Aplicações do circuito RC · Física 12.º ano

O flash: carga lenta, descarga rápida

Um flash eletrónico guarda energia num condensador. O ciclo tem duas fases:

Carga: a bateria carrega o condensador através de um resistor de resistência elevada. O condensador enche-se devagar.
Descarga: ao disparar, o condensador descarrega-se através da lâmpada, de resistência muito baixa. A energia sai de uma só vez.

O condensador é o mesmo nas duas fases. O que muda é a resistência do circuito e, por isso, a constante de tempo.

Lembra que, em qualquer carga ou descarga, a grandeza varia mais depressa no início e a escala de tempo é dada por $\tau$. Quanto maior $\tau$, mais lento é o processo.

Comparar a carga e a descarga de um flash

Um condensador de $C = 200\ \mu\text{F}$ é carregado através de $R_1 = 10\ \text{k}\Omega$ e descarregado através de uma lâmpada de $R_2 = 2\ \Omega$. Compara as constantes de tempo.

Carga. $\tau_1 = R_1 C = 10\,000 \times 200\times10^{-6} = 2{,}0\ \text{s}$.

Descarga. $\tau_2 = R_2 C = 2 \times 200\times10^{-6} = 4\times10^{-4}\ \text{s} = 0{,}4\ \text{ms}$.

Comparação. $\dfrac{\tau_1}{\tau_2} = \dfrac{2{,}0}{4\times10^{-4}} = 5000$. A carga é cerca de $5000$ vezes mais lenta do que a descarga.

Em quanto tempo, aproximadamente, o condensador fica praticamente carregado, considerando que isso acontece ao fim de cerca de $5\tau$? Faz a conta no caderno antes de ver o resultado.

$t \approx 5\tau_1 = 5 \times 2{,}0 = 10\ \text{s}$. É este o tempo de espera até o flash estar pronto.

Pratica★★☆

O flash eletrónico de uma máquina fotográfica contém um condensador que é carregado lentamente pela bateria, através de um resistor de resistência elevada, e que se…

O flash eletrónico de uma máquina fotográfica contém um condensador que é carregado lentamente pela bateria, através de um resistor de resistência elevada, e que se descarrega muito rapidamente através da lâmpada, quando se tira a fotografia. A figura mostra como varia a diferença de potencial $U$ entre as armaduras do condensador durante um ciclo completo de funcionamento.

a) Explica, recorrendo às constantes de tempo dos circuitos de carga e de descarga, por que razão a carga é muito mais lenta do que a descarga.
b) Durante a descarga, a lâmpada apresenta uma resistência elétrica de $2,0\ \Omega$ e o condensador tem capacidade $470\ \mu\text{F}$. Calcula a constante de tempo da descarga e compara o resultado com a duração típica de um clarão de flash, cerca de um milissegundo.
c) Na carga, a corrente passa por um resistor de $2,2\ \text{k}\Omega$. Determina o tempo aproximado que é necessário esperar até o condensador estar praticamente carregado (considera $5 \cdot \tau$).

Resolver

O temporizador da luz das escadas

Nos prédios, carregas no botão e a luz das escadas apaga-se sozinha passado algum tempo. Como é que ela «sabe» quanto tempo esperar?

A ideia é a seguinte. Ao carregar no botão, a luz acende e começa a carga de um condensador através de um resistor. Enquanto a diferença de potencial nas armaduras for inferior a um valor limite $U_{lim}$, a luz mantém-se acesa. Quando $U_C$ atinge $U_{lim}$, um circuito eletrónico desliga a luz.

O tempo de espera depende de como $U_C$ cresce:

$$U_C = \varepsilon\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \quad\Rightarrow\quad t = -\tau\,\ln\!\left(1 - \frac{U_{lim}}{\varepsilon}\right)$$

Para o mesmo $\varepsilon$ e o mesmo $U_{lim}$, o tempo é proporcional a $\tau$. Isto dá-te o botão de regulação: mais $R$ ou mais $C$ significa luz acesa durante mais tempo.

Dimensionar um temporizador

Num temporizador, $\varepsilon = 12\ \text{V}$ e a luz desliga quando $U_C = 8\ \text{V}$. Pretende-se $\tau = 30\ \text{s}$ com um condensador de $C = 220\ \mu\text{F}$.

Resistência necessária. De $\tau = RC$ vem $R = \dfrac{\tau}{C} = \dfrac{30}{220\times10^{-6}} \approx 1{,}4\times10^{5}\ \Omega$, ou seja, cerca de $140\ \text{k}\Omega$.

Tempo até $8\ \text{V}$. $1 - \dfrac{8}{12} = \dfrac13$, logo $t = -\tau\ln\dfrac13 = \tau\ln 3 \approx 1{,}10\,\tau$.

Com $\tau = 30\ \text{s}$: $t \approx 1{,}10 \times 30 \approx 33\ \text{s}$.

Se o limite fosse $U_{lim} = 7{,}6\ \text{V}$ (cerca de $63\ \%$ de $12\ \text{V}$), qual seria aproximadamente o tempo? Pensa no significado de $\tau$.

Aos $63\ \%$ de $\varepsilon$ temos $t = \tau = 30\ \text{s}$. É por isso que, em aproximação, se diz que a carga «demora cerca de um $\tau$» a chegar a $63\ \%$.

Pratica★★☆

Em muitos prédios, a luz das escadas acende quando se carrega num botão e apaga-se sozinha algum tempo depois. O temporizador que controla a luz baseia-se na carga lenta…

Em muitos prédios, a luz das escadas acende quando se carrega num botão e apaga-se sozinha algum tempo depois. O temporizador que controla a luz baseia-se na carga lenta de um condensador através de um resistor: enquanto a diferença de potencial nas armaduras não atinge um certo valor, a luz mantém-se acesa.

a) Explica como a constante de tempo do circuito RC permite controlar o intervalo de tempo durante o qual a luz fica acesa.
b) Pretende-se que a luz fique acesa durante cerca de $1\ \text{min}$, o que corresponde, aproximadamente, a uma constante de tempo. Usando um condensador de $470\ \mu\text{F}$, determina a resistência elétrica do resistor a instalar.
c) Sem trocar o resistor, indica que alteração se pode fazer no circuito para duplicar o tempo de iluminação. Justifica.

Resolver

O desfibrilhador automático externo

Os desfibrilhadores automáticos externos (DAE) existem em muitas escolas, ginásios e estações de comboio em Portugal. Um DAE usa um condensador como «reservatório» de energia: carrega-o lentamente a alta tensão e descarrega-o de uma vez através do tórax da pessoa. O impulso é curto e intenso, e é isso que interessa.

Dois ingredientes bastam para o estudar:

Energia armazenada no condensador (fornecida como dado): $E = \tfrac12\,C\,U^2$. Repara que depende do quadrado da diferença de potencial.
Descarga num resistor (o tórax): $U = U_0\,e^{-t/\tau}$, com $\tau = R\,C$.

Energia e duração de um impulso

Um condensador de $C = 150\ \mu\text{F}$ está carregado a $U_0 = 1{,}5\ \text{kV}$ e descarrega-se através de um tórax que se comporta como um resistor de $R = 50\ \Omega$.

Energia armazenada. $E = \tfrac12 \times 150\times10^{-6} \times (1500)^2 = \tfrac12 \times 150\times10^{-6} \times 2{,}25\times10^{6} \approx 1{,}7\times10^{2}\ \text{J}$.

Constante de tempo. $\tau = RC = 50 \times 150\times10^{-6} = 7{,}5\times10^{-3}\ \text{s} = 7{,}5\ \text{ms}$.

Tempo para $U$ descer a $10\ \%$ de $U_0$. De $0{,}10 = e^{-t/\tau}$ vem $t = \tau\ln 10 \approx 2{,}30 \times 7{,}5 \approx 17\ \text{ms}$.

Qual é a diferença de potencial no condensador ao fim de $\tau$? Calcula-a no caderno.

$U = U_0\,e^{-1} \approx 0{,}37 \times 1500 \approx 5{,}5\times10^{2}\ \text{V}$.

Pratica★★★

Os desfibrilhadores automáticos externos (DAE), instalados em escolas, ginásios e estações de comboio de Portugal no âmbito do Programa Nacional de DAE do INEM,…

Os desfibrilhadores automáticos externos (DAE), instalados em escolas, ginásios e estações de comboio de Portugal no âmbito do Programa Nacional de DAE do INEM, armazenam energia num condensador. Quando acionados, o condensador descarrega-se através do tórax da pessoa, num impulso elétrico muito curto.

a) A energia armazenada num condensador é dada por $E = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2$. Calcula a energia libertada num impulso em que o condensador de $100\ \mu\text{F}$ está carregado a uma diferença de potencial de $2,0\ \text{kV}$.
b) Durante a descarga, o tórax comporta-se como um resistor de resistência elétrica de cerca de $50\ \Omega$. Determina a constante de tempo da descarga e explica por que razão o impulso é tão breve.
c) Justifica por que razão se usa um condensador carregado a uma elevada diferença de potencial, em vez de uma ligação direta à rede elétrica, para produzir o impulso.

Resolver

O relógio logarítmico

Já sabes que na descarga $U = U_0\,e^{-t/\tau}$. Esta curva exponencial não é fácil de ler. Mas, se aplicares o logaritmo natural, obténs uma reta:

$$\ln U = \ln U_0 - \frac{1}{\tau}\,t$$

Compara com $y = b + m\,x$: o gráfico de $\ln U$ em função de $t$ tem ordenada na origem $\ln U_0$ e declive $-\dfrac{1}{\tau}$.

Isto permite construir um relógio logarítmico. Medes $U$ com um voltímetro, calculas $\ln U$ e obténs diretamente o tempo decorrido:

$$t = \tau\left(\ln U_0 - \ln U\right)$$

Uma grandeza que varia exponencialmente com o tempo passa a ser lida como uma escala linear. É a ideia usada, por exemplo, no cálculo de períodos de semidesintegração.

Determinar τ a partir de medições

Um condensador carregado a $U_0 = 10\ \text{V}$ descarrega-se e mede-se $U$ em instantes diferentes:

$t\ (\text{s})$	$0$	$20$	$40$
$U\ (\text{V})$	$10{,}0$	$3{,}68$	$1{,}35$

Calcular $\ln U$. Obtém-se $2{,}30$; $1{,}30$; $0{,}30$.

Declive. $m = \dfrac{0{,}30 - 2{,}30}{40 - 0} = -0{,}050\ \text{s}^{-1}$.

Constante de tempo. $\tau = -\dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{0{,}050} = 20\ \text{s}$.

Com este $\tau$, em que instante é que $U$ valerá $1{,}0\ \text{V}$? Usa $t = \tau(\ln U_0 - \ln U)$.

$t = 20\,(\ln 10 - \ln 1) = 20 \times 2{,}30 \approx 46\ \text{s}$.

Pesquisa e metodologia

Faz uma pesquisa sobre circuitos RC e cria, em grupo, um relógio logarítmico: usa um condensador, um resistor de resistência elevada e um voltímetro. Mede $U$ em função de $t$, faz o gráfico de $\ln U$ e verifica se os pontos se alinham numa reta. Explica a metodologia seguida e os resultados obtidos, incluindo o valor de $\tau$. Se os pontos não se alinharem, discute as fontes de erro: a resistência interna do voltímetro, as fugas do condensador e as incertezas de leitura.

Em resumo

A constante de tempo $\tau = RC$ mede a rapidez da carga ou da descarga. Quanto maior $\tau$, mais lento é o processo.
Flash: carga lenta (resistência elevada, $\tau$ grande) e descarga rápida (resistência baixa, $\tau$ pequeno).
Temporizador: o tempo de espera até $U_C$ atingir um valor limite é proporcional a $\tau$. Em $t = \tau$, o condensador está a $63\ \%$ da carga final.
Desfibrilhador: a energia armazenada é $E = \tfrac12 C U^2$, e a descarga no tórax segue $U = U_0\,e^{-t/\tau}$.
Relógio logarítmico: $\ln U = \ln U_0 - t/\tau$ é uma reta de declive $-1/\tau$, o que permite determinar $\tau$ e medir o tempo.

De volta ao início: o flash carrega devagar porque a carga se faz através de uma resistência elevada ($\tau$ grande) e dispara depressa porque a descarga se faz através de uma resistência muito baixa ($\tau$ pequeno).

Vamos praticar! 2 exercícios de nível médio neste tema

★★☆ O flash eletrónico de uma máquina fotográfica contém um condensador que é carregado…★★☆ Em muitos prédios, a luz das escadas acende quando se carrega num botão e apaga-se…