As leis do movimento planetário

Johannes Kepler deduziu três leis que descrevem o movimento dos planetas em torno do Sol a partir das observações de Tycho Brahe.

1. a) Enuncia a primeira lei de Kepler (lei das órbitas).
2. b) Desenha no teu caderno uma órbita elíptica e assinala nela os dois focos da elipse, a posição do Sol, o periélio (ponto mais próximo do Sol) e o afélio (ponto mais afastado).
3. c) Indica o que é o semieixo maior $a$ da órbita e escreve a sua expressão em função das distâncias do periélio, $r_p$, e do afélio, $r_a$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

A Terra passa pelo periélio a uma distância do Sol de $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ e pelo afélio a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. A figura mostra a órbita com ambas as distâncias (sem escala):

1. a) Calcula o semieixo maior da órbita terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sabendo que $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$ (unidade astronómica: distância média Terra–Sol), exprime o resultado em unidades astronómicas e comenta o que observas.

A excentricidade de uma elipse é $e = \frac{c}{a}$, onde $a$ é o semieixo maior e $c$ a distância do centro da elipse a um dos focos. Para a Terra: $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ (periélio) e $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$ (afélio). Observa a geometria da órbita na figura (sem escala):

1. a) Calcula o semieixo maior, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Calcula a distância focal, $c = \frac{r_a - r_p}{2}$, e a excentricidade $e$ da órbita terrestre.
3. c) Um valor $e = 0$ corresponde a uma circunferência e um valor próximo de $1$, a uma elipse muito alongada. Comenta a forma da órbita terrestre de acordo com o valor obtido.

1. a) Enuncia a segunda lei de Kepler (lei das áreas).
2. b) Um planeta percorre a sua órbita elíptica passando pelo periélio e pelo afélio. Aplica a lei das áreas para justificar em qual desses dois pontos se move mais rapidamente.
3. c) A velocidade areolar (área varrida pelo raio vetor por unidade de tempo) é constante porque o momento angular do planeta se conserva. Explica qualitativamente por que razão um raio vetor mais curto no periélio implica uma velocidade maior.

Desenha no teu caderno uma órbita elíptica alongada com o Sol situado num dos seus focos.

1. a) Marca dois intervalos de tempo iguais, um centrado no periélio e outro no afélio, e sombreia as áreas varridas pelo raio vetor em ambos os troços.
2. b) De acordo com a lei das áreas, que relação existe entre as duas áreas sombreadas?
3. c) Justifica, a partir do desenho, em que troço o planeta percorre um arco mais longo no mesmo tempo e o que isso implica quanto à sua velocidade.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Pela conservação do momento angular, no periélio e no afélio cumpre-se $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$. A Terra passa pelo periélio ($r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$) com uma velocidade de $30,3\ \text{km/s}$, e o afélio fica a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. O esquema mostra a órbita e as velocidades em ambos os pontos (sem escala):

1. a) Isola a velocidade no afélio, $v_a$, da expressão anterior.
2. b) Calcula o seu valor, em $\text{km/s}$.
3. c) O periélio ocorre no início de janeiro e o afélio no início de julho. Indica em qual desses meses a Terra se desloca mais rapidamente ao longo da sua órbita e relaciona-o com a segunda lei de Kepler.

1. a) Enuncia a terceira lei de Kepler (lei dos períodos) e escreve a sua expressão matemática, $\frac{T^2}{a^3} = C$, indicando o significado de $T$ e de $a$.
2. b) A constante vale $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, onde $M$ é a massa do corpo central. Justifica se $C$ é a mesma para todos os planetas do sistema solar e se o seria também para as luas de Júpiter.

Para os corpos que orbitam o Sol, se o período $T$ for expresso em anos e o semieixo maior $a$ em unidades astronómicas, a terceira lei de Kepler reduz-se a $T^2 = a^3$. Mercúrio orbita com um semieixo maior $a = 0,387\ \text{UA}$.

1. a) Calcula o período orbital de Mercúrio, em anos.
2. b) Exprime-o em dias terrestres ($1$ ano $= 365,25$ dias).

Um asteroide da cintura principal demora $T = 8$ anos a completar a sua órbita em torno do Sol. Para os corpos que orbitam o Sol cumpre-se $T^2 = a^3$, com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas.

1. a) Isola o semieixo maior $a$ da expressão anterior.
2. b) Calcula o seu valor, em $\text{UA}$.

Um aluno afirma: «como $\frac{T^2}{a^3} = C$ é uma constante universal, o seu valor é o mesmo para a Terra em torno do Sol e para a Lua em torno da Terra».

1. a) Justifica por que razão a afirmação é falsa, tendo em conta que $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, sendo $M$ a massa do corpo central.
2. b) Indica um conjunto de corpos para o qual a constante coincidiria com a das luas de Júpiter.

Marte orbita o Sol com um semieixo maior $a = 1,524\ \text{UA}$. Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas.

1. a) Calcula a duração do ano marciano, em anos terrestres.
2. b) Exprime o resultado em dias ($1$ ano $= 365,25$ dias).

Vénus completa a sua órbita em torno do Sol em $T = 0,615$ anos. Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula o semieixo maior da órbita de Vénus, em $\text{UA}$.
2. b) Exprime-o em quilómetros, utilizando a notação científica.

Uma equipa de astrónomos descobre um objeto cujo período orbital é $T = 27$ anos. Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas.

1. a) Calcula o semieixo maior da sua órbita, em $\text{UA}$.
2. b) Compara-o com a órbita de Neptuno ($a \approx 30\ \text{UA}$): o objeto orbita mais perto ou mais longe do Sol do que Neptuno?

Kepler verificou a sua terceira lei com os dados de vários planetas. A Terra tem $a = 1\ \text{UA}$ e $T = 1$ ano; Júpiter tem $a = 5,20\ \text{UA}$ e $T = 11,86$ anos.

1. a) Calcula o quociente $\frac{T^2}{a^3}$ para a Terra, em $\text{anos}^2/\text{UA}^3$.
2. b) Calcula o mesmo quociente para Júpiter e verifica que coincide com o anterior (salvo arredondamentos).
3. c) Explica por que razão esse quociente só é idêntico para corpos que orbitam o mesmo corpo central.

Para uma órbita circular de raio $r$, a terceira lei de Kepler pode ser deduzida a partir da lei da gravitação universal. O esquema mostra um planeta em órbita circular com a força que atua sobre ele:

1. a) Iguala a força gravítica, $F = \frac{G\cdot M\cdot m}{r^2}$, à força centrípeta do movimento circular, $F_c = \frac{m\cdot v^2}{r}$, e obtém a velocidade orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.
2. b) Substitui $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$ no resultado anterior e deduz que $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}\cdot r^3$.
3. c) Identifica na expressão obtida a constante da terceira lei de Kepler e explica de que grandezas depende.

A terceira lei de Kepler permite «pesar» o Sol. Dados: distância média Terra–Sol $a = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$, período orbital terrestre $T = 365,25$ dias e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. A figura representa a órbita terrestre com os dados conhecidos:

1. a) Exprime o período orbital em segundos.
2. b) Isola a massa do Sol da expressão $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_S}$.
3. c) Calcula $M_S$ e compara o resultado com o valor aceite, $1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$.

A sonda Juno estudou o sistema de Júpiter. A sua lua Io orbita o planeta com um semieixo maior $a = 4,22\cdot10^{8}\ \text{m}$ e um período $T = 1,77$ dias. Dado: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Exprime o período de Io em segundos.
2. b) Isola a massa de Júpiter a partir da terceira lei de Kepler, $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_J}$.
3. c) Calcula $M_J$ e compara-a com o valor aceite, $1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$.

A constante da terceira lei de Kepler é $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, com $M$ a massa do corpo central. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, massa do Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e semieixo maior da órbita da Lua $a = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$.

1. a) Calcula, em unidades do Sistema Internacional, a constante $C$ para o sistema solar e para o sistema Terra–Lua.
2. b) Justifica a que se deve a enorme diferença entre ambos os valores.
3. c) Utiliza a constante do sistema Terra–Lua para prever o período orbital da Lua e exprime-o em dias.

Ceres, o maior corpo da cintura de asteroides, tem um período orbital de $T = 4,60$ anos. Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula o semieixo maior da órbita de Ceres, em $\text{UA}$.
2. b) Exprime a sua distância média ao Sol em metros, utilizando a notação científica.

Um cometa tem um semieixo maior igual ao dobro do de outro cometa do mesmo sistema.

1. a) Demonstra, a partir de $T^2 = a^3$, que se $a' = 2\cdot a$ então $T' = \sqrt{8}\cdot T \approx 2,83\cdot T$.
2. b) Um asteroide orbita o Sol com $a = 2\ \text{UA}$. Calcula o seu período, em anos.
3. c) Justifica, sem efetuar novos cálculos, se um planeta situado a metade da distância do Sol relativamente à Terra teria um ano mais longo ou mais curto do que o terrestre.

O cometa Halley tem um período de $T = 76$ anos e passa pelo periélio a $r_p = 0,586\ \text{UA}$ do Sol. Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas. A figura mostra a sua órbita alongada (sem escala):

1. a) Calcula o semieixo maior da sua órbita, em $\text{UA}$.
2. b) Tendo em conta que $a = \frac{r_p + r_a}{2}$, calcula a distância do afélio, $r_a$.
3. c) Aplicando a conservação do momento angular, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calcula o quociente $\frac{v_p}{v_a}$ e explica por que razão o Halley só é observável a partir da Terra durante alguns meses em cada $76$ anos.

Mercúrio tem a órbita planetária mais excêntrica do sistema solar: $a = 0,387\ \text{UA}$ e $e = 0,206$. As distâncias ao Sol no periélio e no afélio são $r_p = a\cdot(1 - e)$ e $r_a = a\cdot(1 + e)$.

1. a) Calcula $r_p$ e $r_a$, em $\text{UA}$.
2. b) Aplicando a conservação do momento angular, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calcula o quociente $\frac{v_p}{v_a}$.
3. c) Para a Terra esse quociente vale $1,034$. Compara ambos os resultados e explica qual é o papel desempenhado pela excentricidade na variação da velocidade orbital.

Para viajar da Terra a Marte com o menor consumo de combustível utiliza-se uma órbita de transferência de Hohmann: uma elipse com o periélio na órbita terrestre ($1\ \text{UA}$) e o afélio na órbita marciana ($1,524\ \text{UA}$). Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas. O esquema mostra a órbita de transferência:

1. a) Calcula o semieixo maior da elipse de transferência.
2. b) Calcula o período completo dessa elipse, em anos.
3. c) A viagem de ida dura meio período. Calcula a sua duração em dias ($1$ ano $= 365,25$ dias) e fundamenta por que razão as missões a Marte só podem ser lançadas em determinadas janelas que se repetem a cada $26$ meses.

Descobre-se um exoplaneta que orbita uma estrela de massa $M_E = 4\cdot M_S$ (quatro vezes a massa do Sol) com um semieixo maior $a = 1\ \text{UA}$, igual ao da Terra.

1. a) Partindo de $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M}$, demonstra que $\frac{T^2}{T_{Tierra}^2} = \frac{a^3}{a_{Tierra}^3}\cdot\frac{M_S}{M_E}$.
2. b) Calcula o período do exoplaneta, em anos terrestres.
3. c) Explica por que razão neste caso não se pode aplicar diretamente a relação simplificada $T^2 = a^3$ válida para o sistema solar.