Movimento do centro de massa
Numa passagem de ano em Lisboa, um foguete sobe em linha reta e, de repente, explode em dezenas de faíscas que voam em todas as direções. Cada faísca segue o seu caminho, mas há um ponto do conjunto que continua a mover-se como se nada tivesse acontecido. Que ponto é esse e porque é que a explosão não o altera?
Velocidade do centro de massa
Já sabes calcular a posição do centro de massa de um sistema de partículas:
$$x_{CM}=\frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$$Se as partículas se movem, a posição do centro de massa também varia com o tempo. A velocidade do centro de massa obtém-se a partir das velocidades das partículas:
Porquê? Se cada posição $x_i$ varia com o tempo, $x_{CM}$ também varia, e a rapidez com que varia é a média das velocidades das partículas, «pesada» pelas massas. As partículas mais massivas contam mais.
Repara que $\sum m_i\vec v_i$ é a soma dos momentos lineares das partículas. Por isso:
$$\vec p_{sist}=M\,\vec v_{CM}$$O momento linear total do sistema é o de uma única partícula, com toda a massa $M$, que se movesse com a velocidade do centro de massa.
A Segunda Lei de Newton para o sistema
Num sistema de partículas há dois tipos de forças: as interiores (as que as partículas exercem entre si, em pares ação-reação) e as exteriores (exercidas por corpos de fora do sistema). As forças interiores aparecem sempre aos pares, com sentidos opostos e o mesmo módulo, por isso a sua soma é nula.
Resta só a resultante das forças exteriores:
O centro de massa move-se como se fosse uma partícula de massa $M$ sujeita apenas à resultante das forças exteriores. As forças interiores, por mais intensas que sejam, não conseguem alterar o movimento do centro de massa.
Um caso particular importante: se $\vec F_{R,ext}=\vec 0$, então $\vec a_{CM}=\vec 0$ e a velocidade do centro de massa é constante (e o momento linear do sistema conserva-se).
Explosões e o movimento do centro de massa
Voltemos ao foguete de artifício. A explosão é provocada por forças interiores (a pólvora que expande). As forças da explosão são interiores, por isso a única força exterior relevante é o peso (desprezando o ar). Antes, durante e depois da explosão, o centro de massa dos fragmentos continua a seguir a trajetória que o foguete inteiro seguiria sob a ação do peso. É isso que responde à pergunta do início: o ponto que «não se importa» com a explosão é o centro de massa.
Para resolver um problema de explosão sem forças exteriores resultantes:
Um carrinho de $6,0\ \text{kg}$ desliza sobre uma calha horizontal, praticamente sem atrito, com velocidade de $15\ \text{m/s}$. Num dado instante, um mecanismo interno…
Um carrinho de $6,0\ \text{kg}$ desliza sobre uma calha horizontal, praticamente sem atrito, com velocidade de $15\ \text{m/s}$. Num dado instante, um mecanismo interno faz explodir o carrinho em três fragmentos, que continuam a mover-se ao longo da calha, como se representa na figura. O fragmento A, de $2,0\ \text{kg}$, segue no sentido inicial do movimento a $20\ \text{m/s}$; o fragmento B, de $1,0\ \text{kg}$, segue em sentido oposto a $10\ \text{m/s}$; o fragmento C tem $3,0\ \text{kg}$.
- a) Determina o momento linear do carrinho imediatamente antes da explosão.
- b) Durante a explosão, a resultante das forças externas sobre o sistema é nula. Indica, justificando, o que acontece à velocidade do centro de massa do sistema.
- c) Determina a velocidade do fragmento C imediatamente após a explosão.
- d) Confirma a tua resposta à alínea b), calculando a velocidade do centro de massa do sistema após a explosão.
Pessoa numa canoa: o centro de massa não se desloca
Quando o Diogo caminha numa canoa parada, as forças que ele e a canoa trocam são interiores. Se a água não oferece resistência, não há forças exteriores horizontais: o centro de massa do sistema «canoa + Diogo» não se move em relação à margem.
Mas o Diogo move-se para um lado, por isso a canoa tem de se mover para o outro, de modo a manter $x_{CM}$ fixo.
O Diogo, de $60\ \text{kg}$, está em pé num extremo de uma canoa de $40\ \text{kg}$ e $4,0\ \text{m}$ de comprimento, que flutua, em repouso, nas águas tranquilas de uma…
O Diogo, de $60\ \text{kg}$, está em pé num extremo de uma canoa de $40\ \text{kg}$ e $4,0\ \text{m}$ de comprimento, que flutua, em repouso, nas águas tranquilas de uma lagoa. O Diogo caminha sobre a canoa até ao outro extremo. A resistência da água ao movimento da canoa é desprezável.
- a) Explica por que razão a posição do centro de massa do sistema canoa + Diogo não se altera em relação à margem enquanto o Diogo caminha.
- b) Determina a distância que a canoa percorre em relação à margem e indica o sentido do seu movimento.
- c) Supõe agora que a irmã do Diogo, de $20\ \text{kg}$, está sentada, desde o início, no extremo para onde ele caminha. Determina a nova distância percorrida pela canoa.
- d) Se a canoa tivesse maior massa, a distância percorrida seria maior ou menor? Justifica a tua resposta.
Em resumo
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A velocidade do centro de massa é $\vec v_{CM}=\dfrac{\sum m_i\vec v_i}{M}$, e $\vec p_{sist}=M\vec v_{CM}$.
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Para o sistema, $\vec F_{R,ext}=M\vec a_{CM}$: só as forças exteriores alteram o movimento do centro de massa.
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As forças interiores (explosões, molas, pessoas a andar) não o alteram.
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Sem forças exteriores resultantes, $\vec v_{CM}$ é constante: numa explosão mantém-se o movimento do centro de massa.
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Pessoa numa canoa em água sem resistência: $x_{CM}$ fixo; a canoa desloca-se em sentido oposto ao da pessoa.
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De volta ao início: o ponto que continua o seu caminho na explosão do foguete é o centro de massa.