Medição laboratorial da viscosidade
No laboratório, a professora entrega ao grupo um tubo alto com óleo de rícino, esferas de aço de vários tamanhos e um cronómetro. Pede-vos o valor de $\eta$ do óleo. Não há nenhum aparelho que meça a viscosidade diretamente: como se chega lá apenas com uma régua, um cronómetro e uma esfera a cair?
A ideia da experiência
Já sabes que uma esfera que cai num líquido acelera até a velocidade terminal. Nessa altura a força resultante é nula: o peso é equilibrado pela impulsão e pela força de resistência viscosa (Lei de Stokes).
$$P = I + F_v \quad\Rightarrow\quad v_t = \frac{2\,r^2\,(\rho_{esf}-\rho_{fl})\,g}{9\,\eta}$$Repara no que isto significa: se medires $v_t$, e conheceres $r$, $\rho_{esf}$, $\rho_{fl}$ e $g$, só falta uma incógnita, $\eta$. Basta resolver em ordem a ela:
$$\eta = \frac{2\,r^2\,(\rho_{esf}-\rho_{fl})\,g}{9\,v_t}$$A grandeza que se mede é a velocidade terminal, e esta mede-se com a definição de rapidez média, numa zona do tubo onde o movimento já é uniforme:
$$v_t = \frac{d}{\Delta t}$$onde $d$ é a distância entre duas marcas no tubo e $\Delta t$ o tempo que a esfera demora a percorrê-la.
As marcas ficam longe da superfície: a esfera precisa de um certo percurso para atingir $v_t$. Se cronometrasses logo desde o início, estarias a medir uma rapidez média menor do que a terminal.
Um valor ou uma reta?
Com uma só esfera obténs um só valor de $\eta$, sujeito a qualquer erro de medição. É mais fiável usar esferas de raios diferentes e tratar todos os resultados em conjunto.
A expressão de $v_t$ mostra que $v_t$ não é proporcional a $r$, mas a $r^2$:
$$v_t = \underbrace{\frac{2\,(\rho_{esf}-\rho_{fl})\,g}{9\,\eta}}_{\text{declive } m}\; r^2$$Escreve-se $v_t = m\,r^2$. Isto é uma função linear de $r^2$. Representando $v_t$ (ordenadas) em função de $r^2$ (abcissas), a teoria prevê uma reta que passa na origem. Dizemos que se linearizou a relação. É muito mais fácil avaliar se pontos estão alinhados do que se seguem uma parábola.
O declive $m$ da reta (obtido por regressão linear na calculadora, nunca unindo pontos «a olho») dá-nos a viscosidade:
$$\eta = \frac{2\,(\rho_{esf}-\rho_{fl})\,g}{9\,m}$$Na atividade laboratorial de medição da viscosidade de um óleo, um grupo do 12.º ano mediu a velocidade terminal, $v_t$, de esferas de aço de raios diferentes a cair num…
Na atividade laboratorial de medição da viscosidade de um óleo, um grupo do 12.º ano mediu a velocidade terminal, $v_t$, de esferas de aço de raios diferentes a cair num tubo com óleo de rícino, e obteve os resultados da tabela.
| Raio $r$ (mm) | 0,40 | 0,60 | 0,80 | 1,00 | 1,20 |
|---|---|---|---|---|---|
| $v_t$ (cm/s) | 0,24 | 0,54 | 0,95 | 1,5 | 2,1 |
Com estes dados, o grupo construiu o gráfico de $v_t$ em função de $r^2$ da figura.
- a) Explica por que razão o grupo representou $v_t$ em função de $r^2$ e não de $r$, sabendo que a teoria prevê $v_t = \dfrac{2\cdot r^{2}\cdot(\rho_{\text{esf}} - \rho_{\text{fl}})\cdot g}{9\cdot\eta}$.
- b) Determina o declive da reta de ajuste do gráfico, indicando as respetivas unidades.
- c) Sendo a massa volúmica do aço $7,8\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$, a do óleo de rícino $0,96\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$ e $g = 9,8\ \text{m/s}^2$, determina o coeficiente de viscosidade do óleo de rícino. Começa por converter o declive para unidades do SI.
- d) Um colega propõe repetir a atividade com água ($\eta \approx 1,0\cdot10^{-3}\ \text{Pa}\cdot\text{s}$), usando as mesmas esferas e o mesmo tubo. Explica por que razão a proposta não é viável.
Fontes de erro e como as reduzir
Uma boa atividade laboratorial não termina no valor de $\eta$: avalia-se também a sua qualidade.
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Tempo de reação ao cronometrar. Reduz-se com $d$ maior (o erro relativo diminui), repetindo cada medição várias vezes e usando a média, ou usando sensores ou vídeo.
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Medição do raio. Como $v_t\propto r^2$, um erro pequeno em $r$ tem muito peso. Mede o diâmetro com um paquímetro ou um micrómetro, em várias direções.
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Velocidade ainda não constante. Escolhe marcas afastadas da superfície e verifica que o tempo entre marcas consecutivas é igual.
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Efeitos de parede. Se o tubo for estreito, as paredes aumentam a resistência. O tubo deve ter diâmetro muito maior que o da esfera.
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Temperatura. A viscosidade de um líquido diminui quando aquece; regista a temperatura e mantém-na constante. Uma ligeira variação altera bastante $\eta$.
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Estabilidade do líquido. Sem bolhas de ar e sem correntes internas. Larga a esfera ao longo do eixo do tubo.
Para avaliar o resultado, compara o $\eta$ obtido com o valor tabelado à mesma temperatura, através do erro relativo:
$$\text{erro relativo}=\frac{|\eta_{exp}-\eta_{tab}|}{\eta_{tab}}\times 100\ \%$$Comparar resultados e incertezas
Cada grupo da turma obtém o seu valor de $\eta$. Comparar os resultados permite avaliar a qualidade da experiência.
A melhor estimativa é a média dos valores de todos os grupos: $\bar\eta=\dfrac{\eta_1+\eta_2+\dots+\eta_n}{n}$. A incerteza pode estimar-se pelo desvio máximo em relação à média, $\max|\eta_i-\bar\eta|$, e o resultado escreve-se $\eta=\bar\eta\pm\text{incerteza}$.
Se o valor tabelado cair dentro do intervalo $[\bar\eta-\text{inc.}\ ,\ \bar\eta+\text{inc.}]$, os resultados são compatíveis com ele. Se um grupo se afasta muito dos outros, procura a causa: raio mal medido, marcas demasiado perto da superfície ou temperatura diferente.
Planear e resolver um problema completo
Num problema de laboratório, segue sempre estes passos: (1) escrever a condição $P=I+F_v$; (2) obter a expressão de $v_t$; (3) calcular o que se pede (rapidez, tempo entre marcas, $\eta$); (4) comentar a coerência do resultado.
Para medir a viscosidade da glicerina ($\eta = 1,5\ \text{Pa}\cdot\text{s}$ a $20\ \text{°C}$; massa volúmica $1,26\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$), um grupo larga esferas…
Para medir a viscosidade da glicerina ($\eta = 1,5\ \text{Pa}\cdot\text{s}$ a $20\ \text{°C}$; massa volúmica $1,26\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$), um grupo larga esferas de aço de raio $1,0\ \text{mm}$ (massa volúmica $7,8\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$) num tubo alto com glicerina e mede, com um cronómetro, o tempo que cada esfera demora a percorrer a distância entre duas marcas feitas no tubo. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) A partir da condição de equilíbrio entre o peso, a impulsão e a força de resistência viscosa dada pela lei de Stokes, mostra que a velocidade terminal de uma esfera é $v_t = \dfrac{2\cdot r^{2}\cdot(\rho_{\text{esf}} - \rho_{\text{gli}})\cdot g}{9\cdot\eta}$.
- b) Calcula a velocidade terminal de uma esfera nestas condições.
- c) As marcas do tubo distam $5,0\ \text{cm}$ entre si. Estima o tempo de queda entre marcas consecutivas e explica por que razão a glicerina é um fluido adequado para esta medição com cronómetro manual.
- d) Se se usassem esferas do mesmo aço mas com o dobro do raio, o tempo entre marcas seria cerca de $1,3\ \text{s}$. Explica por que razão esse tempo é uma desvantagem para a medição manual e conclui que tamanho de esfera é mais conveniente para a atividade.
Em resumo
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Mede-se $v_t=d/\Delta t$ entre duas marcas, numa zona onde o movimento já é uniforme.
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$v_t=\dfrac{2r^2(\rho_{esf}-\rho_{fl})g}{9\eta}$: $v_t$ é proporcional a $r^2$.
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Representando $v_t$ em função de $r^2$ obtém-se uma reta pela origem, com declive $m=\dfrac{2(\rho_{esf}-\rho_{fl})g}{9\eta}$, logo $\eta=\dfrac{2(\rho_{esf}-\rho_{fl})g}{9m}$.
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Fontes de erro: tempo de reação, medição do raio, velocidade ainda não constante, efeitos de parede e temperatura.
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Compara sempre o resultado com o valor tabelado através do erro relativo.
Voltando ao início: com uma esfera, um cronómetro e uma régua, medes $v_t$ e, com o declive da reta $v_t(r^2)$, obténs a viscosidade do óleo.