Exercices: Volume

Pour un projet de classe, vous devez estimer la quantité d'eau que peut contenir votre cartable. Si l'on suppose que votre cartable a une capacité de $18\,500 \text{ cm}^3$, combien de litres d'eau pourrait-il contenir s'il était totalement étanche ?

Rappel : $1 \text{ dm}^3$ est équivalent à $1 \text{ litre}$.

Vous venez d'acheter un nouveau smartphone et vous voulez calculer le volume de sa boîte pour savoir quelle place elle prendra sur votre étagère. La boîte est un pavé droit avec les dimensions suivantes : $16 \text{ cm}$ de longueur, $9 \text{ cm}$ de largeur et $5 \text{ cm}$ de hauteur. Calculer son volume en $\text{cm}^3$.

Une célèbre marque de sodas utilise des canettes cylindriques pour ses boissons. Si le rayon de la base de la canette est de $3 \text{ cm}$ et sa hauteur de $12 \text{ cm}$, calculer le volume de soda que peut contenir la canette. (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Vous faites du camping avec vos amis et vous avez une tente en forme de prisme droit à base triangulaire. La base de la tente (le sol) est un triangle de base $2 \text{ m}$ et de hauteur $1,5 \text{ m}$. Si la tente a une longueur (profondeur) de $3 \text{ m}$, quel est le volume d'air à l'intérieur de la tente ?

Vous avez un presse-papier en verre en forme de pyramide régulière à base carrée. L'aire de sa base carrée est de $25 \text{ cm}^2$ et la hauteur de la pyramide est de $9 \text{ cm}$. Calculer le volume de verre nécessaire pour fabriquer ce presse-papier.

Pour une fête d'anniversaire, on a fabriqué des chapeaux en carton en forme de cône. Si chaque chapeau a un rayon de $8 \text{ cm}$ et une hauteur de $15 \text{ cm}$, quel volume d'air est « emprisonné » dans le chapeau lorsque quelqu'un le porte ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Une balle de ping-pong a un rayon de $2 \text{ cm}$. Calculer le volume de la balle de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliser la formule du volume de la boule $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ et prendre $\pi \approx 3,14$.)

Au laboratoire de sciences, il y a un petit aquarium en forme de pavé droit. Ses dimensions sont $40 \text{ cm}$ de longueur, $20 \text{ cm}$ de largeur et $25 \text{ cm}$ de hauteur. Si on le remplit d'eau jusqu'à une hauteur de $20 \text{ cm}$, combien de litres d'eau a-t-on versés ?

Lucie veut calculer le volume d'une bougie parfumée de forme cylindrique. La bougie mesure $10\text{ cm}$ de diamètre et $12\text{ cm}$ de hauteur. Dans son cahier, elle a écrit la résolution suivante :

1. a) Repérer et expliquer précisément quelle erreur conceptuelle Lucie a commise dans sa démarche.
2. b) Corriger son calcul et déterminer le volume réel de cire que contient la bougie (prendre $\pi \approx 3,14$).
3. c) Si Lucie utilisait son résultat erroné pour commander la cire à l'usine, combien de fois plus de matière que nécessaire aurait-elle commandée ? Justifier la réponse à partir de la formule du volume, sans refaire de calculs avec des décimaux.

Un fabricant de ballons produit des ballons de basket de taille 7, de forme sphérique avec un rayon de $12\text{ cm}$. Pour la distribution, chaque ballon gonflé est emballé dans une boîte cubique individuelle dans laquelle il s'ajuste exactement (avec des arêtes de $24\text{ cm}$).

1. a) Avant de calculer le volume de la boule, estimer mentalement le volume de la boîte cubique en litres (rappel : $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litre} = 1\,000\text{ cm}^3$). À partir de ce résultat, faire une estimation argumentée : pensez-vous que le ballon occupe plus ou moins de la moitié du volume de la boîte ?
2. b) Calculer le volume exact du ballon sphérique en appliquant la formule correspondante (utiliser $\pi \approx 3,14$) et l'exprimer en litres en arrondissant à deux décimales.
3. c) Vérifier si votre estimation initiale était juste en calculant quel pourcentage exact du volume de la boîte le ballon occupe réellement. Que pensez-vous de l'espace d'air non exploité pendant le transport ?

Une célèbre marque de milkshakes a conçu un nouvel emballage cylindrique pour son édition limitée d'été. La bouteille a un diamètre de $8\text{ cm}$ et une hauteur de $15\text{ cm}$. Si le fabricant indique que le milkshake occupe $90\%$ de la capacité totale de l'emballage pour laisser de la place à l'air, calculer combien de millilitres ($ml$) de produit contient chaque bouteille.

Vous avez décidé de construire une fourmilière en gel pour un projet de sciences. Le récipient a la forme d'un pavé droit avec des dimensions de $25\text{ cm}$ de longueur, $10\text{ cm}$ de largeur et $18\text{ cm}$ de hauteur. Si le gel est vendu en pots de $0,5\text{ litres}$, combien de pots entiers devrez-vous acheter pour remplir la fourmilière jusqu'à une hauteur de $15\text{ cm}$ ?

Une entreprise de parfums lance un parfum dans un flacon en forme de cône de révolution. Le rayon de la base est de $3\text{ cm}$ et la génératrice mesure $5\text{ cm}$. Calculer le volume de parfum que peut contenir le flacon, exprimé en centimètres cubes. Aide : il faudra d'abord déterminer la hauteur du cône en utilisant le théorème de Pythagore.

Dans un musée des sciences, une exposition interactive présente une boule de verre remplie d'un gaz noble. Si le diamètre de la boule est de $60\text{ cm}$, quel est le volume de gaz à l'intérieur ? Exprimer le résultat en mètres cubes ($m^3$).

Un silo de stockage de grain a une forme composée : un corps cylindrique de $10\text{ m}$ de hauteur et une coupole en demi-boule sur le dessus. Si le rayon de la base est de $4\text{ m}$, calculer la capacité totale du silo en hectolitres ($hl$).

Pour un événement de jeux vidéo, on a conçu un trophée constitué d'une pyramide régulière à base carrée en bronze. Le côté de la base carrée mesure $12\text{ cm}$ et l'arête latérale (celle qui relie le sommet à un coin de la base) mesure $10\text{ cm}$. Calculer le volume de bronze nécessaire pour fabriquer un trophée.

Le principe de Cavalieri affirme que deux solides de même hauteur, dont les sections à une même distance de la base ont la même aire, ont le même volume. Comparer un prisme droit à base hexagonale régulière de $20\text{ cm}$ de hauteur et de $30\text{ cm}^2$ d'aire de base avec un cylindre de même hauteur et de même aire de base. Si l'on verse $0,5\text{ litre}$ d'eau dans chacun, lequel se remplira en premier ? Justifier votre réponse en calculant le volume des deux.

Une piscine municipale en forme de pavé droit a une capacité de $1200\text{ m}^3$. Sachant que la longueur de la piscine est de $50\text{ mètres}$ et sa largeur de $12\text{ mètres}$, calculer la profondeur (hauteur) de la piscine. Si la mairie décide de ne la remplir qu'aux $4/5$ de sa capacité par sécurité, combien de litres d'eau y aura-t-il dans la piscine ?

Un maître glacier artisan de Nice veut commander la conception d'un nouveau moule conique pour servir un sorbet. Il a établi que le moule doit avoir une capacité exacte de $200\text{ ml}$ lorsqu'il est complètement rempli à ras bord (rappel : $1\text{ ml} = 1\text{ cm}^3$). Pour des raisons de stabilité sur la table, il a en outre décidé que la hauteur du cône doit être exactement quatre fois le rayon de sa base circulaire ($h = 4r$).

1. a) Écrire la formule du volume du cône en remplaçant la hauteur $h$ par l'expression $4r$ et la simplifier pour qu'elle ne dépende que du rayon $r$.
2. b) Poser l'équation correspondante en égalant la formule précédente au volume souhaité ($200\text{ cm}^3$) et déterminer la valeur du rayon $r$ et de la hauteur $h$. Arrondir les dimensions au dixième de centimètre (prendre $\pi \approx 3,14$).
3. c) Effectuer la vérification : calculer le volume du cône avec les mesures obtenues et vérifier que l'on obtient une valeur proche des $200\text{ ml}$ requis (la petite différence est due à l'arrondi).

D'après les relevés d'une station météorologique de Météo-France dans le département des Alpes-Maritimes, lors d'un épisode de pluies torrentielles, des précipitations cumulées de $75\text{ l/m}^2$ (litres par mètre carré) ont été enregistrées. Une pépinière agricole de la zone dispose d'une toiture plane en polycarbonate de $20\text{ m}$ de long sur $8\text{ m}$ de large qui recueille toute l'eau tombée et la canalise intégralement vers une citerne cylindrique de $3\text{ m}$ de diamètre intérieur et de $4\text{ m}$ de profondeur, totalement vide avant l'orage.

1. a) Modéliser la situation et calculer le volume total d'eau de pluie (en litres et en mètres cubes) recueilli par la toiture de la serre.
2. b) Déterminer la hauteur en mètres qu'atteindra l'eau dans la citerne à la fin de l'épisode (utiliser $\pi \approx 3,14$ et arrondir à deux décimales).
3. c) Interpréter le résultat obtenu : y a-t-il un risque que la citerne ait débordé ? Si ce n'est pas le cas, combien de litres supplémentaires auraient été nécessaires pour la remplir entièrement ?

Un designer a créé un trophée pour un tournoi d'eSports de forme géométrique complexe. Le trophée est constitué d'un prisme droit à base carrée en bois sur lequel repose une pyramide régulière à base carrée en métal. L'arête de la base commune mesure $12\text{ cm}$. La hauteur du prisme est de $20\text{ cm}$, et l'on sait que l'arête latérale de la pyramide mesure $10\text{ cm}$. Calculer le volume total du trophée en décimètres cubes ($dm^3$).

Une pièce industrielle en acier a la forme d'un pavé droit de dimensions $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Pour alléger son poids, on y a percé un trou cylindrique qui traverse la pièce de haut en bas par sa plus grande face. Le rayon du cylindre est de $2\text{ cm}$. Sachant que la masse volumique de l'acier est de $7,85\text{ g/cm}^3$, calculer la masse totale de la pièce en kilogrammes. (Prendre $\pi \approx 3,14$.)

Au laboratoire de physique, les élèves plongent complètement une boule de plomb dans un récipient cylindrique à moitié rempli d'eau. Le rayon du récipient est de $10\text{ cm}$. Lorsqu'on introduit la boule, le niveau de l'eau monte d'exactement $4,5\text{ cm}$ sans déborder. Quel est le rayon de la boule de plomb ? Exprimer le résultat en centimètres avec deux décimales.

Un réservoir d'eau a la forme d'un tronc de pyramide régulière à base carrée. Les arêtes des bases mesurent $4\text{ m}$ et $2\text{ m}$ respectivement. La hauteur du réservoir est de $3\text{ m}$. Si le réservoir est rempli aux trois quarts de sa hauteur (c'est-à-dire que l'eau atteint $2,25\text{ m}$ depuis la base), combien de litres d'eau contient-il ? (Remarque : il faudra utiliser les triangles semblables pour trouver le côté de la surface de l'eau.)

Calculer le volume d'une pyramide régulière à base hexagonale dont l'arête latérale mesure $13\text{ cm}$ et dont le côté de la base mesure $10\text{ cm}$. Rappel : dans un hexagone régulier, le rayon du cercle circonscrit est égal au côté. Exprimer le résultat en $cm^3$ en arrondissant à l'unité.

Un fabricant de glaces veut comparer deux récipients. Le premier a la forme d'un cône de $6\text{ cm}$ de rayon et de $15\text{ cm}$ de hauteur. Le second est un cylindre de même rayon et de même hauteur, mais contenant à l'intérieur une demi-boule de chocolat qui occupe la partie inférieure. Si le rayon de la demi-boule est aussi de $6\text{ cm}$, lequel des deux récipients a le plus grand volume disponible pour la glace à la vanille ? Justifier la réponse en effectuant les calculs.

On souhaite construire une rampe en béton pour un skatepark. La rampe a la forme d'un prisme droit dont la base est un trapèze rectangle. Les bases du trapèze mesurent $3\text{ m}$ et $1\text{ m}$, et sa hauteur (longueur de la base de la rampe au sol) est de $5\text{ m}$. Si la largeur de la rampe est de $4\text{ m}$, calculer combien de mètres cubes de béton sont nécessaires ainsi que le coût total si le prix est de $95\text{ €/m}^3$.

Une entreprise de parfums vend son parfum phare dans un flacon composé d'un cylindre en verre de $4\text{ cm}$ de diamètre et de $10\text{ cm}$ de hauteur, surmonté d'un bouchon en forme de cône de même base et de $3\text{ cm}$ de hauteur. Si le flacon n'est rempli qu'à $85\%$ de sa capacité totale pour laisser de la place à l'air, combien de millilitres ($ml$) de parfum contient chaque flacon ? (Prendre $\pi \approx 3,1416$.)

Un atelier d'usinage doit fabriquer des pièces pleines en bronze en forme de prisme droit à base hexagonale régulière. La hauteur de la pièce est de $15\text{ cm}$, le côté de l'hexagone de base mesure $8\text{ cm}$ et l'apothème de la base mesure environ $6,93\text{ cm}$. Deux stagiaires proposent deux méthodes pour calculer le volume de métal :

• Méthode 1 (Marc) : il calcule l'aire de l'hexagone avec la formule habituelle du polygone régulier ($A = \frac{\text{périmètre} \cdot \text{apothème}}{2}$) et la multiplie par la hauteur du prisme.

• Méthode 2 (Sarah) : elle découpe mentalement le prisme hexagonal en $6$ prismes droits à base triangulaire identiques, dont la base est un triangle de base $8\text{ cm}$ et de hauteur $6,93\text{ cm}$, calcule le volume de l'un d'eux et le multiplie par $6$.

1. a) Appliquer numériquement les deux méthodes et vérifier si elles conduisent exactement au même résultat.
2. b) Justifier algébriquement pourquoi les deux méthodes sont mathématiquement équivalentes en analysant leurs formules générales.
3. c) Dans la conception finale, on décide de percer la pièce de haut en bas avec un trou cylindrique central de $4\text{ cm}$ de diamètre pour l'alléger. Laquelle des deux méthodes s'adapte le plus simplement au calcul du volume de métal restant ? Expliquer votre choix et calculer le volume final de la pièce percée (prendre $\pi \approx 3,14$).

Dans une coopérative de Castille-et-León, on projette un silo métallique pour stocker du grain. Le corps principal est un cylindre vertical de $4\text{ m}$ de rayon à sa base et de $12\text{ m}$ de hauteur, surmonté d'une trémie conique de fermeture dont le rayon est celui du cylindre et dont la génératrice mesure $5\text{ m}$.

1. a) Dessiner mentalement la section de la couverture conique, identifier le triangle rectangle formé par ses éléments et utiliser le théorème de Pythagore pour en déduire la hauteur exacte du cône supérieur.
2. b) Sachant que la masse volumique apparente du blé sec est de $0,8\text{ t/m}^3$ ($0,8$ tonnes par mètre cube), calculer la masse maximale de blé en tonnes que peut contenir le silo entièrement rempli (cylindre et cône ensemble). Prendre $\pi \approx 3,14$.
3. c) Le responsable du silo affirme : « Comme la hauteur du cône est le quart de la hauteur du cylindre, le cône doit représenter environ $25\%$ du volume total du silo ». Analyser mathématiquement cette affirmation en calculant le pourcentage réel que représente le volume du cône par rapport au volume total et expliquer avec des arguments géométriques pourquoi le raisonnement du responsable est incorrect.