Trabalho e balanços energéticos

Uma sonda afasta-se da Terra na direção radial.

1. a) Desenha no teu caderno a força gravítica sobre a sonda e o seu deslocamento, e justifica que sinal tem o trabalho realizado pelo campo gravítico durante o afastamento.
2. b) Escreve a relação entre esse trabalho e a variação de energia potencial, $W_{campo} = -\Delta E_p$, e explica o seu significado.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma carga útil de $m = 1000\ \text{kg}$ passa da superfície terrestre ($r_1 = R_T$) para uma posição a $r_2 = 2\cdot R_T$ do centro da Terra. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa o esquema:

1. a) Calcula a energia potencial do conjunto em cada posição, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.
2. b) Calcula a variação de energia potencial, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$, e justifica o teu sinal.

Um fragmento de lixo espacial desce lentamente de uma órbita de raio $r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ para outra de raio $r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Justifica, sem efetuar cálculos, que sinal tem o trabalho realizado pelo campo gravítico durante a descida.
2. b) Indica se a sua energia potencial aumenta ou diminui e fundamenta com a expressão $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.

Uma sonda de $m = 800\ \text{kg}$ é transferida muito lentamente (praticamente sem variar a sua energia cinética) desde $r_1 = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ até $r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$, medidos a partir do centro da Terra. O trabalho externo mínimo necessário coincide então com a variação de energia potencial. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a variação de energia potencial entre ambas as posições.
2. b) Indica que trabalho externo mínimo é necessário realizar e que sinal tem.

Uma sonda de $m = 500\ \text{kg}$ cai de $r_1 = 4\cdot R_T$ até $r_2 = 2\cdot R_T$, medidos a partir do centro da Terra. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula a variação da sua energia potencial, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$.
2. b) Calcula o trabalho realizado pelo campo gravítico, $W_{campo} = -\Delta E_p$, e interpreta o seu sinal.

Um satélite descreve uma órbita circular estável em torno da Terra. Observa o esquema:

1. a) Tendo em conta que a força gravítica é perpendicular à velocidade em cada ponto da órbita, quanto vale o trabalho realizado pelo campo gravítico numa volta completa?
2. b) A energia cinética, a energia potencial e a energia mecânica do satélite variam ao longo dessa órbita? Justifica.

A energia que é necessário fornecer a uma massa $m$ em repouso na superfície terrestre para a colocar numa órbita circular de raio $r$ é $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Pretende-se colocar um pequeno satélite de $m = 200\ \text{kg}$ numa órbita a $500\ \text{km}$ de altura ($r = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula essa energia e exprime-a em notação científica.
2. b) Indica em que duas «parcelas» energéticas é investida essa energia.

Para colocar um satélite numa determinada órbita é necessário aumentar a sua energia potencial em $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ e, além disso, fornecer-lhe uma energia cinética orbital de $E_c = 4\cdot10^{9}\ \text{J}$.

1. a) Calcula a energia total que o lançador deve fornecer.
2. b) Explica por que razão colocar um satélite em órbita não consiste apenas em «subi-lo» até essa altura.

Pretende-se colocar um satélite meteorológico de $m = 1500\ \text{kg}$ em órbita geoestacionária, de raio $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, partindo do repouso na superfície terrestre. A energia necessária é $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula essa energia.
2. b) Calcula que fração dessa energia corresponde a «subir» (variação de $E_p$) e qual corresponde a «orbitar» (energia cinética orbital), e comenta o resultado.

Pretende-se comparar a energia necessária para duas missões distintas com uma carga de $m = 1000\ \text{kg}$ que parte do repouso na superfície terrestre. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula a energia mínima para que a carga escape à atração terrestre, $E_{esc} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$.
2. b) Calcula a energia para a colocar numa órbita circular rasante ($r \approx R_T$), $E_{orb} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot R_T}$.
3. c) Justifica, a partir dos resultados, por que razão «escapar à Terra» custa exatamente o dobro de «colocar em órbita baixa», e que consequência prática isso tem para as missões interplanetárias.

Um lançador coloca uma carga de $m = 400\ \text{kg}$ numa órbita circular a $600\ \text{km}$ de altura ($r = 6,97\cdot10^{6}\ \text{m}$), partindo do repouso na superfície. A energia necessária é $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula a energia total.
2. b) Calcula a energia por quilograma de carga e exprime-a em notação científica.
3. c) A energia de escape a partir da superfície é $6,25\cdot10^{7}\ \text{J}$ por quilograma: calcula que fração representa a energia de colocação em órbita em relação à de escape.

Um satélite de uma constelação de internet, de $m = 300\ \text{kg}$, deve subir da sua órbita de estacionamento, a $500\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$), para a sua órbita operacional, a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). O trabalho necessário para passar de uma órbita circular para outra é $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o trabalho que os propulsores do satélite devem fornecer.
2. b) Justifica o sinal positivo do resultado: de onde provém essa energia e para onde vai?

Os propulsores de um satélite de $m = 500\ \text{kg}$ elevam-no de uma órbita circular a $500\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$) para outra a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o trabalho fornecido pelos propulsores, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcula a velocidade orbital em cada órbita, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$, e verifica que diminui.
3. c) Explica o aparente paradoxo: os motores fornecem energia ao satélite e, no entanto, este acaba por se mover mais devagar. Apoia a explicação nos balanços de $E_c$, $E_p$ e $E_m$.

Um orbitador de $m = 1000\ \text{kg}$ em torno de Marte deve passar de uma órbita circular baixa a $200\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 3,59\cdot10^{6}\ \text{m}$) para uma órbita alta de raio $r_2 = 1,7\cdot10^{7}\ \text{m}$. Dados de Marte: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula o trabalho necessário, $W = \frac{G\cdot M_M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) A massa de Marte é cerca de $0,11$ vezes a da Terra: justifica por que razão, para os mesmos raios orbitais e a mesma massa do orbitador, as mudanças de órbita são energeticamente muito mais baratas em torno de Marte do que em torno da Terra.

No final da sua vida útil, os satélites geoestacionários são elevados cerca de $300\ \text{km}$ para a chamada «órbita cemitério» para não interferirem com os operacionais. Considera um satélite de $m = 2000\ \text{kg}$ que passa da órbita geoestacionária ($r_1 = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$) para a de cemitério ($r_2 = 4,25\cdot10^{7}\ \text{m}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o trabalho necessário para esse último impulso, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcula a energia que custou na altura colocá-lo em órbita geoestacionária a partir da superfície, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r_1}\right)$, com $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Calcula a energia que custaria «fazê-lo descer» da órbita geoestacionária até uma órbita de $300\ \text{km}$ de altitude ($r_3 = 6,67\cdot10^{6}\ \text{m}$) para que reentrasse, e fundamenta, comparando os três resultados, por que razão se escolhe a órbita cemitério.

Um meteorito de $m = 2\cdot10^{3}\ \text{kg}$ cai em direção à Terra a partir de uma grande distância, partindo praticamente do repouso. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Aplica a conservação da energia para calcular a energia cinética com que chegaria à superfície se não existisse atmosfera.
2. b) Calcula a velocidade correspondente.
3. c) Um automóvel ligeiro de $1200\ \text{kg}$ a $120\ \text{km/h}$ ($33,3\ \text{m/s}$) tem uma energia cinética de cerca de $6,7\cdot10^{5}\ \text{J}$: calcula quantas vezes maior é a energia do meteorito.

Um satélite de $m = 300\ \text{kg}$ decai por atrito com a alta atmosfera desde uma órbita circular a $800\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) até outra a $500\ \text{km}$ ($r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o trabalho realizado pelo campo gravítico na descida, $W_{campo} = G\cdot M\cdot m\cdot\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)$.
2. b) Calcula a variação de energia mecânica do satélite entre ambas as órbitas circulares, $\Delta E_m = E_{m,2} - E_{m,1}$ com $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Explica por que razão os dois resultados não coincidem e o que aconteceu à diferença.

Um satélite de $m = 500\ \text{kg}$ perde altura devido ao atrito com a alta atmosfera e passa de uma órbita circular de $350\ \text{km}$ ($r_1 = 6,72\cdot10^{6}\ \text{m}$) para outra de $250\ \text{km}$ ($r_2 = 6,62\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a variação de energia cinética entre ambas as órbitas, $\Delta E_c$, com $E_c = \frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
2. b) Calcula a variação de energia potencial, $\Delta E_p$.
3. c) Calcula a variação de energia mecânica, $\Delta E_m$, e explica o que aconteceu a essa energia.
4. d) Calcula a velocidade orbital em cada órbita e explica o «paradoxo do satélite»: ao travar por atrito, o satélite acaba por se mover mais depressa.

Uma missão transporta uma carga de $m = 1000\ \text{kg}$ desde o repouso na superfície terrestre até fazê-la escapar da Terra, em duas etapas: primeiro é colocada numa órbita circular a $800\ \text{km}$ de altura ($r = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) e a partir daí é-lhe dado o impulso final de escape. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. A missão é apresentada na figura.

1. a) Calcula a energia da primeira etapa, $E_1 = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$.
2. b) Calcula a energia da segunda etapa: a que é necessário fornecer a um satélite em órbita circular para que escape, $E_2 = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Soma ambas as energias e verifica que o total coincide com a energia de escape direta a partir da superfície, $E_{esc} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$.
4. d) Justifica por que razão o total não depende da órbita intermédia escolhida, apoiando-te no facto de a energia mecânica final (no infinito, em repouso) ser a mesma em todos os casos.

Em 2013, um meteorito de cerca de $20\ \text{m}$ de diâmetro explodiu sobre Cheliabinsk (Rússia). Considera um corpo de $m = 10^{7}\ \text{kg}$ que se aproxima da Terra com velocidade, quando ainda está longe, de $v_\infty = 1,5\cdot10^{4}\ \text{m/s}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Aplica a conservação da energia mecânica para calcular a velocidade com que atinge a superfície terrestre.
2. b) Calcula a sua energia cinética nesse momento.
3. c) Um quilotone de TNT equivale a $4,18\cdot10^{12}\ \text{J}$: exprime a energia do meteorito em quilotones e comenta o resultado.
4. d) Explica por que razão a atmosfera terrestre atua como escudo protetor, mas apenas de forma parcial face a corpos deste tamanho.

Para alturas pequenas em comparação com o raio terrestre, costuma aproximar-se a variação de energia potencial por $\Delta E_p \approx m\cdot g_0\cdot h$, com $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$. Considera uma carga de $m = 1000\ \text{kg}$ elevada $h = 100\ \text{km} = 10^{5}\ \text{m}$ acima da superfície. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. A figura compara ambas as expressões:

1. a) Calcula a variação exata de energia potencial, $\Delta E_p = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h}\right)$.
2. b) Calcula o valor aproximado $m\cdot g_0\cdot h$.
3. c) Determina o erro relativo da aproximação, em percentagem.
4. d) Repete a comparação para $h = R_T$ (uma altura igual ao raio terrestre) e conclui em que intervalo de alturas a aproximação $m\cdot g_0\cdot h$ é aceitável.

Uma nave tripulada de $m = 5\cdot10^{3}\ \text{kg}$ parte de uma órbita circular baixa terrestre ($r_1 = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) em direção à Lua, cuja distância média ao centro da Terra é $r_2 = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a energia mecânica da nave na órbita baixa, $E_{m,1} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot r_1}$.
2. b) Calcula a energia mecânica mínima que teria ao atingir a distância lunar se chegasse com velocidade nula, $E_{m,2} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r_2}$.
3. c) Calcula a energia mínima que o impulso de saída de órbita deve fornecer, $\Delta E = E_{m,2} - E_{m,1}$, e compara-a com a energia necessária para escapar da Terra a partir dessa mesma órbita.
4. d) Justifica por que razão a missão real necessita de energia adicional: a nave não pode ficar nesse ponto com velocidade nula, devendo antes inserir-se em órbita lunar ou regressar.

Pretende-se comparar o custo energético de colocar em órbita baixa, a $100\ \text{km}$ de altura, uma mesma carga de $m = 500\ \text{kg}$ a partir da superfície da Terra e a partir da superfície da Lua. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; Terra: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$; Lua: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula a energia necessária a partir da Terra, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$, com $r = R_T + 10^{5}\ \text{m}$.
2. b) Calcula a energia necessária a partir da Lua, com $r = R_L + 10^{5}\ \text{m}$.
3. c) Calcula o quociente entre ambas as energias e comenta que consequência teria para a logística de uma futura base lunar o facto de descolar da Lua ser tão «barato» energeticamente.

Para viajar até à Lua é necessário ultrapassar o «ponto neutro», situado aproximadamente a $d = 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$ do centro da Terra, onde as atrações da Terra e da Lua se compensam. A distância média Terra-Lua é $r_{TL} = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Uma nave de $m = 5\cdot10^{3}\ \text{kg}$ parte do repouso na superfície terrestre. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$. Observa o esquema:

1. a) Calcula a variação de energia potencial devida à Terra ao ir da superfície terrestre até ao ponto neutro, $\Delta E_{p,T} = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{d}\right)$.
2. b) Calcula a variação de energia potencial devida à Lua no mesmo trajeto, tendo em conta que a nave passa de estar a $r_{TL}$ da Lua para estar a $r_{TL} - d$: $\Delta E_{p,L} = G\cdot M_L\cdot m\cdot\left(\frac{1}{r_{TL}} - \frac{1}{r_{TL} - d}\right)$.
3. c) Soma ambas as contribuições para obter a energia mínima total da viagem até ao ponto neutro e compara-a com a energia de escape da Terra a partir da superfície, $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$. Que conclusão retiras sobre o «custo» energético de chegar à Lua?

Desafio do tema. Como relacionar a queda de um objeto com o lançamento de satélites? Transforma-te num engenheiro de missões espaciais a partir de casa:

1. Medição caseira e incerteza: Deixa cair uma bola pequena de 5 alturas distintas entre $0,50\text{ m}$ e $2,00\text{ m}$. Regista com o telemóvel (gravando vídeo em câmara lenta e analisando-o fotograma a fotograma) o tempo de queda (3 repetições por altura) associando a respetiva incerteza ($\pm \Delta h$, $\pm \Delta t$). Elabora uma tabela com os valores médios e faz o gráfico de $v^2$ em função de $h$ para determinar o valor local de $g$ através do balanço de energia mecânica ($mgh = \frac{1}{2}mv^2$).

2. Balanço energético orbital: Consulta no site da Direção-Geral do Território (DGT) o raio médio terrestre ($R_T = 6371\text{ km}$) e calcula a massa da Terra $M_T$ a partir do teu $g$. Determina o trabalho necessário para transferir um nanossatélite de $3,5\text{ kg}$ desde a superfície até uma órbita circular a $400\text{ km}$ de altitude.

3. Proposta fundamentada e trajetórias: Redige um relatório breve que inclua tabela, gráfico e uma discussão teórica: classifica o tipo de movimento (órbita elíptica, parábola ou hipérbole) consoante o sinal da energia mecânica total ($E_m < 0$, $E_m = 0$, $E_m > 0$) e calcula a velocidade de escape.

Avaliar-se-á:

• Rigor no tratamento de dados experimentais, estimativa de incertezas e ajuste gráfico.

• Correção nos balanços de energia mecânica e cálculo do trabalho gravítico.

• Coerência física ao associar o sinal de $E_m$ à trajetória e ao escape gravítico.