Divisibilité

Sur une plateforme de streaming, les séries sont regroupées en saisons. Si une série compte au total $42$ épisodes, indiquer lesquelles des affirmations suivantes sont vraies et lesquelles sont fausses, en justifiant brièvement la réponse :

1. a) Le nombre $6$ est un diviseur de $42$.
2. b) $42$ est un multiple de $5$.
3. c) $42$ est divisible par $14$.

Calculer mentalement et écrire sur le cahier :

1. a) Les cinq premiers multiples de $12$.
2. b) Tous les diviseurs du nombre $24$.
3. c) Les multiples de $7$ compris entre $30$ et $60$.

Observer les nombres polygonaux suivants, qui représentent les nombres pentagonaux. Les premiers termes sont $1, 5, 12, 22...$

1. a) Dessiner sur le cahier la disposition des points du cinquième nombre pentagonal.
2. b) En suivant la série, quelle est la valeur du cinquième et du sixième nombre pentagonal ?
3. c) Vérifier si le dixième nombre pentagonal ($145$) est divisible par $3$, par $5$ et par $11$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une imprimerie municipale de Nantes a produit $1\,342$ calendriers et les employés doivent les emballer dans des cartons de $4$ unités exactement, sans qu'il en reste aucun.

1. a) Sans effectuer de division posée ni appliquer encore la règle complète, faire une estimation rapide : sachant que $1\,300$ et $40$ sont des multiples de $4$, expliquer s'il est raisonnable de penser qu'il restera des calendriers.
2. b) Appliquer le critère de divisibilité par $4$ en ne regardant que les deux derniers chiffres pour vérifier l'estimation.
3. c) À la vue du résultat, indiquer combien de calendriers restent après avoir rempli le maximum de cartons complets de $4$, ou bien combien de calendriers manqueraient pour compléter un carton de plus.

Marc doit vérifier lors d'un contrôle si le nombre $3\,522$ est divisible par $6$. Dans sa copie, il écrit : « Comme le dernier chiffre est $2$, le nombre est divisible par $2$. Cependant, comme ce dernier chiffre ($2$) n'est pas divisible par $3$, le nombre $3\,522$ ne peut pas être divisible par $6$ ».

1. a) Repérer l'erreur de raisonnement que commet Marc en vérifiant la divisibilité par $3$ et expliquer pourquoi son raisonnement est incorrect.
2. b) Appliquer correctement les critères de divisibilité par $2$ et par $3$ pour déterminer si $3\,522$ est ou non divisible par $6$.

Un jeu vidéo demande de saisir un code à quatre chiffres pour débloquer un niveau : $345\_$. Aider le joueur à trouver le dernier chiffre pour que le nombre vérifie les conditions suivantes :

1. a) Le nombre est divisible à la fois par $2$ et par $5$.
2. b) Le nombre est divisible par $3$, mais pas par $2$.
3. c) Le nombre est un multiple de $9$.

Observer les nombres qui apparaissent sur le panneau suivant et les classer en nombres premiers ou nombres composés.

Effectuer la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers naturels suivants. Penser à écrire le résultat final sous la forme d'un produit de puissances :

1. a) $36$
2. b) $60$
3. c) $126$

Calculer le PGCD et le PPCM des couples de nombres suivants :

1. a) $10$ et $15$
2. b) $20$ et $30$
3. c) $8$ et $12$

Deux lumières d'un clavier « gamer » clignotent différemment. La lumière bleue s'allume toutes les $6$ secondes et la lumière orange toutes les $9$ secondes. Si elles se sont allumées en même temps à l'instant présent, combien de secondes s'écouleront avant qu'elles ne soient de nouveau allumées simultanément pour la première fois ?

Sachant que le produit de deux nombres est $2160$ et que leur PGCD est $12$ :

1. a) Calculer le PPCM de ces nombres en utilisant la relation entre PGCD et PPCM.
2. b) Si l'un des nombres est $60$, quel est l'autre nombre ?
3. c) Effectuer la décomposition en produit de facteurs premiers des deux nombres pour vérifier que les résultats des questions précédentes sont corrects.

Manon a $24$ autocollants d'étoiles et $16$ autocollants de planètes. Elle veut préparer des pochettes cadeaux identiques (avec le même nombre d'étoiles et le même nombre de planètes dans chacune) sans qu'il lui reste aucun autocollant.

Quel est le nombre maximal de pochettes qu'elle peut préparer ? Combien d'autocollants de chaque sorte y aura-t-il dans chaque pochette ?

Trois chaînes de streaming commencent à diffuser un contenu spécial aujourd'hui à 10 h du matin.

• La chaîne A diffuse un tirage au sort toutes les $18$ heures.

• La chaîne B diffuse une interview toutes les $24$ heures.

• La chaîne C diffuse un tournoi toutes les $30$ heures.

Au bout de combien de jours au minimum les trois événements coïncideront-ils de nouveau au même horaire ? À quelle heure et quel jour de la semaine cela aura-t-il lieu si nous sommes lundi aujourd'hui ?

Une entreprise de logistique doit organiser trois types de colis d'aide dans des conteneurs de transport. Elle dispose de $144$ cartons de couvertures, $120$ cartons de denrées non périssables et $84$ cartons de kits d'hygiène.

Elle veut charger le plus grand nombre possible de conteneurs identiques, de façon que chaque conteneur contienne le même nombre de cartons de chaque type et qu'il ne reste aucun carton dans l'entrepôt.

1. Combien de conteneurs pourra-t-on expédier ?

2. Quelle quantité de cartons de chaque type y aura-t-il dans chaque conteneur ?

Un programmeur conçoit un code d'accès à quatre chiffres. Le code est de la forme $35A2$, où $A$ est un chiffre inconnu. Pour que le code soit valide, le nombre doit être divisible à la fois par $3$ et par $4$.

Déterminer toutes les valeurs possibles du chiffre $A$ et écrire les nombres complets obtenus.

Lors d'une convention de jeux vidéo, on veut répartir les participants en équipes. On dispose d'un code de sécurité pour l'accès, qui est un nombre à quatre chiffres de la forme $4A2B$.

Pour que le code soit valide, il doit remplir deux conditions :

1. a) Il doit être divisible par $3$.
2. b) Il doit être divisible par $11$.

Déterminer toutes les valeurs possibles des chiffres $A$ et $B$.

Un célèbre influenceur veut protéger l'accès à son compte de montage vidéo par un code PIN à quatre chiffres de la forme $5X4Y$. Pour ne pas l'oublier, il a mémorisé les conditions suivantes fondées sur la divisibilité :

• Le nombre est divisible par $4$.

• Le nombre est aussi divisible par $9$.

• Le chiffre des unités ($Y$) est supérieur au chiffre des unités de mille.

Déterminer tous les codes PIN possibles qui vérifient ces conditions.

Calculer le nombre total de diviseurs du nombre $360$ sans avoir à les écrire tous. Pour cela :

1. a) Effectuer sa décomposition en produit de facteurs premiers à l'aide de puissances.
2. b) Appliquer la propriété du produit des exposants augmentés d'une unité.
3. c) Indiquer si le nombre $360$ est un carré parfait en justifiant la réponse à partir des exposants de sa décomposition.

Un entier naturel $N$ vérifie simultanément les trois propriétés suivantes sur ses diviseurs et ses facteurs :

1. Dans sa décomposition en produit de facteurs premiers n'apparaissent que $2$ et $3$ (tous deux avec un exposant strictement positif).

2. Le nombre total de diviseurs de $N$ est exactement $9$.

3. $N$ est un carré parfait.

1. a) Utiliser la formule du nombre de diviseurs et la propriété des exposants des carrés parfaits pour déduire, en justifiant, quels doivent être les exposants de $2$ et de $3$ dans la décomposition de $N$.
2. b) Reconstituer le nombre $N$, calculer sa valeur et écrire la liste complète de ses $9$ diviseurs pour vérifier qu'il satisfait toutes les conditions.

Un nombre entier naturel $N$ a la décomposition en facteurs premiers suivante : $N = 2^{a} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$.

On sait que le nombre total de diviseurs de $N$ est exactement $24$.

1. Calculer la valeur de l'exposant $a$.

2. Déterminer la valeur numérique de $N$.

3. Écrire tous les diviseurs de $N$ qui sont des multiples de $15$ mais pas de $2$.