Exercices: Divisibilité

Sur une plateforme de streaming, les séries sont regroupées en saisons. Si une série compte au total $42$ épisodes, indiquer lesquelles des affirmations suivantes sont vraies et lesquelles sont fausses, en justifiant brièvement la réponse :

1. a) Le nombre $6$ est un diviseur de $42$.
2. b) $42$ est un multiple de $5$.
3. c) $42$ est divisible par $14$.

Calculer mentalement et écrire sur le cahier :

1. a) Les cinq premiers multiples de $12$.
2. b) Tous les diviseurs du nombre $24$.
3. c) Les multiples de $7$ compris entre $30$ et $60$.

Observer les nombres qui apparaissent sur le panneau suivant et les classer en nombres premiers ou nombres composés.

Un jeu vidéo demande de saisir un code à quatre chiffres pour débloquer un niveau : $345\_$. Aider le joueur à trouver le dernier chiffre pour que le nombre vérifie les conditions suivantes :

1. a) Le nombre est divisible à la fois par $2$ et par $5$.
2. b) Le nombre est divisible par $3$, mais pas par $2$.
3. c) Le nombre est un multiple de $9$.

Effectuer la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers naturels suivants. Penser à écrire le résultat final sous la forme d'un produit de puissances :

1. a) $36$
2. b) $60$
3. c) $126$

Calculer le PGCD et le PPCM des couples de nombres suivants :

1. a) $10$ et $15$
2. b) $20$ et $30$
3. c) $8$ et $12$

Deux lumières d'un clavier « gamer » clignotent différemment. La lumière bleue s'allume toutes les $6$ secondes et la lumière orange toutes les $9$ secondes. Si elles se sont allumées en même temps à l'instant présent, combien de secondes s'écouleront avant qu'elles ne soient de nouveau allumées simultanément pour la première fois ?

Manon a $24$ autocollants d'étoiles et $16$ autocollants de planètes. Elle veut préparer des pochettes cadeaux identiques (avec le même nombre d'étoiles et le même nombre de planètes dans chacune) sans qu'il lui reste aucun autocollant.

Quel est le nombre maximal de pochettes qu'elle peut préparer ? Combien d'autocollants de chaque sorte y aura-t-il dans chaque pochette ?

Marc doit vérifier lors d'un contrôle si le nombre $3\,522$ est divisible par $6$. Dans sa copie, il écrit : « Comme le dernier chiffre est $2$, le nombre est divisible par $2$. Cependant, comme ce dernier chiffre ($2$) n'est pas divisible par $3$, le nombre $3\,522$ ne peut pas être divisible par $6$ ».

1. a) Repérer l'erreur de raisonnement que commet Marc en vérifiant la divisibilité par $3$ et expliquer pourquoi son raisonnement est incorrect.
2. b) Appliquer correctement les critères de divisibilité par $2$ et par $3$ pour déterminer si $3\,522$ est ou non divisible par $6$.

Une imprimerie municipale de Nantes a produit $1\,342$ calendriers et les employés doivent les emballer dans des cartons de $4$ unités exactement, sans qu'il en reste aucun.

1. a) Sans effectuer de division posée ni appliquer encore la règle complète, faire une estimation rapide : sachant que $1\,300$ et $40$ sont des multiples de $4$, expliquer s'il est raisonnable de penser qu'il restera des calendriers.
2. b) Appliquer le critère de divisibilité par $4$ en ne regardant que les deux derniers chiffres pour vérifier l'estimation.
3. c) À la vue du résultat, indiquer combien de calendriers restent après avoir rempli le maximum de cartons complets de $4$, ou bien combien de calendriers manqueraient pour compléter un carton de plus.

Un programmeur conçoit un code d'accès à quatre chiffres. Le code est de la forme $35A2$, où $A$ est un chiffre inconnu. Pour que le code soit valide, le nombre doit être divisible à la fois par $3$ et par $4$.

Déterminer toutes les valeurs possibles du chiffre $A$ et écrire les nombres complets obtenus.

Lors d'une convention de jeux vidéo, on veut répartir les participants en équipes. On dispose d'un code de sécurité pour l'accès, qui est un nombre à quatre chiffres de la forme $4A2B$.

Pour que le code soit valide, il doit remplir deux conditions :

1. a) Il doit être divisible par $3$.
2. b) Il doit être divisible par $11$.

Déterminer toutes les valeurs possibles des chiffres $A$ et $B$.

Calculer le nombre total de diviseurs du nombre $360$ sans avoir à les écrire tous. Pour cela :

1. a) Effectuer sa décomposition en produit de facteurs premiers à l'aide de puissances.
2. b) Appliquer la propriété du produit des exposants augmentés d'une unité.
3. c) Indiquer si le nombre $360$ est un carré parfait en justifiant la réponse à partir des exposants de sa décomposition.

Une entreprise de décoration d'intérieur possède deux rouleaux de bandes LED colorées : un de lumière bleue qui mesure $120$ mètres et un de lumière chaude qui mesure $156$ mètres. Elle veut découper les deux rouleaux en morceaux de même longueur, la plus grande possible, sans perdre de matériau.

1. a) Quelle doit être la longueur de chaque morceau ?
2. b) Combien de morceaux de chaque couleur obtiendra-t-on au total ?

Trois chaînes de streaming commencent à diffuser un contenu spécial aujourd'hui à 10 h du matin.

• La chaîne A diffuse un tirage au sort toutes les $18$ heures.

• La chaîne B diffuse une interview toutes les $24$ heures.

• La chaîne C diffuse un tournoi toutes les $30$ heures.

Au bout de combien de jours au minimum les trois événements coïncideront-ils de nouveau au même horaire ? À quelle heure et quel jour de la semaine cela aura-t-il lieu si nous sommes lundi aujourd'hui ?

Déterminer un nombre entier naturel qui vérifie simultanément les conditions suivantes :

1. Il est compris entre $200$ et $250$.

2. Il est un multiple de $13$.

3. Sa division par $2$ et par $3$ est exacte.

Observer les nombres polygonaux suivants, qui représentent les nombres pentagonaux. Les premiers termes sont $1, 5, 12, 22...$

1. a) Dessiner sur le cahier la disposition des points du cinquième nombre pentagonal.
2. b) En suivant la série, quelle est la valeur du cinquième et du sixième nombre pentagonal ?
3. c) Vérifier si le dixième nombre pentagonal ($145$) est divisible par $3$, par $5$ et par $11$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Sachant que le produit de deux nombres est $2160$ et que leur PGCD est $12$ :

1. a) Calculer le PPCM de ces nombres en utilisant la relation entre PGCD et PPCM.
2. b) Si l'un des nombres est $60$, quel est l'autre nombre ?
3. c) Effectuer la décomposition en produit de facteurs premiers des deux nombres pour vérifier que les résultats des questions précédentes sont corrects.

Un entier naturel $N$ vérifie simultanément les trois propriétés suivantes sur ses diviseurs et ses facteurs :

1. Dans sa décomposition en produit de facteurs premiers n'apparaissent que $2$ et $3$ (tous deux avec un exposant strictement positif).

2. Le nombre total de diviseurs de $N$ est exactement $9$.

3. $N$ est un carré parfait.

1. a) Utiliser la formule du nombre de diviseurs et la propriété des exposants des carrés parfaits pour déduire, en justifiant, quels doivent être les exposants de $2$ et de $3$ dans la décomposition de $N$.
2. b) Reconstituer le nombre $N$, calculer sa valeur et écrire la liste complète de ses $9$ diviseurs pour vérifier qu'il satisfait toutes les conditions.

Le service de location de vélos en libre-service d'une ville française identifie chaque vélo par un code à quatre chiffres de la forme $4X6Y$, où $X$ et $Y$ sont des chiffres inconnus.

Pour des raisons de maintenance :

• Les vélos vont en révision mensuelle à l'atelier si leur code est divisible par $8$ (les trois derniers chiffres forment un multiple de $8$).

• De plus, ils entrent dans la tournée spéciale de désinfection hebdomadaire si leur code est divisible par $11$.

1. a) Appliquer le critère de divisibilité par $11$ pour trouver quelle valeur doit avoir la somme des chiffres $X + Y$.
2. b) Sachant que, pour être divisible par $8$, le chiffre $Y$ doit être pair, étudier les couples de chiffres possibles $(X ; Y)$ et trouver l'unique code $4X6Y$ qui permet au vélo de passer à la fois la révision mensuelle et la désinfection hebdomadaire.

Un célèbre influenceur veut protéger l'accès à son compte de montage vidéo par un code PIN à quatre chiffres de la forme $5X4Y$. Pour ne pas l'oublier, il a mémorisé les conditions suivantes fondées sur la divisibilité :

• Le nombre est divisible par $4$.

• Le nombre est aussi divisible par $9$.

• Le chiffre des unités ($Y$) est supérieur au chiffre des unités de mille.

Déterminer tous les codes PIN possibles qui vérifient ces conditions.

Sur la scène principale d'un festival de musique, il y a trois systèmes d'éclairage robotisés. Le premier système émet un flash blanc toutes les $18$ secondes, le deuxième un flash bleu toutes les $24$ secondes et le troisième un flash orange toutes les $30$ secondes.

À $21:00$ heures, les trois systèmes coïncident pour la première fois. Combien de fois les trois flashs coïncideront-ils exactement de nouveau avant la fin du concert à $22:25$ heures ?

Une entreprise de logistique doit organiser trois types de colis d'aide dans des conteneurs de transport. Elle dispose de $144$ cartons de couvertures, $120$ cartons de denrées non périssables et $84$ cartons de kits d'hygiène.

Elle veut charger le plus grand nombre possible de conteneurs identiques, de façon que chaque conteneur contienne le même nombre de cartons de chaque type et qu'il ne reste aucun carton dans l'entrepôt.

1. Combien de conteneurs pourra-t-on expédier ?

2. Quelle quantité de cartons de chaque type y aura-t-il dans chaque conteneur ?

Un nombre entier naturel $N$ a la décomposition en facteurs premiers suivante : $N = 2^{a} \cdot 3^{2} \cdot 5^{1}$.

On sait que le nombre total de diviseurs de $N$ est exactement $24$.

1. Calculer la valeur de l'exposant $a$.

2. Déterminer la valeur numérique de $N$.

3. Écrire tous les diviseurs de $N$ qui sont des multiples de $15$ mais pas de $2$.

Une mairie veut daller une place rectangulaire de $45$ mètres de long sur $24$ mètres de large avec des dalles carrées en pierre. L'architecte souhaite que les dalles soient les plus grandes possible et qu'il ne faille en couper aucune.

1. Quelle doit être la longueur du côté de chaque dalle ?

2. Si, pour des raisons de budget, on décide d'utiliser des dalles dont le côté est la moitié de cette taille, combien de dalles faudra-t-il maintenant pour couvrir toute la place ?

Le mécanisme d'une vieille horloge utilise deux roues dentées qui s'engrènent. La roue $A$ a $54$ dents et la roue $B$ a $36$ dents. On place une marque rouge à l'endroit où les dents se touchent en ce moment :

1. Combien de dents de la roue $A$ doivent défiler pour que les marques coïncident de nouveau pour la première fois ?

2. Combien de tours chaque roue aura-t-elle effectués à cet instant ?

On sait qu'un nombre $X$ est à la fois un multiple de $12$ et de $15$. De plus, $X$ a exactement $12$ diviseurs naturels.

1. À l'aide de la décomposition en produit de facteurs premiers, déduire la valeur de $X$. (Indice : raisonner sur les exposants de la décomposition.)

2. Justifier si le nombre $X+1$ est un nombre premier ou un nombre composé.

Trois satellites artificiels tournent autour de la Terre. Le premier effectue une orbite toutes les $90$ minutes, le deuxième toutes les $2$ heures et le troisième toutes les $105$ minutes. Si à $12:00$ (midi) ils sont alignés au-dessus du méridien de Greenwich :

1. À quelle heure exacte seront-ils de nouveau alignés pour la première fois ?

2. Combien d'orbites le satellite le plus lent aura-t-il effectuées pendant ce temps ?

Pour trouver le plus petit nombre entier positif $k$ par lequel il faut multiplier $N = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7^3$ pour que le résultat soit un carré parfait, deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Méthode de Laura : elle multiplie tous les facteurs à la calculatrice pour obtenir la valeur numérique complète de $N$, puis elle essaie de multiplier par $2, 3, 4\dots$ jusqu'à vérifier avec la touche racine carrée que le résultat est exact.

• Méthode d'Irène : elle examine directement la parité des exposants dans la décomposition en produit de facteurs premiers de $N$ pour compléter ceux qui ne sont pas pairs.

1. a) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus adaptée et la plus généralisable, en expliquant la propriété de la décomposition en facteurs premiers qui caractérise les carrés parfaits.
2. b) Appliquer la méthode la plus efficace pour calculer la valeur exacte de $k$ et écrire la décomposition en produit de facteurs premiers du nouveau nombre $N \cdot k$.
3. c) À partir de la formule du nombre total de diviseurs, justifier pourquoi le nombre $N \cdot k$ aura nécessairement un nombre impair de diviseurs.

La SNCF met en place sur ses billets de train à grande vitesse un système antifraude fondé sur un code de contrôle à six chiffres de la forme $2A4.5B2$, où $A$ et $B$ sont des chiffres inconnus.

Pour que le lecteur du portillon d'accès valide le billet, le code doit satisfaire simultanément trois conditions :

1. Le nombre doit être divisible par $6$.

2. Le nombre doit être divisible par $11$.

3. Le chiffre $A$ doit être strictement inférieur au chiffre $B$ ($A < B$).

1. a) Traduire le critère de divisibilité par $6$ en une condition sur la somme des chiffres et déterminer les valeurs possibles de la somme $A + B$.
2. b) Appliquer le critère de divisibilité par $11$ (différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair) pour déduire quelle relation exacte existe entre $A$ et $B$.
3. c) Combiner toutes les conclusions précédentes avec la condition $A < B$ pour déterminer, en justifiant, tous les codes de billet valides que la machine peut générer.