathcal{A}_T = \mathcal{A}_L + \mathcal{A}_{\text{base}}$$Cône de révolution. Son aire latérale est $\mathcal{A}_L = \pi r g$, où $g$ est la génératrice (le côté incliné), et $\mathcal{A}_T = \pi r g + \pi r^2$ (une seule base).
Sphère de rayon $r$ : elle ne se déplie pas, mais son aire vaut quatre fois celle de son grand cercle.
$$\mathcal{A} = 4\pi r^2$$Quand on connaît la hauteur. Si l'énoncé donne la hauteur $h$ et non $g$ ou $a_p$, on utilise le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle (étudié en 4e, donc hors programme de 5e) : pour un cône, $g^2 = h^2 + r^2$ ; pour une pyramide à base carrée de côté $c$, $a_p^2 = h^2 + \left(\dfrac{c}{2}\right)^2$. C'est aussi lui qui donne la diagonale d'une face carrée.
Tronc de pyramide régulière. Ses faces latérales sont des trapèzes identiques. L'aire d'un trapèze est $\dfrac{(B + b) \times a_p}{2}$, avec $B$ et $b$ les côtés parallèles et $a_p$ la hauteur du trapèze. Pour des bases carrées de côtés $B$ et $b$ : $\mathcal{A}_L = 4 \times \dfrac{(B + b) \times a_p}{2}$, puis on ajoute les aires des deux bases.
Solides composés. On additionne les aires des surfaces visibles : on retire les faces cachées là où deux solides sont collés (ou celle posée au sol si l'énoncé le dit).
Déterminer l'aire totale d'une pyramide régulière à base carrée sachant que le côté de la base carrée mesure $8 \text{ cm}$ et que l'apothème de ses faces latérales…
Déterminer l'aire totale d'une pyramide régulière à base carrée sachant que le côté de la base carrée mesure $8 \text{ cm}$ et que l'apothème de ses faces latérales mesure $10 \text{ cm}$.
Un ballon de basket a un rayon de $r = 12 \text{ cm}$. Calculer la surface de cuir nécessaire pour le fabriquer, en arrondissant le résultat à deux décimales. (Rappel :…
Un ballon de basket a un rayon de $r = 12 \text{ cm}$. Calculer la surface de cuir nécessaire pour le fabriquer, en arrondissant le résultat à deux décimales. (Rappel : l'aire de la sphère est $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$.)
Dans un glacier design, on a créé un cornet en forme de cône droit dont la hauteur est de $12\text{ cm}$ et dont le rayon de base est de $5\text{ cm}$. Calculer l'aire…
Dans un glacier design, on a créé un cornet en forme de cône droit dont la hauteur est de $12\text{ cm}$ et dont le rayon de base est de $5\text{ cm}$. Calculer l'aire totale du cornet (surface latérale plus disque de base) pour savoir combien de chocolat il faut pour l'enrober entièrement.
(Indice : il faut d'abord trouver la génératrice du cône).
Un phare décoratif pour un jardin est formé de deux solides : un cylindre de $10\text{ cm}$ de rayon et de $30\text{ cm}$ de hauteur, surmonté d'un cône de même base et…
Un phare décoratif pour un jardin est formé de deux solides : un cylindre de $10\text{ cm}$ de rayon et de $30\text{ cm}$ de hauteur, surmonté d'un cône de même base et de $15\text{ cm}$ de génératrice. Calculer l'aire totale de la surface extérieure de ce phare (sans compter la base sur laquelle il repose).
Une entreprise de design veut fabriquer un plafonnier en forme de pyramide régulière à base hexagonale. Le côté de l'hexagone de la base mesure $10\text{ cm}$ et la…
Une entreprise de design veut fabriquer un plafonnier en forme de pyramide régulière à base hexagonale. Le côté de l'hexagone de la base mesure $10\text{ cm}$ et la hauteur de la pyramide est de $24\text{ cm}$. Pour que la lumière se projette correctement, il faut recouvrir les faces latérales d'une feuille de cuivre spéciale. Calculer combien de $\text{cm}^2$ de feuille de cuivre sont nécessaires pour couvrir la surface latérale du plafonnier. Il faudra d'abord trouver l'apothème de la base puis, avec lui, l'apothème de la pyramide.
Retour au début : la boîte à chaussures de $30 \times 20 \times 12\ \text{cm}$ demande $2\,400\ \text{cm}^2$ de carton, et la boîte de conserve environ $245\ \text{cm}^2$ de fer-blanc.