Centro de massa de sistemas de partículas
Quando lanças um haltere ao ar, as duas esferas descrevem movimentos complicados, mas há um ponto do haltere que segue uma trajetória simples. Onde fica esse ponto? Como se calcula a sua posição para qualquer conjunto de partículas?
A ideia de centro de massa
Um sistema de partículas é um conjunto de corpos que estudamos em conjunto. Em vez de seguir cada partícula, procuramos um ponto que represente o sistema como um todo: o centro de massa (CM).
O CM não é a «média das posições». As partículas com mais massa «puxam» o CM para junto delas. Por isso se diz que é uma média ponderada pelas massas.
Imagina um haltere com uma esfera pesada e outra leve. Se o tentares equilibrar sobre um dedo, onde o pões? Mais perto da esfera pesada.
Sistemas a uma dimensão
Para partículas sobre um eixo $x$, a posição do CM é
$$x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \dots + m_n x_n}{m_1 + m_2 + \dots + m_n} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$$em que $m_i$ é a massa da partícula $i$ e $x_i$ a sua posição. No denominador está a massa total $M$. Dividimos por $M$ para obter uma média: se todas as massas fossem iguais, a expressão reduzia-se à média aritmética das posições.
Podes experimentar com os valores no interativo abaixo.
Num treino de musculação, um haltere é constituído por duas esferas ligadas por uma barra rígida de massa desprezável. A esfera de $2,0\ \text{kg}$ está na posição…
Num treino de musculação, um haltere é constituído por duas esferas ligadas por uma barra rígida de massa desprezável. A esfera de $2,0\ \text{kg}$ está na posição $x = 0$ e a esfera de $4,0\ \text{kg}$ está na posição $x = 3,0\ \text{m}$, como se mostra na figura.
- a) Escreve a expressão da posição do centro de massa de um sistema de duas partículas sobre um eixo, $x_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{m_1 + m_2}$, e indica o significado de cada símbolo.
- b) Determina a posição do centro de massa do haltere.
- c) Se as duas esferas trocarem de posição, qual passa a ser a posição do centro de massa?
- d) Num haltere real, a barra também tem massa. Considera que a barra é homogénea e tem $1,0\ \text{kg}$: sem efetuar cálculos, explica para que lado se desloca o centro de massa do conjunto em relação ao valor obtido em b).
Numa atividade laboratorial, três esferas de aço estão alinhadas sobre uma régua colocada numa mesa horizontal: uma esfera de $0,50\ \text{kg}$ na marca dos…
Numa atividade laboratorial, três esferas de aço estão alinhadas sobre uma régua colocada numa mesa horizontal: uma esfera de $0,50\ \text{kg}$ na marca dos $0\ \text{cm}$, uma de $1,0\ \text{kg}$ na marca dos $80\ \text{cm}$ e uma de $1,5\ \text{kg}$ na marca dos $120\ \text{cm}$.
- a) Determina a posição do centro de massa das três esferas, em centímetros, apresentando o resultado com duas casas decimais.
- b) Onde deve ser colocada uma quarta esfera, de $2,0\ \text{kg}$, para que o centro de massa das quatro esferas fique na marca dos $60\ \text{cm}$?
- c) Na situação inicial, sem a quarta esfera, retira-se a esfera de $1,5\ \text{kg}$. Determina a nova posição do centro de massa das duas esferas que ficam na régua.
Sistemas a duas dimensões
Se as partículas estão num plano, cada uma tem coordenadas $(x_i\,;\, y_i)$ num referencial $xOy$. As duas coordenadas do CM calculam-se separadamente, com a mesma ideia:
$$x_{CM} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} \qquad y_{CM} = \frac{\sum m_i y_i}{\sum m_i}$$O vetor posição do CM é $\vec r_{CM} = x_{CM}\,\vec e_x + y_{CM}\,\vec e_y$.
Na mesma atividade laboratorial, as três esferas são agora colocadas nas posições indicadas na tabela, medidas num referencial $xOy$ do tampo da mesa, e representadas na…
Na mesma atividade laboratorial, as três esferas são agora colocadas nas posições indicadas na tabela, medidas num referencial $xOy$ do tampo da mesa, e representadas na figura.
| Esfera | Massa | Posição $(x; y)$, em cm |
|---|---|---|
| $m_1$ | $0,100\ \text{kg}$ | $(2; 0)$ |
| $m_2$ | $0,200\ \text{kg}$ | $(8; 6)$ |
| $m_3$ | $0,300\ \text{kg}$ | $(12; 2)$ |
- a) Escreve as expressões das componentes $x_{\text{CM}}$ e $y_{\text{CM}}$ do vetor posição do centro de massa de um sistema de três partículas.
- b) Determina as coordenadas do centro de massa do sistema.
- c) A esfera $m_3$ é substituída por outra esfera de $0,600\ \text{kg}$, colocada na mesma posição. Determina as novas coordenadas do centro de massa.
Dimensões atómicas e moleculares
O método vale à escala atómica. Numa molécula diatómica, os dois núcleos concentram praticamente toda a massa, e podes usar a unidade de massa atómica ($\text{u}$): como $x_{CM}$ é um quociente de massas, não precisas de converter $\text{u}$ para $\text{kg}$. As unidades de massa cancelam-se, e a posição sai na unidade das distâncias (por exemplo, $\text{nm}$).
Numa molécula de monóxido de carbono, CO, a distância entre os núcleos dos dois átomos é $0,113\ \text{nm}$. As massas dos átomos são, aproximadamente, $12\ \text{u}$…
Numa molécula de monóxido de carbono, CO, a distância entre os núcleos dos dois átomos é $0,113\ \text{nm}$. As massas dos átomos são, aproximadamente, $12\ \text{u}$ para o carbono e $16\ \text{u}$ para o oxigénio, em que $\text{u}$ é a unidade de massa atómica.
- a) Considera um eixo com origem no núcleo do carbono e sentido do carbono para o oxigénio. Determina a posição do centro de massa da molécula, em nanómetros, e indica a que núcleo se encontra mais próximo.
- b) A molécula pode rodar em torno do seu centro de massa. Indica a que distância do centro de massa se encontra cada um dos núcleos.
- c) Na molécula de dióxido de carbono, CO₂, os três núcleos estão alinhados, com o carbono no meio e os dois oxigénios à mesma distância, $0,116\ \text{nm}$, um de cada lado. Sem efetuar cálculos, indica a posição do centro de massa desta molécula e justifica a tua resposta.
Em resumo
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O centro de massa é a média das posições das partículas, ponderada pelas massas.
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A uma dimensão: $x_{CM} = \dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$.
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A duas dimensões, calculam-se $x_{CM}$ e $y_{CM}$ separadamente, com as mesmas massas.
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Com duas partículas, o CM fica mais perto da de maior massa. Para massas positivas, o CM fica sempre dentro do invólucro convexo das partículas (a menor região convexa que as contém).
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Podes usar qualquer unidade de massa (u, g, kg), desde que seja a mesma para todas as partículas.
De volta ao início: o ponto de trajetória simples do haltere lançado é o seu centro de massa, que já sabes calcular. Porque segue essa trajetória é o tema de CM-MOV.