Aplicações em situações reais
Numa rotunda, o carro travou e, mesmo assim, os passageiros sentiram-se empurrados para o lado. Se o carro estava a travar, porque é que a sensação não é só de ir para a frente? Ao longo desta página vais ver que há duas acelerações em jogo ao mesmo tempo, e cada uma explica uma das sensações.
Duas componentes, dois efeitos
Já sabes que, num movimento curvilíneo, a aceleração se decompõe em duas componentes perpendiculares: a tangencial $\vec a_t$ e a normal $\vec a_n$.
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$a_t$ mede a rapidez com que muda o módulo da velocidade. Se o carro trava, $a_t$ tem sentido oposto ao da velocidade.
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$a_n = \dfrac{v^2}{r}$ mede a rapidez com que muda a direção da velocidade. Aponta sempre para o centro da curvatura.
Como são perpendiculares, o módulo da aceleração total obtém-se pelo Teorema de Pitágoras:
$$a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}$$E o ângulo $\alpha$ que $\vec a$ faz com a tangente à trajetória é dado por
$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{a_n}{|a_t|}$$Um automóvel descreve uma curva de raio $36\ \text{m}$. Num dado instante, a sua velocidade é $12\ \text{m/s}$ e o automóvel está a travar, sendo a componente tangencial…
Um automóvel descreve uma curva de raio $36\ \text{m}$. Num dado instante, a sua velocidade é $12\ \text{m/s}$ e o automóvel está a travar, sendo a componente tangencial da aceleração igual a $3,0\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula o valor da componente normal da aceleração nesse instante.
- b) Sabendo que as duas componentes são perpendiculares entre si, determina o módulo da aceleração total do automóvel.
- c) Determina o ângulo que o vetor aceleração faz com a tangente à trajetória nesse instante.
- d) Indica, justificando, se o módulo da aceleração total poderia ser calculado somando diretamente os valores das duas componentes.
Componente normal e Segunda Lei de Newton
A aceleração não aparece sozinha: é provocada por forças. Decompondo a força resultante segundo a normal e a tangente, a Segunda Lei de Newton escreve-se
$$F_{R,n}=m\,a_n=m\frac{v^2}{r}\qquad\qquad F_{R,t}=m\,a_t$$Porquê? Porque a resultante tem a direção e o sentido da aceleração, e cada componente da força "explica" a componente correspondente da aceleração. Para o carro fazer a curva, tem de existir uma força resultante dirigida para o centro: no asfalto, é o atrito entre os pneus e a estrada. Se o piso estiver molhado, o atrito máximo diminui e o carro pode derrapar.
Montanha-russa: o círculo vertical
Num círculo vertical, a rapidez não é constante: o carrinho é mais rápido em baixo e mais lento em cima. Por isso há $a_t\neq 0$ e a energia mecânica ajuda a relacionar as rapidezes (sem atrito, $E_m$ conserva-se). Entre o ponto mais baixo e o mais alto, o carrinho sobe $2r$, e $\frac12 mv_{baixo}^2=\frac12 mv_{alto}^2+mg\,(2r)$, ou seja, $v_{alto}^2=v_{baixo}^2-4gr$. Em cada ponto, a normal calcula-se com a rapidez nesse ponto: $a_n=v^2/r$, sempre dirigida para o centro do círculo.
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No ponto mais baixo, $\vec a_n$ aponta para cima.
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No ponto mais alto, $\vec a_n$ aponta para baixo.
Nestes dois pontos, o peso e a reação normal do carril são perpendiculares à velocidade (são radiais), logo $a_t=0$ nesses pontos (a resultante é só normal). Nos restantes pontos do círculo, $a_t\neq 0$. Na parte de baixo, a Segunda Lei dá, com o sentido para cima como positivo:
$$N-P=m\,a_n \;\Rightarrow\; N=m\,(g+a_n)$$Ou seja, a reação normal é maior do que o peso: os passageiros sentem-se "mais pesados", encostados ao banco. No ponto mais alto, com $\vec a_n$ para baixo, $N+P=m\,a_n$.
Num parque de diversões, um carrinho de montanha-russa descreve uma circunferência vertical de raio $10\ \text{m}$. No ponto mais baixo, a sua rapidez é $20\ \text{m/s}$…
Num parque de diversões, um carrinho de montanha-russa descreve uma circunferência vertical de raio $10\ \text{m}$. No ponto mais baixo, a sua rapidez é $20\ \text{m/s}$ e, no ponto mais alto, é $12\ \text{m/s}$, como se mostra na figura.
- a) Calcula o valor da aceleração normal do carrinho no ponto mais baixo da vertical.
- b) Exprime o resultado da alínea anterior como múltiplo de $g$ ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$) e relaciona-o com a sensação dos passageiros nesse ponto do percurso.
- c) Calcula o valor da aceleração normal no ponto mais alto da vertical e indica a sua direção e o seu sentido.
- d) Compara os valores obtidos nas alíneas a) e c) e justifica a diferença com base na expressão $a_n = \frac{v^2}{r}$.
De volta ao início
Na rotunda, o carro a travar tem duas acelerações em simultâneo: $a_t$ (para trás, porque o carro desacelera) e $a_n$ (para o centro, porque a trajetória curva). O corpo dos passageiros sente as duas: são atirados para a frente pela travagem e para fora da curva pela inércia.
Em resumo
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Num movimento curvilíneo, $\vec a=\vec a_t+\vec a_n$, com as componentes perpendiculares.
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$a_n=v^2/r$ aponta para o centro; $a_t$ só existe se a rapidez variar.
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$a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}$ e $\operatorname{tg}\alpha=a_n/|a_t|$ (ângulo com a tangente).
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Segunda Lei: $F_{R,n}=m\,v^2/r$ e $F_{R,t}=m\,a_t$, com forças reais.
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No círculo vertical, $N=m(g+a_n)$ em baixo e $N+P=m\,a_n$ em cima; $a_n$ aponta sempre para o centro.