Movimentos compostos
Um pontapé de futebol em arco, um pacote largado por um avião em voo, um barco do Douro a atravessar o rio enquanto a corrente o arrasta: em todos há dois movimentos a acontecer ao mesmo tempo. Galileu percebeu que se podem estudar em separado, como se o outro não existisse, e depois combinar com a soma vetorial. É assim que se resolvem os problemas de movimento a duas dimensões.
O princípio da independência dos movimentos
Uma pedra largada do topo do mastro de um barco em movimento cai ao pé do mastro e não vários metros atrás. Como é possível que o avanço horizontal do barco não altere a queda vertical?
Num referencial $xOy$ isto traduz-se assim: a posição $\vec r = x\,\vec e_x + y\,\vec e_y$, a velocidade $\vec v = v_x\,\vec e_x + v_y\,\vec e_y$ e a aceleração $\vec a = a_x\,\vec e_x + a_y\,\vec e_y$ têm componentes que evoluem de forma independente. Há uma equação do movimento para $x(t)$ e outra para $y(t)$: são as equações paramétricas, com o tempo $t$ como parâmetro.
Um barco atravessa um rio de $40\ \text{m}$ de largura com uma velocidade própria de $2\ \text{m/s}$, dirigida perpendicularmente à corrente. Observa o esquema da…
Um barco atravessa um rio de $40\ \text{m}$ de largura com uma velocidade própria de $2\ \text{m/s}$, dirigida perpendicularmente à corrente. Observa o esquema da travessia:
- a) Enuncia o princípio da independência dos movimentos de Galileu.
- b) Aplica-o para calcular o tempo que o barco demora a atravessar o rio, justificando por que razão a corrente não altera esse tempo.
Um drone voa para norte a $4\ \text{m/s}$ enquanto o vento o empurra para este a $3\ \text{m/s}$. a) Calcula o módulo da velocidade resultante do drone em relação ao…
Um drone voa para norte a $4\ \text{m/s}$ enquanto o vento o empurra para este a $3\ \text{m/s}$.
- a) Calcula o módulo da velocidade resultante do drone em relação ao solo.
- b) Tendo em conta a independência dos movimentos, calcula quanto tempo demora a avançar $100\ \text{m}$ para norte.
Um comboio atravessa uma ponte de $19,6\ \text{m}$ de altura quando um objeto se solta de uma carruagem. Considera $g = 9,8\ \text{m/s}^2$. a) Calcula o tempo que o…
Um comboio atravessa uma ponte de $19,6\ \text{m}$ de altura quando um objeto se solta de uma carruagem. Considera $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula o tempo que o objeto demora a chegar ao solo.
- b) Justifica se esse tempo depende da velocidade horizontal que o comboio tinha.
O lançamento horizontal
Se lançares uma moeda horizontalmente do bordo de uma mesa e, ao mesmo tempo, deixares cair outra na vertical, ouves um só estalido no chão. Porque demoram o mesmo tempo dois corpos com velocidades horizontais tão diferentes?
As equações dão o resto: o tempo de queda obtém-se de $y=0$, ou seja, $t=\sqrt{2h/g}$, e o alcance é $x=v_0\,t$. A velocidade ao chegar ao solo tem componentes $v_x=v_0$ e $v_y=-g\,t$, e módulo $\sqrt{v_x^2+v_y^2}$.
Um avião de ajuda humanitária voa horizontalmente a $100\ \text{m/s}$ e a $500\ \text{m}$ de altitude quando larga um pacote. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.…
Um avião de ajuda humanitária voa horizontalmente a $100\ \text{m/s}$ e a $500\ \text{m}$ de altitude quando larga um pacote. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa o esquema:
- a) Calcula o tempo que o pacote demora a cair.
- b) Calcula a distância horizontal que o pacote percorre antes de atingir o solo.
Um helicóptero voa horizontalmente a $30\ \text{m/s}$ e a $20\ \text{m}$ de altitude quando larga um pacote. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. a) Calcula o tempo…
Um helicóptero voa horizontalmente a $30\ \text{m/s}$ e a $20\ \text{m}$ de altitude quando larga um pacote. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula o tempo de queda do pacote.
- b) Calcula o alcance horizontal do pacote.
- c) Calcula as componentes da velocidade ao atingir o solo e o seu módulo.
Do cimo de uma escarpa de $45\ \text{m}$ sobre o mar deixa-se cair uma pedra e, no mesmo instante, lança-se outra idêntica horizontalmente com $10\ \text{m/s}$.…
Do cimo de uma escarpa de $45\ \text{m}$ sobre o mar deixa-se cair uma pedra e, no mesmo instante, lança-se outra idêntica horizontalmente com $10\ \text{m/s}$. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa o esquema da escarpa:
- a) Calcula o tempo que a primeira pedra demora a cair.
- b) Justifica, com base no princípio da independência dos movimentos, qual das duas atinge a água primeiro.
- c) Calcula o alcance horizontal da segunda pedra.
- d) Calcula o módulo da velocidade com que cada pedra atinge a água e compara os resultados.
Numa aula laboratorial, uma esfera rola sobre uma mesa de $1,25\ \text{m}$ de altura e sai horizontalmente pelo bordo. No chão coloca-se um copo cujo centro se encontra…
Numa aula laboratorial, uma esfera rola sobre uma mesa de $1,25\ \text{m}$ de altura e sai horizontalmente pelo bordo. No chão coloca-se um copo cujo centro se encontra a $1,5\ \text{m}$ da vertical do bordo da mesa. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa o esquema:
- a) Calcula o tempo que a bola demora a cair desde o bordo até ao solo.
- b) Calcula a velocidade horizontal com que deve sair da mesa para cair no copo.
- c) Com essa velocidade, calcula as componentes e o módulo da velocidade da bola ao chegar ao solo.
Influência do meio envolvente
As equações paramétricas supõem que o peso é a única força. No ar real há ainda a força de resistência do ar, que se opõe ao movimento e cresce com a rapidez e com a área frontal do corpo. Por isso o alcance medido é sempre menor do que o previsto, e a trajetória deixa de ser uma parábola perfeita.
O ar tem massa volúmica $\rho$ que depende da temperatura $T$ e da pressão $p$: o ar mais frio e a pressão mais alta aumentam $\rho$ e, com ela, a resistência. Para registar o estado do ar, consulta a temperatura e a pressão atuais da tua localidade no site do IPMA.
Atividade laboratorial: alcance e velocidade inicial
Vais planear uma experiência para saber como o alcance $A$ de um projétil lançado horizontalmente depende da velocidade inicial $v_0$.
Das equações paramétricas, com $h$ fixo: $A=v_0\sqrt{2h/g}$. Hipótese: $A$ é diretamente proporcional a $v_0$.
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Variável independente: $v_0$ (por exemplo, largando uma esfera de alturas diferentes numa rampa; mede-se $v_0$ com duas células fotoelétricas ou pela distância percorrida num intervalo de tempo conhecido).
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Variável dependente: o alcance $A$, medido com uma fita métrica no chão.
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Variáveis controladas: altura da mesa $h$, massa e tamanho da esfera, superfície.
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Tratamento: repete cada lançamento, calcula o valor médio de $A$ e representa $A$ em função de $v_0$. Deve obter-se uma reta que passa na origem, com declive $\sqrt{2h/g}$.
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Fontes de erro: resistência do ar, atrito na rampa (a esfera também roda), incerteza na medição do ponto de impacto e na velocidade. Melhora-se repetindo ensaios e usando papel químico para marcar o impacto.
O lançamento oblíquo
O jato de uma mangueira de jardim inclinada desenha no ar um arco simétrico cuja altura e alcance mudam com o ângulo. Que combinação de movimentos origina esta trajetória?
Eliminando $t$ obtém-se a equação da trajetória: $y=y_0+x\operatorname{tg}\theta-\dfrac{g\,x^2}{2\,v_0^2\cos^2\theta}$.
Em vez de decorares fórmulas, usa as equações paramétricas. No ponto mais alto, $v_y=0$:
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tempo de subida: $v_0\operatorname{sen}\theta-g\,t_s=0\Rightarrow t_s=\dfrac{v_0\operatorname{sen}\theta}{g}$;
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altura máxima: substitui $t_s$ em $y(t)$, o que dá $h_{max}=\dfrac{(v_0\operatorname{sen}\theta)^2}{2g}$;
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se parte e chega à mesma altura, $t_{voo}=2t_s$ e o alcance é $A=v_{0x}\,t_{voo}=\dfrac{v_0^2\operatorname{sen}(2\theta)}{g}$, porque $2\operatorname{sen}\theta\cos\theta=\operatorname{sen}(2\theta)$.
Consequências: para o mesmo $v_0$, o alcance é máximo a $45^\circ$, e ângulos complementares ($\theta$ e $90^\circ-\theta$) dão o mesmo alcance, mas com alturas máximas e tempos de voo diferentes (o ângulo maior sobe mais e demora mais). Despreza-se sempre a resistência do ar.
Uma bola de futebol é pontapeada com velocidade inicial $v_0 = 50\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $37^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e…
Uma bola de futebol é pontapeada com velocidade inicial $v_0 = 50\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $37^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$. A figura mostra a decomposição da velocidade inicial.
- a) Calcula a componente horizontal da velocidade inicial.
- b) Calcula a componente vertical da velocidade inicial.
A componente vertical da velocidade inicial de um projétil é $20\ \text{m/s}$. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. a) Calcula o tempo que demora a atingir o ponto…
A componente vertical da velocidade inicial de um projétil é $20\ \text{m/s}$. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula o tempo que demora a atingir o ponto mais alto da sua trajetória.
- b) Se parte do solo e regressa ao solo, quanto tempo dura o seu voo completo? Justifica.
Uma bola de golfe sai do tee com $v_0 = 50\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $37^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e…
Uma bola de golfe sai do tee com $v_0 = 50\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $37^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. A trajetória da pancada é apresentada na figura.
- a) Calcula as componentes da velocidade inicial.
- b) Calcula o tempo de voo.
- c) Calcula o alcance sobre terreno horizontal.
- d) Calcula a altura máxima.
Um jogador de voleibol efetua um serviço com $v_0 = 25\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $53^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 53^\circ \approx 0,8$,…
Um jogador de voleibol efetua um serviço com $v_0 = 25\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $53^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula as componentes da velocidade inicial.
- b) Justifica quanto vale a componente vertical da velocidade no ponto mais alto e calcula aí o módulo da velocidade.
- c) Calcula a altura máxima e o tempo que demora a atingi-la.
Numa reconstituição histórica, um canhão dispara projéteis com $v_0 = 40\ \text{m/s}$. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$,…
Numa reconstituição histórica, um canhão dispara projéteis com $v_0 = 40\ \text{m/s}$. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e lembra-te de que $\sen(2\theta) = 2 \cdot \sen\theta \cdot \cos\theta$.
- a) Calcula o alcance para um ângulo de disparo de $37^\circ$.
- b) Calcula o alcance para o ângulo complementar, $53^\circ$, e compara os dois resultados.
- c) Calcula a altura máxima e o tempo de voo em cada um dos dois casos.
- d) Explica que propriedade têm os pares de ângulos complementares no lançamento oblíquo e o que se ganha e o que se perde ao escolher o ângulo maior.
Uma arqueira dispara uma flecha com $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e…
Uma arqueira dispara uma flecha com $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcula as componentes da velocidade inicial.
- b) Escreve as equações $x(t)$ e $y(t)$, elimina o tempo e obtém a equação da trajetória $y(x)$.
- c) Há um painel publicitário de $5\ \text{m}$ de altura a $20\ \text{m}$ do ponto de tiro: calcula a que altura passa a flecha sobre ele e decide se o ultrapassa.
- d) Calcula o alcance da flecha sobre terreno horizontal.
Composição de movimentos retilíneos: barcos e correntes
Um barco rabelo atravessa o Douro. Que rumo deve tomar para chegar depressa? E para chegar mesmo em frente?
Se o barco tem velocidade própria $\vec v_b$ (em relação à água) e a corrente tem velocidade $\vec v_c$ (em relação às margens), a velocidade do barco em relação às margens é $\vec v=\vec v_b+\vec v_c$. O tempo de travessia depende só da componente de $\vec v_b$ perpendicular às margens: a corrente é paralela às margens e não tem componente nessa direção. Só provoca a deriva, o deslocamento ao longo da margem.
Com $v_b=4\ \text{m/s}$ a $90^\circ$ (perpendicular às margens) e $v_c=1{,}5\ \text{m/s}$ a $0^\circ$ (paralela), a resultante é a velocidade real do barco: avança na diagonal.
Para chegar ao ponto em frente (deriva nula), a componente de $\vec v_b$ paralela às margens tem de anular a corrente: $v_b\operatorname{sen}\theta=v_c$, com $\theta$ medido em relação à perpendicular, para montante. Por exemplo, com $v_b=5\ \text{m/s}$ e $v_c=3\ \text{m/s}$, $\operatorname{sen}\theta=\tfrac35$ e a componente perpendicular é $5\cos\theta=4\ \text{m/s}$.
Um barco com velocidade própria de $4\ \text{m/s}$ atravessa um rio de $80\ \text{m}$ de largura, orientando a proa perpendicularmente à corrente, que corre a…
Um barco com velocidade própria de $4\ \text{m/s}$ atravessa um rio de $80\ \text{m}$ de largura, orientando a proa perpendicularmente à corrente, que corre a $1,5\ \text{m/s}$. Observa o esquema da travessia:
- a) Calcula o tempo de travessia.
- b) Calcula a deriva: a distância que a corrente o deslocou rio abaixo ao atingir a outra margem.
- c) Calcula o módulo do deslocamento total entre o ponto de partida e o de chegada.
O piloto de um barco pretende atravessar um rio de $120\ \text{m}$ de largura, atingindo exatamente o ponto em frente. O barco atinge $5\ \text{m/s}$ em águas calmas e a…
O piloto de um barco pretende atravessar um rio de $120\ \text{m}$ de largura, atingindo exatamente o ponto em frente. O barco atinge $5\ \text{m/s}$ em águas calmas e a corrente desce a $3\ \text{m/s}$. O diagrama de velocidades é apresentado na figura.
- a) Calcula o ângulo para montante com que deve orientar a proa, sabendo que satisfaz $\sen\theta = \frac{3}{5}$.
- b) Calcula o módulo da velocidade resultante do barco em relação às margens.
- c) Calcula o tempo que demora a atravessar.
Um barco capaz de navegar a $5\ \text{m/s}$ em águas calmas deve atravessar um rio de $100\ \text{m}$ de largura com uma corrente de $3\ \text{m/s}$. a) Se orientar a…
Um barco capaz de navegar a $5\ \text{m/s}$ em águas calmas deve atravessar um rio de $100\ \text{m}$ de largura com uma corrente de $3\ \text{m/s}$.
- a) Se orientar a proa perpendicularmente à margem, calcula o tempo de travessia, a deriva e o módulo do deslocamento total.
- b) Se pretender chegar exatamente ao ponto em frente, calcula o ângulo para montante que deve tomar (satisfaz $\sen\theta = \frac{3}{5}$), a velocidade resultante e o tempo de travessia.
- c) Compara ambas as estratégias e justifica qual minimiza o tempo de travessia e qual minimiza o comprimento da trajetória em relação à margem, apoiando-te nos resultados obtidos.
Voltando ao início: o arco do pontapé, o pacote e o barco têm em comum o facto de $x(t)$ e $y(t)$ serem independentes, e a trajetória resultar da sua combinação.