Descarga do condensador

Desligas a fonte de alimentação de um circuito com um LED ligado em paralelo com um condensador e a luz não se apaga de repente: vai ficando cada vez mais fraca. O condensador está a descarregar-se através do circuito. Quanto tempo demora? E será que a luz se apaga ao fim de um tempo certo, ou apenas se aproxima do zero?

Como varia a tensão na descarga

Considera um condensador de capacidade $C$, já carregado com uma diferença de potencial inicial $U_0$. Ligamo-lo diretamente a um resistor de resistência $R$. As cargas passam de uma armadura para a outra através do resistor, e a corrente elétrica diminui à medida que a diferença de potencial diminui.

A razão é simples: a corrente é $I = U/R$. Quanto menor for $U$, menor é $I$, e por isso a carga sai cada vez mais devagar. A descarga é rápida no início e cada vez mais lenta depois.

A diferença de potencial no condensador é dada por:

A grandeza $\tau = RC$ chama-se constante de tempo. Mede-se em segundos ($1\ \Omega \times 1\ \text{F} = 1\ \text{s}$) e diz-nos se a descarga é rápida ou lenta: quanto maior for $R$ ou $C$, mais lenta é a descarga.

Porquê o produto $RC$? Com $C$ grande há mais carga para escoar; com $R$ grande a corrente é mais pequena. Nos dois casos, demora mais tempo.

Repara em dois valores importantes:

Em $t = 0$: $U = U_0$.
Para $t$ muito grande: $U \to 0$ (nunca chega exatamente a zero em teoria).

Pratica★☆☆

Um condensador, previamente carregado, é ligado diretamente a um resistor, descarregando-se através dele. O gráfico da figura mostra como varia a diferença de potencial…

Um condensador, previamente carregado, é ligado diretamente a um resistor, descarregando-se através dele. O gráfico da figura mostra como varia a diferença de potencial $U$ entre as armaduras do condensador durante a descarga.

a) Indica o valor de $U$ no instante inicial e o valor para o qual $U$ tende quando o tempo é muito grande.
b) Indica, em percentagem do valor inicial, quanto vale $U$ ao fim de um intervalo de tempo igual à constante de tempo, $t = \tau$.
c) Compara o sentido da corrente elétrica durante a descarga com o sentido da corrente durante a carga do mesmo condensador.

Resolver

O significado de τ

Calcula $U$ no instante $t = \tau$:

$$U(\tau) = U_0\, e^{-1} \approx 0{,}37\,U_0$$

Ao fim de um intervalo de tempo igual a $\tau$, a diferença de potencial desceu para cerca de 37 % do valor inicial. Ao fim de $2\tau$ fica em $e^{-2} \approx 14\ \%$, e ao fim de $5\tau$ em menos de $1\ \%$. Por isso se diz que, passados uns $5\tau$, o condensador está praticamente descarregado.

$t$	$U/U_0$
$0$	$100\ \%$
$\tau$	$37\ \%$
$2\tau$	$14\ \%$
$3\tau$	$5\ \%$
$5\tau$	$0{,}7\ \%$

Sentido da corrente

Na carga, o gerador empurra as cargas para as armaduras e a corrente tem o sentido imposto por ele. Na descarga, o condensador é que funciona como gerador: as cargas voltam pelo resistor, da armadura positiva para a negativa através do circuito exterior. A corrente tem, por isso, sentido contrário ao da carga.

Determinar τ a partir de dados: linearização

Numa atividade laboratorial obtêm-se pares $(t, U)$ com um sensor de tensão. Como se obtém $\tau$? Há dois caminhos.

Método direto. Lê-se $U_0$, calcula-se $0{,}37\,U_0$ e procura-se no gráfico ou na tabela o instante em que $U$ toma esse valor. Esse instante é $\tau$.

Método da linearização. Aplicando o logaritmo natural a $U = U_0 e^{-t/\tau}$:

$$\ln U = \ln U_0 - \frac{1}{\tau}\, t$$

Isto é uma reta: $\ln U$ em função de $t$ tem declive $-1/\tau$ e ordenada na origem $\ln U_0$. Faz-se o gráfico de $\ln U$ em função de $t$, ajusta-se uma reta a todos os pontos (regressão linear na calculadora) e obtém-se

$$\tau = -\frac{1}{\text{declive}}$$

Se os pontos ficarem alinhados, confirma-se que a descarga é exponencial. É por isso que este método é preferido: permite validar o modelo e usa todos os pontos, não apenas um.

Determinar τ e R com uma tabela

Um condensador de $220\ \mu\text{F}$ descarrega-se através de um resistor. Registaram-se: $(0\ \text{s};\ 12{,}0\ \text{V})$, $(10;\ 7{,}3)$, $(20;\ 4{,}4)$, $(30;\ 2{,}7)$, $(40;\ 1{,}6)$, $(50;\ 1{,}0)$. Estima $\tau$ e determina $R$.

Método direto. O valor inicial é $U_0 = 12{,}0\ \text{V}$. Então $0{,}37 \times 12{,}0 \approx 4{,}4\ \text{V}$.

Na tabela, $U = 4{,}4\ \text{V}$ ocorre em $t = 20\ \text{s}$. Logo $\tau \approx 20\ \text{s}$.

Confirmação por linearização. Numa regressão linear a todos os pontos obtém-se um declive praticamente igual ao calculado, de forma simplificada, só com os extremos: entre $t = 0$ e $t = 50\ \text{s}$, $\ln U$ passa de $\ln 12{,}0 = 2{,}48$ para $\ln 1{,}0 = 0$. O declive é

$$\frac{0 - 2{,}48}{50 - 0} \approx -0{,}050\ \text{s}^{-1}$$

Então $\tau = 1/0{,}050 = 20\ \text{s}$. Os dois métodos concordam.

Determina a resistência a partir de $\tau = RC$, com $C = 220\ \mu\text{F} = 220\times 10^{-6}\ \text{F}$.

$$R = \frac{\tau}{C} = \frac{20}{220\times10^{-6}} \approx 9{,}1\times10^{4}\ \Omega \approx 91\ \text{k}\Omega$$

Pratica★★☆

Numa atividade laboratorial, um grupo estudou a descarga de um condensador de capacidade $220\ \mu\text{F}$ através de um resistor. Com um sensor de tensão ligado a um…

Numa atividade laboratorial, um grupo estudou a descarga de um condensador de capacidade $220\ \mu\text{F}$ através de um resistor. Com um sensor de tensão ligado a um sistema de aquisição de dados, registaram os valores da tabela:

$t$ (s)	0	10	20	30	40	50
$U$ (V)	12,0	7,3	4,4	2,7	1,6	1,0

a) Descreve, com base na tabela, como varia a diferença de potencial entre as armaduras durante a descarga.
b) Estima, a partir dos dados, a constante de tempo do circuito, justificando o raciocínio.
c) Determina o valor da resistência elétrica do resistor utilizado na montagem.

Resolver

Vamos praticar! 2 exercícios neste tema

★☆☆ Um condensador, previamente carregado, é ligado diretamente a um resistor,…★★☆ Numa atividade laboratorial, um grupo estudou a descarga de um condensador de capacidade…

Em resumo

Na descarga, $U(t) = U_0 e^{-t/\tau}$: decresce rapidamente no início e tende para zero.
A constante de tempo é $\tau = RC$ (em segundos); a descarga é tanto mais lenta quanto maiores forem $R$ e $C$.
Em $t = \tau$, $U$ vale cerca de 37 % de $U_0$; ao fim de $5\tau$ o condensador está praticamente descarregado.
Na descarga, a corrente tem sentido contrário ao da carga.
Linearização: $\ln U = \ln U_0 - t/\tau$; o declive da reta é $-1/\tau$, e daí $R = \tau/C$.
Como $\ln U$ decresce linearmente com $t$, pode servir de escala de tempo: é a ideia do relógio logarítmico.

De volta ao início: o LED não se apaga de repente porque a corrente diminui com a tensão; a luz enfraquece exponencialmente, com a rapidez dada por $\tau = RC$.

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