Cálculo da aceleração normal
Numa rotunda, o telemóvel escorrega no tablier mesmo quando o condutor mantém a rapidez constante. Se a rapidez não muda, o que está a «puxar» o carro para dentro da curva? E quanto vale essa aceleração? É isso que vais aprender a calcular.
A expressão de $a_n$
Num movimento curvo, a velocidade muda de direção, mesmo que a rapidez seja constante. Essa mudança de direção é medida pela aceleração normal, $\vec a_n$.
Para uma trajetória que, em cada instante, se aproxima de um arco de circunferência de raio $r$, o valor da aceleração normal é:
Porquê $v^2$ no numerador e $r$ no denominador? Quanto maior a rapidez, mais depressa a direção da velocidade muda, e por isso $a_n$ cresce (e cresce com o quadrado). Quanto mais apertada a curva (raio pequeno), mais bruscamente a direção muda, e por isso $a_n$ é maior.
Repara: $\vec a_n$ é perpendicular à velocidade (por isso se chama «normal») e aponta sempre para o centro da curva.
Direção e sentido; efeito da rapidez e do raio
A direção de $\vec a_n$ é a da reta que une o ponto da trajetória ao centro da circunferência (perpendicular à velocidade). O sentido é o do centro.
Como $a_n = v^2/r$, podes prever o que acontece ao alterar uma grandeza:
| Se… | então $a_n$… |
|---|---|
| $v$ duplica | multiplica-se por $2^2 = 4$ |
| $v$ passa para metade | fica dividida por $2^2 = 4$ |
| $r$ duplica | fica dividida por 2 |
| $r$ passa para metade | duplica |
Um automóvel descreve, com rapidez constante de $15\ \text{m/s}$, uma curva que pode ser considerada um arco de circunferência de raio $50\ \text{m}$, como se mostra na…
Um automóvel descreve, com rapidez constante de $15\ \text{m/s}$, uma curva que pode ser considerada um arco de circunferência de raio $50\ \text{m}$, como se mostra na figura.
- a) Calcula o valor da aceleração normal do automóvel, $a_n = \frac{v^2}{r}$.
- b) Indica a direção e o sentido da aceleração normal.
- c) Se o automóvel descrever a mesma curva com o dobro da rapidez, o que acontece ao valor da aceleração normal? Justifica com base na expressão.
Conversão de unidades e comparação com $g$
A expressão $a_n = v^2/r$ dá $\text{m/s}^2$ apenas se $v$ estiver em $\text{m/s}$ e $r$ em $\text{m}$. Nos problemas, a rapidez aparece muitas vezes em $\text{km/h}$ (o velocímetro do carro). Converte sempre antes de calcular:
$$1\ \text{km/h} = \frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}} = \frac{1}{3{,}6}\ \text{m/s}$$Ou seja: divide por 3,6 para passar de $\text{km/h}$ para $\text{m/s}$.
Para ter uma ideia da grandeza de $a_n$, é útil compará-la com a aceleração gravítica, $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$, calculando o quociente $a_n/g$.
Um automóvel descreve uma rotunda de raio $20\ \text{m}$ com rapidez constante de $36\ \text{km/h}$. a) Exprime a rapidez do automóvel em metros por segundo. b) Calcula…
Um automóvel descreve uma rotunda de raio $20\ \text{m}$ com rapidez constante de $36\ \text{km/h}$.
- a) Exprime a rapidez do automóvel em metros por segundo.
- b) Calcula o valor da aceleração normal do automóvel na rotunda.
- c) Compara o valor obtido com o valor da aceleração gravítica, $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- d) Um camião descreve a mesma rotunda com metade da rapidez do automóvel. Determina o valor da sua aceleração normal e compara-o com o do automóvel.
Em resumo
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A aceleração normal mede a mudança de direção da velocidade: $a_n = \dfrac{v^2}{r}$.
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$\vec a_n$ é perpendicular à velocidade e aponta para o centro da curva.
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$a_n$ é proporcional a $v^2$ e inversamente proporcional a $r$: duplicar $v$ quadruplica $a_n$.
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Converte $\text{km/h}$ para $\text{m/s}$ dividindo por 3,6 antes de calcular.
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Compara $a_n$ com $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ para avaliar a sua grandeza.
De volta ao início: o telemóvel escorrega na rotunda porque o carro tem aceleração normal dirigida para o centro, e o telemóvel tende a manter a sua trajetória retilínea.