Efeitos cinemáticos e dinâmicos sobre objetos no campo gravítico

Um astronauta de $70\ \text{kg}$ está na superfície da Lua, onde o campo gravítico vale $g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula o seu peso na Lua.
2. b) Calcula o seu peso na Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Quantas vezes menos pesa na Lua? A sua massa variou? Justifica a diferença entre massa e peso.

O veículo explorador Perseverance, de $1025\ \text{kg}$, trabalha na superfície de Marte, onde $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula o seu peso em Marte.
2. b) Calcula quanto pesava na Terra antes do lançamento ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Justifica por que razão um veículo deste tipo pode ter rodas e suspensões mais leves em Marte do que na Terra.

Uma balança de precisão indica que o peso de um instrumento de laboratório é de $588\ \text{N}$ num local onde $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula a massa do instrumento.
2. b) Se o instrumento fosse levado para a Lua ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$), qual seria a sua massa? E o seu peso?
3. c) Explica que grandeza não se altera ao mudar de planeta e porquê.

Um satélite de $500\ \text{kg}$ orbita numa região onde o campo gravítico terrestre vale $g = 8,7\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula a força gravítica que a Terra exerce sobre ele.
2. b) Indica a direção e o sentido dessa força.
3. c) De acordo com a lei da ação-reação, que força exerce o satélite sobre a Terra?

O cume do Evereste está a $8848\ \text{m}$ acima do nível do mar.

1. a) Calcula o campo gravítico no cume aplicando $g = G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2}$ e considerando a Terra esférica ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Compara o resultado com $9,8\ \text{m/s}^2$: quase não varia. Explica a que se deve.

O telescópio espacial Hubble orbita a cerca de $540\ \text{km}$ de altitude.

1. a) Utilizando a expressão $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$, com $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, calcula o campo gravítico a essa altitude.
2. b) Exprime o resultado sob a forma de percentagem do valor na superfície.

O Observatório do Pico do Areeiro situa-se a $3718\ \text{m}$ de altitude.

1. a) Calcula $g$ a essa altitude com $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$ ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula a diferença relativamente ao valor ao nível do mar.
3. c) Exprime-a em percentagem e comenta se um instrumento de medição vulgar a detetaria.

Os satélites do sistema GPS orbitam a uma distância de $2,66\cdot10^{7}\ \text{m}$ do centro da Terra.

1. a) Calcula o campo gravítico terrestre na sua órbita ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) Calcula a força gravítica sobre um satélite GPS de $1000\ \text{kg}$.
3. c) Compara essa força com o peso do mesmo satélite na superfície ($g = 9,81\ \text{m/s}^2$): quantas vezes menor é?

O módulo de comando da Apollo 11 permaneceu em órbita lunar a $110\ \text{km}$ de altitude enquanto dois astronautas desciam à superfície.

1. a) Calcula o campo gravítico lunar nessa órbita ($M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula a força gravítica sobre o módulo, de $5500\ \text{kg}$.
3. c) Compara essa força com o peso do módulo na Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

Em metrologia, os padrões de massa devem ser pesados com extrema precisão.

1. a) Calcula $g$ no cume do Mont Blanc ($4808\ \text{m}$) com $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$ ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula a diferença de peso de uma massa padrão de $1,000\ \text{kg}$ entre o cume e o nível do mar.
3. c) A quantos gramas de massa equivale essa diferença? Comenta por que razão os laboratórios de calibração registam a altitude do local de medição.

Para altitudes pequenas face ao raio terrestre utiliza-se a aproximação $g \approx g_0\cdot\left(1 - \frac{2\cdot h}{R_T}\right)$, que provém de $(1 + x)^{-2} \approx 1 - 2\cdot x$ quando $x \ll 1$.

1. a) Partindo de $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$, justifica essa aproximação.
2. b) Aplica-a ao cume do Everest ($h = 8848\ \text{m}$, $g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$) e compara com o cálculo exato.
3. c) Estima a partir de que altitude o erro da aproximação supera 1 % (pista: o termo desprezado é da ordem de $3\cdot x^2$) e decide se a aproximação serve para a órbita da Estação Espacial ($h = 400\ \text{km}$).

Uma sonda parte da Terra em direção ao espaço profundo.

1. a) Calcula a que altitude acima da superfície o peso da sonda é metade do verificado no lançamento: formula $G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2} = \frac{g_0}{2}$, observa que $G$ e $M_T$ se cancelam, e expressa $h$ em função de $R_T$ ($R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$).
2. b) A que distância do centro da Terra o peso seria a décima parte?
3. c) Exprime ambos os resultados em raios terrestres e comenta o que implica a rapidez com que o campo diminui sobre a validade de considerar $g$ constante nos problemas de projéteis.

Uma pessoa está de pé sobre uma balança dentro de um elevador.

1. a) Com o elevador em repouso, a balança marca $700\ \text{N}$: quanto vale o peso da pessoa?
2. b) O elevador arranca e acelera para cima: justifica se a balança marcará mais, menos ou o mesmo, com a ajuda de um esquema de forças no teu caderno.
3. c) E se o elevador descer a travar, ou seja, a acelerar também para cima? Justifica a resposta.

Uma pessoa de $60\ \text{kg}$ pesa-se numa balança dentro de um elevador ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) O elevador sobe com aceleração constante de $2,0\ \text{m/s}^2$: desenha as forças no teu caderno, aplica $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ e calcula o valor indicado pela balança (a força normal).
2. b) Repete o cálculo para o caso em que o elevador desce com aceleração de $2,0\ \text{m/s}^2$.
3. c) Em que situação a pessoa se sente mais pesada? Coincide com o que se sente nas viagens de elevador?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma pessoa de $70\ \text{kg}$ está de pé sobre uma balança num elevador ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) O cabo parte-se e o elevador cai com aceleração $g$: calcula o que a balança marca e explica o resultado.
2. b) Numa avaria menos grave, o elevador desce com uma aceleração de $2,0\ \text{m/s}^2$: calcula o valor lido na balança.
3. c) Justifica se seria possível a balança indicar um valor negativo durante uma descida e que condição teria de se verificar.

Uma pessoa de $70\ \text{kg}$ viaja num elevador de pé sobre uma balança ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$). A viagem de subida tem três troços: arranque com aceleração de $1,5\ \text{m/s}^2$ para cima, troço central a velocidade constante e travagem final com aceleração de $1,5\ \text{m/s}^2$ dirigida para baixo.

1. a) Calcula a leitura da balança em cada um dos três troços.
2. b) Desenha no caderno o gráfico da leitura em função do tempo e indica em que troço a pessoa se sente mais pesada e em qual mais leve.
3. c) O que marcaria a balança durante toda a viagem se o cabo partisse logo no arranque? Justifica.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Nos vídeos da Estação Espacial Internacional, os astronautas «flutuam». Contudo, aos $400\ \text{km}$ de altitude a que orbitam, o campo gravítico terrestre vale cerca de $8,7\ \text{m/s}^2$, quase o mesmo que na superfície.

1. a) Explica por que razão se diz que os astronautas e a estação estão em «queda livre» permanente em redor da Terra.
2. b) Justifica por que razão, nessas condições, o peso aparente no interior da estação é nulo, embora o peso real não o seja.

A Estação Espacial Internacional orbita a $400\ \text{km}$ acima da superfície terrestre.

1. a) Calcula o campo gravítico terrestre a essa altitude ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula a força gravítica que a Terra exerce sobre um astronauta de $75\ \text{kg}$ no interior da estação.
3. c) Se a Terra o atrai com essa força, por que razão o astronauta flutua no interior da estação? Apresenta uma explicação detalhada utilizando os conceitos de queda livre e peso aparente.

Os aviões de voos parabólicos são utilizados para treinar astronautas e realizar ensaios médicos em imponderabilidade. O esquema mostra um perfil de voo deste tipo:

1. a) Explica como se deve mover o avião durante a parábola para que os passageiros tenham peso aparente nulo: quanto deve valer a sua aceleração?
2. b) Quanto vale o peso aparente de uma investigadora de $65\ \text{kg}$ durante a fase de imponderabilidade? E o seu peso real ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) Porque é que a medicina espacial utiliza estes voos antes de enviar as suas experiências para a Estação Espacial?

Numa torre de queda de um parque de diversões, a cabina com uma passageira de $60\ \text{kg}$ cai livremente durante $2,0\ \text{s}$ e depois trava com aceleração constante até parar ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quanto vale o peso aparente da passageira durante a queda livre? Justifica.
2. b) A travagem é realizada com uma aceleração de módulo $2\cdot g$ dirigida para cima: calcula o peso aparente nessa fase e compara-o com o peso real.
3. c) Calcula a velocidade no final da queda livre e a distância percorrida durante a travagem.

Um relógio de pêndulo é calibrado ao nível do mar, onde o seu período é $T_0 = 2,00\ \text{s}$ com $g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, e é depois levado para o cume do Everest, onde $g = 9,78\ \text{m/s}^2$. O período de um pêndulo simples é $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{L}{g}}$.

1. a) Sem alterar o comprimento do pêndulo, fundamenta se o relógio se adianta ou se atrasa no cume.
2. b) Calcula o novo período.
3. c) Calcula quanto se atrasa o relógio num dia completo.

O módulo de ascensão da Apolo 11, de $4700\ \text{kg}$, descolou da superfície lunar ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula a força de impulso mínima que o seu motor teve de fornecer para se elevar verticalmente com uma aceleração de $2,0\ \text{m/s}^2$ (aplica $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ na vertical).
2. b) Calcula a força de impulso necessária para realizar a mesma manobra a partir da superfície terrestre ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Face aos dois resultados, explica por que razão o módulo lunar pôde descolar com um motor pequeno, enquanto o foguetão Saturno V necessitou de um impulso de $3,4\cdot10^{7}\ \text{N}$.

No interior de um planeta de densidade uniforme, o campo gravítico cresce linearmente com a distância ao centro, de modo que a uma profundidade $d$ vale $g = g_0\cdot\left(1 - \frac{d}{R_T}\right)$. O gráfico mostra como varia $g$ com a distância $r$ ao centro:

1. a) Calcula $g$ a $3000\ \text{m}$ de profundidade, no fundo de uma mina ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula o peso aí de um elevador de mina carregado, de $800\ \text{kg}$, e a diferença em relação ao seu peso à superfície.
3. c) Ao subir $3000\ \text{m}$ de altitude, a variação relativa de $g$ é o dobro da variação ao descer $3000\ \text{m}$: verifica-o com a aproximação $g \approx g_0\cdot\left(1 - \frac{2\cdot h}{R_T}\right)$ e explica fisicamente por que razão ao descer o efeito é menor (pensa na massa que fica «acima»).

Um astronauta treina saltos verticais com uma velocidade inicial de $3,0\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula a altura máxima que atingiria na Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$) usando $h = \frac{v_0^2}{2\cdot g}$.
2. b) Calcula a altura máxima na Lua ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).
3. c) Calcula o tempo total de voo (subida e descida) em ambos os locais com $t = \frac{2\cdot v_0}{g}$.
4. d) Justifica, a partir das duas fórmulas, por que razão tanto a altura como o tempo de voo são multiplicados pelo mesmo fator ao mudar de planeta, e calcula esse fator.

Desafio do tema. A tua localização influencia o lançamento de satélites? Elabora um relatório técnico avaliando a gravidade local e as suas consequências dinâmicas em três fases:

1. Medição: Monta um pêndulo simples em casa. Cronometra o tempo de $10$ oscilações para quatro comprimentos distintos ($L$ entre $0,30\text{ m}$ e $0,90\text{ m}$, com $\Delta L = \pm 0,002\text{ m}$). Tabula as tuas medições, representa graficamente $T^2$ em função de $L$ e obtém, através do declive, o valor experimental de $g \pm \Delta g$.

2. Cálculo vetorial: Consulta no site do Instituto Geográfico do Exército ou do Instituto Geográfico Português o valor oficial da aceleração gravítica da tua zona. Modela vetorialmente o campo gravítico resultante $\vec{g}_{\text{total}}$ num ponto a $400\text{ km}$ sobre a tua vertical, somando as contribuições vetoriais da Terra e da Lua, supondo a Lua no teu zénite (Terra, ponto e Lua alinhados sobre a mesma vertical).

3. Efeitos dinâmicos e cinemáticos: Determina a velocidade orbital $v$ e o período que um satélite necessitaria nessa posição sob esse campo sobreposto. Analisa como variaria a força centrípeta se usasses o teu valor experimental em comparação com o dado oficial, extrapolando ambos os valores à superfície para $400\text{ km}$ com $g(r) = g_0\,(R_T/r)^2$.

Avaliar-se-á:

• Rigor no tratamento experimental de dados, propagação de incertezas e ajuste gráfico.

• Precisão no cálculo e sobreposição vetorial dos campos gravíticos.

• Aplicação correta dos conceitos dinâmicos e cinemáticos do movimento orbital.

• Qualidade analítica e justificação crítica das conclusões no relatório.