Exercices: Inégalité triangulaire et constructions

Peut-on construire un triangle dont les côtés mesurent $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm ? Justifier.

Peut-on construire un triangle $ABC$ avec $AB = 6$ cm, $BC = 2$ cm et $AC = 3$ cm ? Justifier.

Décrire les étapes de construction à la règle et au compas d'un triangle $ABC$ tel que $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm et $BC = 6$ cm.

Un triangle isocèle a deux côtés de longueur $4$ cm et un troisième côté de longueur $x$ cm.

1. a) Écrire les inégalités que doit vérifier $x$.
2. b) Donner l'encadrement de $x$ pour que le triangle existe.

Trois randonneurs partent des villages $A$, $B$ et $C$. On sait que $AB = 7$ km et $BC = 3$ km.

1. a) Dans quel intervalle peut se trouver la distance $AC$ si $A$, $B$, $C$ forment un triangle non aplati ?
2. b) Que peut-on dire des points $A$, $B$, $C$ si $AC = 10$ km ?

Construire (en décrivant le programme de construction) un triangle $EFG$ tel que $EF = 6$ cm, $\widehat{E} = 50^\circ$ et $\widehat{F} = 60^\circ$. Calculer ensuite l'angle $\widehat{G}$.

Soit $M$ un point du segment $[AB]$ distinct de $A$ et $P$ un point n'appartenant pas à $(AB)$.

1. a) Montrer que $PA < PM + MA$.
2. b) Montrer que si $P$ n'est pas sur $(AB)$, alors $PA + PB > AB$.

On veut construire un triangle de périmètre $20$ cm dont un côté mesure $8$ cm.

1. a) Montrer que la somme des deux autres côtés vaut $12$ cm.
2. b) Montrer que chacun des deux autres côtés est strictement compris entre $2$ cm et $10$ cm.
3. c) Donner un exemple de triangle isocèle vérifiant ces conditions.

Un triangle a des côtés de longueurs entières $a$, $b$ et $7$ cm avec $a \le b \le 7$ et $a + b > 7$.

1. a) Lister tous les triangles possibles pour $a = 3$.
2. b) Combien de triangles possibles existe-t-il pour $a = 4$ ?
3. c) Existe-t-il un triangle de ce type avec $a = 1$ ? Justifier.