Exercices: Aire

Un artisan fabrique des dés géants en bois pour une ludothèque. Si chaque dé est un cube parfait d'arête $a = 12 \text{ cm}$, calculer la surface totale de bois qu'il devra peindre sur chacun des dés.

Calculer l'aire totale d'une boîte à chaussures en forme de pavé droit dont les dimensions sont $15 \text{ cm}$ de largeur, $30 \text{ cm}$ de longueur et $10 \text{ cm}$ de hauteur. Dessiner de façon schématique son patron pour t'aider dans le calcul.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Pour un projet de technologie, vous devez recouvrir de papier adhésif un pot à crayons cylindrique. Le pot a un rayon de base de $r = 4 \text{ cm}$ et une hauteur de $h = 12 \text{ cm}$. Calculer combien de centimètres carrés de papier vous aurez besoin, sachant que le pot est ouvert sur le dessus (il n'a qu'une seule base). Prendre $\pi \approx 3,14$.

Une tonnelle de jardin a la forme d'un prisme droit à base triangulaire. La base est un triangle équilatéral de côté $l = 3 \text{ m}$. Si la longueur de la tonnelle (hauteur du prisme) est de $5 \text{ m}$, calculer l'aire latérale de la tonnelle (sans compter les deux bases triangulaires).

Déterminer l'aire totale d'une pyramide régulière à base carrée sachant que le côté de la base carrée mesure $8 \text{ cm}$ et que l'apothème de ses faces latérales mesure $10 \text{ cm}$.

Un ballon de basket a un rayon de $r = 12 \text{ cm}$. Calculer la surface de cuir nécessaire pour le fabriquer, en arrondissant le résultat à deux décimales. (Rappel : l'aire de la sphère est $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$.)

Observer le patron de ce solide. Si chacun des triangles isocèles a une aire de $15 \text{ cm}^2$ et que le carré central a un côté de $6 \text{ cm}$, quelle est l'aire totale de la figure une fois montée ? Quel solide obtient-on ?

Calculer l'aire latérale d'un cylindre dont le cercle de base a un périmètre de $C = 25,12 \text{ cm}$ et dont la hauteur est de $h = 10 \text{ cm}$. (Indice : rappelez-vous que, lorsqu'on déplie le cylindre, l'aire latérale est un rectangle dont la base est la longueur du cercle.)

Marc veut recouvrir de papier adhésif un pot à crayons de forme cylindrique. Le pot est ouvert sur le dessus, sa base circulaire a un rayon de $4\text{ cm}$ et sa hauteur est de $12\text{ cm}$. Pour calculer la quantité de papier nécessaire, Marc note dans son cahier :\n- Aire latérale : $A_L = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 12 \approx 301,59\text{ cm}^2$\n- Aire de la base : $A_{base} = \pi \cdot 4^2 \approx 50,27\text{ cm}^2$\n- Aire totale : $A_T = A_L + 2 \cdot A_{base} = 301,59 + 2 \cdot 50,27 = 402,13\text{ cm}^2$\na) Indiquer l'erreur de raisonnement géométrique commise par Marc, compte tenu de la fonction de l'objet à recouvrir.\nb) Expliquer quelle modification doit être apportée à la formule de l'aire totale à partir du patron d'un cylindre ouvert sur le dessus.\nc) Calculer la surface réelle de papier adhésif que Marc doit découper (utiliser $\pi \approx 3,14$).

Pour les entraînements scolaires de la Fédération française de handball, on utilise des ballons réglementaires sphériques de taille 2, dont le rayon est de $8,5\text{ cm}$.\na) Avant tout calcul exact, estimer approximativement l'aire de la surface sphérique en arrondissant mentalement le rayon à $8\text{ cm}$ et le nombre $\pi$ à $3$. Justifier si l'aire réelle dépassera $1\,000\text{ cm}^2$ ou sera plus petite.\nb) Calculer maintenant avec précision la surface de cuir du ballon en appliquant la formule de l'aire de la sphère ($A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$), avec le rayon réel de $8,5\text{ cm}$ et $\pi \approx 3,14$. Arrondir le résultat au centième.\nc) Comparer la valeur obtenue avec votre estimation initiale et expliquer pourquoi estimer un résultat au préalable aide à vérifier si les calculs faits à la calculatrice sont raisonnables.

Pour un projet de technologie, vous devez fabriquer une boîte en bois en forme de prisme droit à base hexagonale régulière. L'arête de la base mesure $4\text{ cm}$ et la hauteur du prisme est de $15\text{ cm}$. Calculer l'aire totale de bois nécessaire pour construire la boîte (y compris les deux bases).

(Remarque : pour trouver l'aire de la base, rappelez-vous qu'il faut d'abord calculer l'apothème de l'hexagone avec le théorème de Pythagore).

Un chapiteau pour un événement jeunesse a la forme d'une pyramide régulière à base carrée. Le côté de la base carrée mesure $10\text{ m}$ et la hauteur de la pyramide (du centre de la base au sommet) est de $12\text{ m}$. Calculer combien de mètres carrés de toile ont été nécessaires pour fabriquer les quatre faces latérales du chapiteau.

Un fabricant de bougies artisanales veut recouvrir d'un papier protecteur argenté la surface latérale d'une bougie cylindrique. La bougie a un diamètre de $8\text{ cm}$ et une hauteur de $20\text{ cm}$. Si le papier ne doit couvrir que la partie courbe (sans les bases), quelle surface de papier faut-il pour chaque bougie ? Utiliser $\pi \approx 3,14$.

Dans un glacier design, on a créé un cornet en forme de cône droit dont la hauteur est de $12\text{ cm}$ et dont le rayon de base est de $5\text{ cm}$. Calculer l'aire totale du cornet (surface latérale plus disque de base) pour savoir combien de chocolat il faut pour l'enrober entièrement.

(Indice : il faut d'abord trouver la génératrice du cône).

Un pot de fleurs moderne a la forme d'un tronc de pyramide régulière à base carrée. Les bases sont deux carrés de côtés $20\text{ cm}$ et $12\text{ cm}$ respectivement. Si la hauteur des faces latérales (l'apothème du tronc) est de $10\text{ cm}$, calculer l'aire totale de la surface extérieure du pot (bases supérieure et inférieure comprises).

On souhaite restaurer la coupole d'un observatoire astronomique qui a la forme d'une demi-boule de $6\text{ mètres}$ de rayon. Si le budget pour la peinture est de $15\text{ €}$ par mètre carré, combien coûtera la peinture de la surface extérieure de la coupole ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$.)

Un phare décoratif pour un jardin est formé de deux solides : un cylindre de $10\text{ cm}$ de rayon et de $30\text{ cm}$ de hauteur, surmonté d'un cône de même base et de $15\text{ cm}$ de génératrice. Calculer l'aire totale de la surface extérieure de ce phare (sans compter la base sur laquelle il repose).

Calculer l'aire totale d'un cube sachant que la diagonale d'une de ses faces mesure $10\text{ cm}$.

(Indice : utiliser le théorème de Pythagore dans une des faces pour trouver la longueur de l'arête du cube avant de calculer l'aire.)

Une conserverie de légumes de Navarre produit des boîtes cylindriques en fer-blanc pour mettre en conserve des asperges. L'équipe technique a fixé que la base circulaire de la boîte doit avoir un rayon de $4\text{ cm}$. La machine de découpe dispose d'exactement $351,68\text{ cm}^2$ de tôle pour fabriquer chaque boîte complète fermée (aire latérale plus les deux couvercles circulaires).\na) Poser une équation dont l'inconnue est la hauteur $h$ du cylindre, en utilisant les données fournies et la formule de l'aire totale ($A_T = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2$, avec $\pi \approx 3,14$).\nb) Résoudre l'équation pour calculer la hauteur exacte que doit avoir la boîte.\nc) Si le service qualité indique que, pour cette quantité de conserve, la hauteur idéale doit être comprise entre $9\text{ cm}$ et $11\text{ cm}$, déterminer en justifiant si les dimensions trouvées respectent ce critère de qualité.

En Anjou, on va restaurer le toit conique d'un moulin à vent afin de protéger sa mécanique intérieure des pluies torrentielles enregistrées par Météo-France. Le toit a la forme d'un cône de révolution : le rayon de sa base circulaire mesure $3\text{ m}$ et la hauteur verticale du centre de la base au sommet mesure $4\text{ m}$. Seule la surface latérale extérieure sera imperméabilisée (le cône n'a pas de base à couvrir, car il repose, ouvert, sur la tour en maçonnerie).\na) Modéliser la section du toit par un triangle rectangle pour calculer la génératrice du cône en appliquant le théorème de Pythagore.\nb) Calculer le nombre de mètres carrés de surface conique à imperméabiliser (prendre $\pi \approx 3,14$).\nc) Pour poser les lés d'étanchéité, il faut commander $10\,\%$ de matériau en plus à cause des chutes et des recouvrements. Si le mètre carré de lé coûte $25\text{ €}$, calculer le coût total du matériau nécessaire à la restauration.

Une entreprise de design veut fabriquer un plafonnier en forme de pyramide régulière à base hexagonale. Le côté de l'hexagone de la base mesure $10\text{ cm}$ et la hauteur de la pyramide est de $24\text{ cm}$. Pour que la lumière se projette correctement, il faut recouvrir les faces latérales d'une feuille de cuivre spéciale. Calculer combien de $\text{cm}^2$ de feuille de cuivre sont nécessaires pour couvrir la surface latérale du plafonnier. Il faudra d'abord trouver l'apothème de la base puis, avec lui, l'apothème de la pyramide.

Un architecte a conçu une verrière pour un musée qui consiste en un tronc de pyramide régulière à base carrée en verre. La base inférieure a un côté de $4\text{ m}$, la base supérieure un côté de $2\text{ m}$ et la hauteur du tronc est de $1,5\text{ m}$. Le verre utilisé pour les faces latérales coûte $85\text{ €/m}^2$. Calculer le budget nécessaire pour acheter le verre de la surface latérale, en arrondissant le résultat à deux décimales.

On a conçu un trophée en plexiglas qui consiste en un cylindre droit de $10\text{ cm}$ de hauteur et $6\text{ cm}$ de diamètre, auquel on a retiré une demi-boule parfaite sur la base supérieure, dont le rayon coïncide exactement avec celui du cylindre. Calculer l'aire totale de la surface du trophée (surface extérieure cylindrique, surface de la base inférieure et surface courbe du creux hémisphérique). Utiliser $\pi \approx 3,14$.

Un réservoir industriel a la forme d'un cylindre droit surmonté d'un cône de même base. La hauteur de la partie cylindrique est de $8\text{ m}$ et la hauteur de la partie conique est de $3\text{ m}$. Le diamètre du réservoir est de $8\text{ m}$. On souhaite peindre toute la surface extérieure latérale et la partie supérieure (cône), mais pas la base sur laquelle il repose. Si chaque pot de peinture permet de couvrir $15\text{ m}^2$, combien de pots de peinture faut-il acheter au minimum ?

Un cube en bois de $12\text{ cm}$ d'arête est coupé par un plan passant par les milieux de trois arêtes issues d'un même sommet, ce qui sépare une petite pyramide triangulaire (un tétraèdre irrégulier). Calculer l'aire totale du solide obtenu après avoir retiré la petite pyramide. Aide : la coupe crée une nouvelle face qui est un triangle équilatéral dont les côtés sont les diagonales des carrés de côté $6\text{ cm}$.

Un fabricant de ballons de gymnastique produit des boules en caoutchouc de deux tailles. Le petit ballon a une surface de $5024\text{ cm}^2$. Le grand ballon a un rayon exactement double de celui du petit. Calculer l'aire de la surface du grand ballon. Quel rapport numérique y a-t-il entre l'aire du grand ballon et celle du petit ? Utiliser $\pi = 3,14$.

On veut construire une serre en forme de demi-cylindre posé sur le sol, comme le montre la figure. La longueur de la serre est de $15\text{ m}$ et la largeur de la base (le diamètre du demi-cylindre) est de $6\text{ m}$. Si le plastique pour couvrir la partie courbe et les deux parois frontales (demi-disques) coûte $12\text{ €/m}^2$, quel sera le coût total du plastique nécessaire ? (Le sol n'est pas compté).

Une pièce mécanique en acier a la forme d'un prisme droit à base carrée avec un trou cylindrique qui la traverse de part en part par le centre. Le côté du carré de base du prisme mesure $10\text{ cm}$ et la hauteur de la pièce est de $20\text{ cm}$. Le diamètre du trou cylindrique est de $8\text{ cm}$. Calculer l'aire totale de la pièce (y compris la surface intérieure du trou).

Pour concevoir un monolithe commémoratif dans un parc public, la mairie projette une tour composée d'un prisme droit à base carrée de $4\text{ m}$ de côté et $10\text{ m}$ de hauteur, surmonté d'une pyramide régulière à base carrée identique et de hauteur verticale $1,5\text{ m}$. Deux architectes discutent de la façon de calculer la surface extérieure totale qui nécessitera un traitement hydrofuge (y compris la base inférieure du prisme posée sur le terrain préparé) :\n- Méthode de Laure : « Je calcule l'aire totale de la pyramide complète avec sa formule, j'ajoute l'aire totale du prisme complet avec sa formule et je retranche deux fois l'aire du carré où ils se joignent ».\n- Méthode de Serge : « Je regarde le patron extérieur du solide composé : je calcule directement l'aire de la base inférieure, l'aire latérale du prisme et l'aire latérale de la pyramide, et j'additionne ces trois quantités ».\na) Démontrer formellement que les deux méthodes aboutissent à la même expression algébrique de la surface.\nb) Justifier laquelle des deux méthodes est la plus pratique et efficace pour éviter les erreurs en atelier.\nc) Appliquer la méthode la plus pratique pour trouver la surface extérieure totale à traiter. (Pour la pyramide, il faut d'abord calculer son apothème avec le théorème de Pythagore à partir de la moitié du côté de la base et de sa hauteur verticale).

Une coopérative d'huile d'olive vierge extra de Jaén veut commercialiser une boîte métallique de conception haut de gamme en forme de prisme droit à base hexagonale régulière. Pour des raisons ergonomiques et de prise en main en cuisine, l'arête de la base hexagonale mesure $4\text{ cm}$. Le service financier impose une contrainte de coûts : la surface totale de fer-blanc consommée par chaque boîte fermée (y compris les deux bases hexagonales) ne peut pas dépasser $450\text{ cm}^2$.\na) Déterminer l'aire d'une des bases hexagonales régulières. Rappel : pour calculer l'apothème de la base, il faut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le rayon de la base (qui mesure autant que le côté, $4\text{ cm}$) et la moitié du côté. Arrondir l'apothème à deux décimales et l'aire de la base au dixième.\nb) À partir de l'aire totale maximale autorisée ($450\text{ cm}^2$), poser une équation ou une inéquation faisant intervenir la hauteur $h$ de la boîte et les deux bases hexagonales.\nc) Résoudre l'expression pour en déduire la hauteur maximale que peut avoir la boîte. Si la machine de conditionnement ne permet de régler que des hauteurs en nombres entiers de centimètres, quelle est la plus grande hauteur en centimètres que l'on peut fabriquer en respectant le budget de matériau ?