Exercices: L'ensemble des nombres entiers relatifs

Dans la vie quotidienne, nous utilisons les nombres entiers relatifs pour exprimer des situations opposées. Associer un nombre entier relatif (positif ou négatif) à chacune des situations suivantes :

1. a) Le thermomètre dans la rue indique $4$ degrés en dessous de zéro.
2. b) Vous avez une dette de $15$ € envers un ami.
3. c) Un plongeur se trouve à $20$ mètres de profondeur.
4. d) Un avion vole à une altitude de $8\,500$ mètres.
5. e) Vous avez gagné $50$ points à un niveau de votre jeu vidéo préféré.
6. f) Le parking du centre commercial est au troisième sous-sol.

La valeur absolue représente la distance d'un nombre à zéro. Calculer les valeurs absolues suivantes :

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

Comparer les paires de nombres entiers relatifs suivantes en utilisant les symboles supérieur à ($>$) ou inférieur à ($<$) :

1. a) $+5$ ____ $-8$
2. b) $-3$ ____ $-1$
3. c) $0$ ____ $-5$
4. d) $-12$ ____ $-20$
5. e) $+10$ ____ $+2$
6. f) $-1$ ____ $0$

L'opposé d'un nombre entier relatif est celui qui a la même valeur absolue mais un signe différent. Écrire l'opposé des nombres suivants :

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Ranger les nombres entiers relatifs suivants du plus petit au plus grand, en utilisant le symbole $<$ entre eux :

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

Dans la liste de nombres suivante, indiquer lesquels appartiennent à l'ensemble des entiers naturels ($\mathbb{N}$) et lesquels sont des entiers relatifs ($\mathbb{Z}$) mais non naturels :

$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$

Dans une station de ski, on a relevé les températures minimales suivantes pendant quatre jours. Les ranger de la plus basse à la plus haute en utilisant le symbole $<$ :

• Lundi : $-6$ $^\circ C$

• Mardi : $+2$ $^\circ C$

• Mercredi : $-9$ $^\circ C$

• Jeudi : $0$ $^\circ C$

Lire les coordonnées $(x\,;\,y)$ des points $P$ et $Q$ représentés dans le quadrillage suivant. Rappel : le premier nombre correspond à l'axe horizontal (abscisse) et le second à l'axe vertical (ordonnée).

Lors d'un contrôle de mathématiques, Lucie doit comparer plusieurs nombres entiers relatifs et écrit sur sa copie : « Comme $12$ est supérieur à $5$, alors $-12 > -5$, car les deux ont les mêmes chiffres et conservent le même ordre. » Elle affirme aussi que « la valeur absolue de $-12$ est inférieure à celle de $-5$ parce que $-12$ est situé plus à gauche sur la droite graduée ».

1. a) Identifier les deux erreurs de raisonnement commises par Lucie et expliquer avec vos propres mots pourquoi son raisonnement est incorrect, en vous appuyant sur la position des nombres par rapport à zéro.
2. b) Écrire la comparaison correcte entre $-12$ et $-5$ en utilisant le symbole adapté ($>$ ou $<$) et calculer la valeur absolue des deux nombres pour justifier laquelle des deux valeurs absolues est la plus grande.

L'Agence météorologique espagnole (AEMET) a relevé, lors d'une nuit d'hiver, les températures minimales suivantes dans quatre observatoires d'Espagne : Molina de Aragón ($-11\ ^\circ\text{C}$), Puerto de Navacerrada ($-7\ ^\circ\text{C}$), Reinosa ($-4\ ^\circ\text{C}$) et Albacete ($+2\ ^\circ\text{C}$).

1. a) Modéliser cette situation en rangeant les quatre localités de la température la plus basse à la plus haute, avec les symboles mathématiques adaptés ($<$ ou $>$).
2. b) Quel observatoire a enregistré la température la plus éloignée du point de congélation ($0\ ^\circ\text{C}$) ? Justifier votre réponse en utilisant la notion de valeur absolue.
3. c) Si l'on représente dans un repère le point $P = (T_{\text{Albacete}} ; T_{\text{Reinosa}})$, déterminer dans quel quadrant il se trouve et interpréter la signification du signe de chacune de ses coordonnées.

Un capteur de température dans un laboratoire de cryogénie indique au départ $12\,^{\circ}\text{C}$ (voir l'échelle). À cause d'une expérience, la température baisse de $18\,^{\circ}\text{C}$, puis monte de $5\,^{\circ}\text{C}$ et enfin rebaisse de $3\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Représenter par des nombres entiers relatifs chacune des variations de température.

1. b) Quelle est la température finale enregistrée par le capteur ?

1. c) La température finale est-elle au-dessus ou au-dessous de $0\,^{\circ}\text{C}$ ?

Un livreur entre dans l'ascenseur d'un centre commercial au rez-de-chaussée ($0$). Il monte d'abord à l'entrepôt à l'étage $+5$, puis descend de $8$ étages pour récupérer de la marchandise au garage et, enfin, monte de $2$ étages pour faire une livraison.

1. a) À quel étage se trouve le garage ? Exprimer le résultat par un nombre entier relatif.
2. b) À quel étage fait-il la livraison finale ?
3. c) Combien d'étages le livreur a-t-il parcourus en tout durant l'ensemble de son trajet ? (Indice : utiliser la notion de valeur absolue.)

Dans un jeu de stratégie, un bateau pirate se déplace sur une carte graduée en coordonnées. Sa position de départ est le point $P(-3 ; 2)$.

1. a) Si le bateau se déplace de $5$ unités vers la droite, quelle est sa nouvelle abscisse ($x$) ?

1. b) Si, depuis cette nouvelle position, il descend de $4$ unités, quelle est son ordonnée ($y$) ?

1. c) Représenter dans votre cahier le point de départ et le point d'arrivée (celui du bateau après les deux déplacements) dans un repère.

Écrire les nombres entiers relatifs qui vérifient simultanément les trois conditions suivantes :

1. Sa valeur absolue est supérieure à $2$ et inférieure à $6$.

2. C'est un nombre négatif.

3. Quand on lui ajoute son opposé, le résultat est $0$.

Représenter les nombres trouvés sur une droite graduée.

Au laboratoire de physique, on analyse les températures de congélation de plusieurs liquides. Les résultats sont :

• Liquide P : $-8$ °C

• Liquide Q : $-15$ °C

• Liquide R : $-3$ °C

• Liquide S : $-12$ °C

Ranger les liquides de la plus petite à la plus grande température à l'aide du symbole $<$ et expliquer lequel d'entre eux a la plus grande valeur absolue.

Un archéologue trouve une pièce de monnaie sur un site. En faisant des recherches, il découvre qu'elle a été frappée en $45$ av. J.-C. Si l'archéologue vit en $2024$ apr. J.-C., répondre :

1. a) Quel nombre entier relatif attribueriez-vous à chaque date ?

1. b) Quel est l'opposé de l'année de frappe de la pièce ?

1. c) Représenter de façon approximative, sur une frise chronologique que vous tracerez dans votre cahier, l'année de frappe de la pièce et l'année où vit l'archéologue. Marquer l'année $0$ et indiquer quel côté correspond aux années av. J.-C. et lequel aux années apr. J.-C.

Deux plongeurs, Hélène et Charles, sont dans la mer. Hélène est à une profondeur de $18$ mètres sous le niveau de la mer. Charles est à $12$ mètres d'Hélène, mais il est plus profond.

1. a) À quelle profondeur se trouve Charles ? L'exprimer par un nombre entier relatif.
2. b) Si Hélène remonte de $5$ mètres, quelle sera sa nouvelle position ?
3. c) Quelle est la distance entre la nouvelle position d'Hélène et la position de Charles ?

Dans un jeu de plateau, votre pion se trouve sur la case qui représente le nombre entier relatif $-4$. Vous lancez un dé spécial et obtenez les déplacements consécutifs suivants :

1. Vous avancez de $6$ cases.

2. Vous reculez du double de ce qu'indique la valeur absolue de $-3$.

3. Vous allez sur l'opposée de la case où vous vous trouvez à ce moment-là.

Sur quelle case terminez-vous le jeu ? Indiquer toutes les étapes intermédiaires.

On cherche deux nombres entiers relatifs distincts, $a$ et $b$, qui vérifient simultanément les quatre conditions suivantes :

1. Le point $P(a ; b)$ est situé dans le deuxième quadrant du plan muni d'un repère orthonormé.

2. La valeur absolue de $a$ est exactement $5$.

3. La valeur $|b|$ est un nombre premier inférieur à $5$, mais $b$ n'est pas égal à l'opposé de $a$.

4. La distance entre $a$ et $b$ sur la droite graduée est strictement inférieure à $8$ unités.

1. a) Déduire le signe que doivent obligatoirement avoir $a$ et $b$ à partir du quadrant dans lequel se trouve le point $P$.
2. b) Déterminer toutes les valeurs possibles de $a$ et $b$, en justifiant pas à pas pourquoi vous écartez les possibilités qui ne vérifient pas simultanément toutes les conditions.
3. c) Écrire les coordonnées finales de tous les points $P(a ; b)$ possibles qui résolvent le problème.

On considère les nombres entiers relatifs $m = -14$ et $n = +6$ représentés sur une droite graduée.

1. a) Avant de faire un calcul exact, estimer de façon raisonnée : le milieu exact entre $m$ et $n$ sera-t-il situé à gauche ou à droite de zéro ? La distance totale entre les deux sera-t-elle supérieure ou inférieure à $|m|$ ? Expliquer sur quoi vous vous appuyez pour le deviner.
2. b) Calculer maintenant la valeur exacte de la distance qui sépare $m$ de $n$ sur la droite, en vous appuyant sur la signification de leurs valeurs absolues.
3. c) Déterminer quel nombre entier représente le milieu entre $m$ et $n$. Vérifier si votre estimation initiale de la question a) était juste et expliquer pourquoi le signe du milieu est le même que celui du nombre ayant la plus grande valeur absolue.

Sur une droite graduée, on a marqué deux points, $A$ et $B$. Sachant que la distance entre le point $A$ et le point $B$ est de $15$ unités et que le point $A$ correspond au nombre entier relatif $-6$ :

1. a) Déterminer quel nombre entier relatif représente le point $B$ s'il se trouve à droite de $A$.
2. b) Calculer la valeur de $|A| + |B|$.
3. c) Si l'on place un nouveau point $C$ exactement au milieu du segment qui joint $A$ et $B$, quel nombre représenterait $C$ ?

Ranger du plus petit au plus grand les éléments mathématiques suivants, en calculant au préalable leur valeur numérique (on note $op(a)$ l'opposé du nombre $a$) :

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Un archéologue étudie une dynastie antique. Il sait que le premier roi de la dynastie est né en $42$ av. J.-C. et est mort à l'âge de $65$ ans. Son fils, l'héritier, est né quand son père avait $28$ ans et a régné pendant $35$ ans après la mort de son père.

1. a) Utiliser des nombres entiers relatifs pour représenter les années de naissance et de mort des deux personnages.
2. b) En quelle année le règne du fils s'est-il terminé ? Exprimer le résultat sous forme chronologique (av. J.-C. ou apr. J.-C.).

Dans le repère suivant, un robot part du point $P(-2\ ;\ 3)$. Il effectue trois déplacements consécutifs :

1. Il se déplace de $5$ unités vers la droite.

2. Il se déplace de $7$ unités vers le bas.

3. Il se déplace de $4$ unités vers la gauche.

Dans quel cadran le robot termine-t-il ? Le faire sur votre cahier. Indiquer les coordonnées finales du point et calculer la valeur absolue de la somme de sa nouvelle abscisse ($x$) et de sa nouvelle ordonnée ($y$).

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en donnant un exemple ou un contre-exemple dans chaque cas :

1. a) Si $a$ et $b$ sont deux nombres entiers relatifs négatifs et $|a| < |b|$, alors $a > b$.
2. b) La valeur absolue d'un nombre entier relatif est toujours supérieure au nombre lui-même.
3. c) La distance entre un nombre entier relatif quelconque et son opposé est toujours un nombre pair.
4. d) Si à l'opposé d'un nombre on ajoute sa valeur absolue, le résultat est toujours zéro.

On conçoit un jeu vidéo où un personnage doit sauter sur des plateformes numérotées par des entiers relatifs. Le personnage commence sur la plateforme $0$.

• Le premier saut est de $+5$ unités.

• Le deuxième saut est deux fois plus long que le premier, mais dans le sens opposé.

• Le troisième saut l'amène sur une plateforme dont le numéro est l'opposé du numéro de la plateforme où il se trouvait après le deuxième saut.

• Le quatrième saut est de $-12$ unités.

Sur quelle plateforme se trouve-t-il à la fin ? Tracer la trajectoire sur la droite graduée en indiquant chaque étape.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans un repère, un carré a deux de ses sommets opposés aux points $A(-2\ ;\ 3)$ et $C(4\ ;\ -3)$.

1. Tracer les axes et placer les points $A$ et $C$.

2. Déterminer les coordonnées des deux autres sommets, $B$ et $D$, sachant que le carré n'est pas incliné (ses côtés sont parallèles aux axes).

3. Quelles sont les coordonnées du point central où se coupent les diagonales du carré ?

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Imaginer deux nombres entiers relatifs, $a$ et $b$. On sait que :

1. La distance entre $a$ et $0$ est de $7$ unités.

2. La distance entre $a$ et $b$ est de $3$ unités.

3. $b$ est inférieur à $a$.

Déterminer toutes les valeurs possibles pour $a$ et pour $b$. Pour chaque cas, écrire la valeur absolue de la somme $|a + b|$.

Pour déterminer dans quel cadran du repère se situe le point $A(x\ ;\ y)$, on sait avec certitude que l'opposé de l'abscisse est strictement négatif ($-x < 0$) et que l'ordonnée vérifie $|y| = -y$, avec $y \neq 0$. Deux élèves de cinquième proposent deux façons différentes de le déterminer :

• Méthode de Nathan : il choisit des nombres concrets qui satisfont les indices (par exemple, il essaie avec $x = 3$ et $y = -2$), vérifie qu'ils correspondent aux conditions données et place le point obtenu dans les cadrans.

• Méthode d'Hélène : elle déduit algébriquement le signe que doit avoir $x$ à partir de la définition de l'opposé, puis déduit le signe de $y$ en appliquant les propriétés de la valeur absolue, sans inventer aucun nombre particulier.

1. a) Appliquer la méthode de Nathan avec cet exemple concret et déterminer dans quel cadran se trouve le point.
2. b) Appliquer la méthode d'Hélène en justifiant rigoureusement les signes de $x$ et de $y$ à partir des définitions théoriques pour arriver à la conclusion générale.
3. c) Comparer les deux démarches : la méthode de Nathan garantit-elle que la conclusion vaut pour n'importe quel couple de nombres satisfaisant l'énoncé, ou pourrait-il y avoir des cas imprévus ? Expliquer pourquoi la méthode d'Hélène apporte une justification mathématique supérieure et plus sûre.

Lors d'une campagne océanographique en mer Cantabrique, on suit la position verticale de trois sondes de mesure, $S_1$, $S_2$ et $S_3$, dont les profondeurs par rapport au niveau de la mer sont exprimées par des nombres entiers relatifs en mètres (le niveau de la mer étant $0\text{ m}$) :

1. La sonde $S_1$ est immergée et sa cote est un entier relatif négatif dont la valeur absolue est un multiple de $4$ compris strictement entre $10$ et $18$, et sa valeur absolue est aussi un multiple de $3$.

2. La cote de la sonde $S_2$ est inférieure à celle de $S_1$, et sa distance à la surface dépasse celle de $S_1$ d'exactement $6$ unités.

3. La sonde $S_3$ est à une cote telle que $|S_3|$ est exactement égal à la moitié de $|S_1|$. De plus, on sait que l'opposé de la cote de $S_3$ est un nombre positif.

1. a) Reconstituer en justifiant chaque déduction la valeur entière de la cote à laquelle se trouve chacune des trois sondes.

1. b) Modéliser la position relative des sondes en les rangeant de la plus profonde à la plus proche de la surface à l'aide de la chaîne d'inégalités correspondante avec le symbole $<$.

1. c) Si l'on construit les points du repère $P_1(S_1 ; S_2)$ et $P_2(-S_3 ; S_1)$, où $-S_3$ désigne l'opposé de la cote de $S_3$, déterminer dans quel cadran se trouve chaque point en le justifiant d'après le signe de ses coordonnées.