Balanço de forças na queda de uma esfera
Largas uma esfera de aço num tubo alto com glicerina e, noutro, com água. Na água desaparece num instante; na glicerina desce devagar, quase a custo. Porquê? E porque é que, a certa altura, a esfera deixa de ganhar velocidade e passa a descer sempre ao mesmo ritmo? É isso que vamos explicar com um balanço de forças.
As três forças sobre a esfera
Uma esfera que cai num líquido está sujeita a três forças, todas na vertical:
-
o peso $\vec P$, para baixo, de módulo $P = m g = \rho_{esf}\,V\,g$;
-
a impulsão $\vec I$, para cima, que é a força exercida pelo líquido (Lei de Arquimedes): $I = \rho_{fl}\,V\,g$, onde $V$ é o volume da esfera, totalmente imersa;
-
a força de resistência viscosa $\vec F_v$, para cima, que se opõe ao movimento. Para uma esfera pequena, a baixa velocidade, é dada pela lei de Stokes: $F_v = 6\pi\eta r v$.
O peso e a impulsão não dependem da velocidade. A força viscosa depende: quanto maior a rapidez $v$, maior $F_v$. É este pormenor que explica tudo o resto.
Repara que a impulsão e a força viscosa têm o mesmo sentido (para cima), mas origens diferentes: a primeira existe mesmo com a esfera parada; a segunda só existe quando há movimento.
A mesma esfera de aço é largada, em três experiências, em tubos altos contendo líquidos diferentes, todos à temperatura de $20\ \text{°C}$: | Líquido | Água | Azeite |…
A mesma esfera de aço é largada, em três experiências, em tubos altos contendo líquidos diferentes, todos à temperatura de $20\ \text{°C}$:
| Líquido | Água | Azeite | Glicerina |
|---|---|---|---|
| $\eta$ ($\text{Pa}\cdot\text{s}$), valor aproximado | $1,0\cdot10^{-3}$ | $1,0\cdot10^{-1}$ | $1,5$ |
- a) Ordena, da maior para a menor, as velocidades terminais que a esfera atinge nos três líquidos. Justifica com base na lei de Stokes.
- b) Um colega afirma: «A esfera cai mais devagar na glicerina porque a glicerina tem maior massa volúmica.» Comenta a afirmação, tendo em conta que as massas volúmicas dos três líquidos são todas próximas de $1,0\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$, muito menores do que a do aço.
- c) Indica a condição que se verifica entre o peso da esfera, a impulsão e a força de resistência viscosa quando a velocidade terminal é atingida.
Da aceleração à velocidade terminal
Vê o que acontece ao longo da queda, aplicando a 2.ª Lei de Newton na vertical (sentido positivo para baixo):
$$P - I - F_v = m a$$-
No início, $v$ é pequena, logo $F_v$ é pequena e $P - I - F_v > 0$: a esfera acelera.
-
À medida que $v$ aumenta, $F_v$ aumenta e a resultante diminui: a aceleração diminui, embora a velocidade continue a crescer.
-
Quando $F_v$ atinge o valor $P - I$, a resultante é nula: $a = 0$. A esfera segue com velocidade constante, a velocidade terminal $v_t$.
Repara que a velocidade terminal não depende de onde largas a esfera: depende apenas do balanço de forças. Se o tubo for suficientemente alto, qualquer esfera acaba por atingi-la.
Calcular a velocidade terminal
Substituindo as expressões de cada força em $P = I + F_v$, com $V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$:
$$\rho_{esf}\,\tfrac{4}{3}\pi r^3 g = \rho_{fl}\,\tfrac{4}{3}\pi r^3 g + 6\pi\eta r v_t$$Isolando $v_t$:
$$v_t = \frac{2\,r^2\,(\rho_{esf} - \rho_{fl})\,g}{9\,\eta}$$Esta expressão diz o que controla a queda:
-
$v_t \propto r^2$: esferas maiores caem mais depressa;
-
$v_t \propto (\rho_{esf} - \rho_{fl})$: conta a diferença de massas volúmicas, não a do líquido sozinha;
-
$v_t \propto 1/\eta$: quanto mais viscoso o líquido, mais lenta a queda;
-
se $\rho_{esf} < \rho_{fl}$, a expressão dá valor negativo: a esfera sobe (é a impulsão que domina).
Um berlinde de aço de raio $1,0\ \text{mm}$ (massa volúmica $7,8\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$) cai, com velocidade constante, no interior de um tubo com azeite (massa…
Um berlinde de aço de raio $1,0\ \text{mm}$ (massa volúmica $7,8\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$) cai, com velocidade constante, no interior de um tubo com azeite (massa volúmica $0,92\cdot10^{3}\ \text{kg/m}^3$), como se mostra na figura. Usa $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Escreve a condição que relaciona os módulos do peso $\vec{P}$, da impulsão $\vec{I}$ e da força de resistência viscosa $\vec{F}$ quando a esfera cai com velocidade constante.
- b) Calcula o módulo do peso da esfera e o módulo da impulsão exercida pelo azeite.
- c) Determina o módulo da força de resistência viscosa que atua na esfera.
- d) Por análise de um vídeo da queda, o grupo mediu uma velocidade terminal de $15\ \text{cm/s}$. Determina o coeficiente de viscosidade do azeite.
Comparar líquidos
Quando se compara a mesma esfera em líquidos diferentes, $r$, $\rho_{esf}$ e $g$ são iguais, e a expressão reduz-se a
$$v_t \propto \frac{\rho_{esf}-\rho_{fl}}{\eta}$$Na prática, as massas volúmicas dos líquidos comuns diferem pouco entre si (todas na ordem de $10^3\ \text{kg/m}^3$), enquanto as viscosidades diferem por ordens de grandeza: a glicerina é cerca de $1\,500$ vezes mais viscosa do que a água. Por isso, é $\eta$ que domina a comparação.
| Líquido (20 °C) | $\eta$ ($\text{Pa}\cdot\text{s}$), aprox. |
|---|---|
| Água | $1{,}0\cdot10^{-3}$ |
| Azeite | $1{,}0\cdot10^{-1}$ |
| Glicerina | $1{,}5$ |
Quanto maior $\eta$, menor $v_t$: a esfera cai mais depressa na água, depois no azeite e, por fim, mais devagar na glicerina.
De volta ao início: a esfera deixa de acelerar quando a força viscosa, que cresce com a velocidade, completa o equilíbrio com o peso, descontada a impulsão; e cai mais devagar na glicerina porque $\eta$ é muito maior.