Centro de massa de corpos simétricos
Já calculaste o centro de massa de sistemas de poucas partículas. Mas como se encontra o centro de massa de uma bola de futebol, de uma régua ou de uma chapa metálica, que têm biliões de átomos? Será que tens de somar todos? Felizmente, quando o corpo é simétrico, existe um atalho muito simples.
Corpos homogéneos e simétricos
Um corpo é homogéneo quando a sua massa volúmica é a mesma em todos os pontos. Se, além disso, tem uma forma com simetria, o centro de massa fica no centro geométrico.
A razão é intuitiva: se existe um plano, um eixo ou um ponto de simetria, para cada pedaço de massa de um lado há um pedaço igual do outro lado, à mesma distância. Os contributos $m_i x_i$ compensam-se em relação a esse ponto e o centro de massa tem de ficar aí.
O centro de massa de um corpo homogéneo com forma geométrica regular coincide com o centro geométrico do corpo. a) Uma barra metálica homogénea tem $2,0\ \text{m}$ de…
O centro de massa de um corpo homogéneo com forma geométrica regular coincide com o centro geométrico do corpo.
- a) Uma barra metálica homogénea tem $2,0\ \text{m}$ de comprimento. Indica a posição do seu centro de massa.
- b) Indica onde se encontra o centro de massa de cada um dos seguintes corpos homogéneos: uma bola de futebol (esfera oca), a capa retangular de um livro (placa fina) e um aro de bicicleta.
- c) Em quais dos casos da alínea anterior o centro de massa não coincide com nenhum ponto do material do corpo? Explica por que razão isso é possível.
- d) A Torre de Belém, em Lisboa, não tem uma forma geométrica regular nem é homogénea. Explica por que razão não é possível localizar o seu centro de massa apenas a partir da sua forma exterior.
Corpos com orifícios: o método da sobreposição
E se a chapa tiver um buraco? Perde a simetria, mas podes recuperá-la por um truque: a chapa furada equivale à chapa completa mais um disco de massa negativa colocado no sítio do orifício. Assim, o orifício «tira» massa.
Se a chapa completa tem massa $m_1$ e centro de massa em $x_1$, e o pedaço retirado tem massa $m_2$ e centro de massa em $x_2$, então:
$$x_{CM}=\frac{m_1x_1-m_2x_2}{m_1-m_2}$$e analogamente para $y_{CM}$. Como a chapa é homogénea, a massa é proporcional à área: podes usar áreas em vez de massas.
De uma chapa metálica quadrada e homogénea, de $10\ \text{cm}$ de lado, recortou-se um orifício circular de $1,5\ \text{cm}$ de raio, centrado no ponto de coordenadas…
De uma chapa metálica quadrada e homogénea, de $10\ \text{cm}$ de lado, recortou-se um orifício circular de $1,5\ \text{cm}$ de raio, centrado no ponto de coordenadas $(8; 8)$, em centímetros, no referencial da figura.
- a) Indica as coordenadas do centro de massa da chapa antes de ser furada.
- b) Explica, sem efetuar cálculos, em que direção e sentido se desloca o centro de massa da chapa quando se recorta o orifício.
- c) Determina as coordenadas do centro de massa da chapa furada, usando o método da sobreposição: considera a chapa furada como a sobreposição da chapa completa com um disco de «massa negativa» na posição do orifício. Como a chapa é homogénea, as massas são proporcionais às áreas. Usa $\pi \approx 3,14$ e apresenta os resultados com uma casa decimal.
Em resumo
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Num corpo homogéneo e simétrico, o centro de massa coincide com o centro geométrico.
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O centro de massa pode estar num ponto onde não existe material (aro, esfera oca).
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Para um corpo com orifício, usa a sobreposição: chapa completa menos a peça retirada, $x_{CM}=\dfrac{m_1x_1-m_2x_2}{m_1-m_2}$.
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Em corpos homogéneos, as massas são proporcionais às áreas (chapas) ou aos volumes.
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O centro de massa da peça furada desloca-se para o lado oposto ao orifício.