Lei de Stokes
Deixas cair uma bola de aço num frasco de mel e outra num copo de água. Na água, ela desce num instante; no mel, parece ir em câmara lenta. O que trava a bola? E de que depende o valor dessa força? É isso que vais descobrir.
A força de resistência viscosa
Quando um corpo se move num fluido, o fluido opõe-se ao movimento. Essa força de resistência viscosa tem sempre a direção do movimento e sentido oposto ao da velocidade. Tem origem no atrito interno do fluido (a viscosidade) entre as camadas que rodeiam o corpo.
Com a esfera a cair, atuam três forças: o peso $\vec P$ (para baixo), a impulsão $\vec I$ (para cima) e a força de resistência viscosa $\vec F_v$ (para cima, enquanto a esfera desce).
Quanto mais rápido a esfera se move, maior é a resistência. Ao descer, a esfera ganha rapidez e a força viscosa aumenta, até que a resultante das forças se anula e a esfera atinge a velocidade terminal (é o assunto de outra página).
::pregunta
Uma esfera sobe lentamente num líquido, empurrada para cima. Qual é o sentido da força de resistência viscosa?
???
Para baixo. A força viscosa opõe-se sempre ao movimento, ou seja, tem sentido contrário ao da velocidade.
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A lei de Stokes
Para uma esfera de raio $r$ que se move com rapidez $v$ num fluido de coeficiente de viscosidade $\eta$, em escoamento laminar (movimento lento, sem turbilhões), o módulo da força de resistência viscosa é:
A fórmula é razoável: a força é diretamente proporcional a cada uma das três grandezas.
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Se $\eta$ duplica (fluido mais viscoso), $F_v$ duplica.
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Se $r$ duplica (esfera maior, mais fluido a ser arrastado), $F_v$ duplica.
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Se $v$ duplica, $F_v$ duplica.
O coeficiente de viscosidade $\eta$ mede-se em $\text{Pa}\cdot\text{s}$. Verifica as unidades: $\text{Pa}\cdot\text{s}\cdot\text{m}\cdot\text{m/s} = \text{Pa}\cdot\text{m}^2 = \text{N}$. Dá newtons, como devia.
::pregunta
Duas esferas do mesmo material, uma com o dobro do raio da outra, movem-se com a mesma rapidez no mesmo líquido. Quanto vale a razão entre as forças viscosas?
???
$F_v \propto r$, logo a esfera maior sofre uma força duas vezes maior. (Atenção: não é $r^2$.)
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Uma esfera de aço de raio $1,0\ \text{mm}$ cai com velocidade constante de módulo $1,0\ \text{cm/s}$ no interior de glicerina, cujo coeficiente de viscosidade é…
Uma esfera de aço de raio $1,0\ \text{mm}$ cai com velocidade constante de módulo $1,0\ \text{cm/s}$ no interior de glicerina, cujo coeficiente de viscosidade é $\eta = 1,5\ \text{Pa}\cdot\text{s}$, como se mostra na figura.
A força de resistência viscosa que atua numa esfera de raio $r$ que se move com velocidade de módulo $v$ num fluido de coeficiente de viscosidade $\eta$, em escoamento laminar, é dada pela lei de Stokes:
$$F = 6\cdot\pi\cdot\eta\cdot r\cdot v$$- a) Calcula o módulo da força de resistência viscosa que atua na esfera. Apresenta o resultado em newtons, em notação científica.
- b) Mostra, a partir das unidades de $\eta$, $r$ e $v$, que o produto $\eta\cdot r\cdot v$ tem unidade de força.
- c) Se a esfera caísse com o dobro da velocidade, quanto valeria a força de resistência viscosa? Justifica com base na lei de Stokes.
Efeito da temperatura
O coeficiente $\eta$ de um líquido diminui quando a temperatura aumenta. O mel quente escorre muito melhor do que o mel frio. Como $F_v \propto \eta$, a mesma esfera à mesma rapidez sofre menor força num líquido mais quente.
| Temperatura (°C) | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|
| $\eta$ da glicerina ($\text{Pa}\cdot\text{s}$) | 1,5 | 0,6 | 0,3 |
Repara: de $20\ ^\circ\text{C}$ para $40\ ^\circ\text{C}$, $\eta$ fica cinco vezes menor, e a força viscosa também (para a mesma esfera e a mesma rapidez).
::pregunta
Para medir a viscosidade de um óleo, a Inês aquece-o antes de largar a esfera. A esfera vai chegar ao fundo mais depressa ou mais devagar do que com o óleo frio? Porquê?
???
Mais depressa: o óleo quente tem menor $\eta$, logo a resistência viscosa é menor e a esfera é menos travada.
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A tabela indica valores aproximados do coeficiente de viscosidade da glicerina a três temperaturas. | Temperatura (°C) | 20 | 30 | 40 |…
A tabela indica valores aproximados do coeficiente de viscosidade da glicerina a três temperaturas.
| Temperatura (°C) | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|
| $\eta$ ($\text{Pa}\cdot\text{s}$) | 1,5 | 0,6 | 0,3 |
Uma esfera de raio $1,0\ \text{mm}$ cai na glicerina com velocidade de módulo $1,0\ \text{cm/s}$.
- a) Calcula o módulo da força de resistência viscosa que atua na esfera quando a glicerina está a $20\ \text{°C}$. Usa a lei de Stokes, $F = 6\cdot\pi\cdot\eta\cdot r\cdot v$.
- b) Calcula o módulo dessa força quando a glicerina está a $40\ \text{°C}$, para a mesma velocidade.
- c) Determina quantas vezes a força calculada em a) é maior do que a calculada em b) e relaciona o resultado com a variação do coeficiente de viscosidade.
- d) Comenta a afirmação: «Numa atividade laboratorial de medição da viscosidade, o valor obtido não depende da temperatura a que está o fluido.»