Exercícios: As leis do movimento planetário

Johannes Kepler deduziu três leis que descrevem o movimento dos planetas em torno do Sol a partir das observações de Tycho Brahe.

1. a) Enuncia a primeira lei de Kepler (lei das órbitas).
2. b) Desenha no teu caderno uma órbita elíptica e assinala nela os dois focos da elipse, a posição do Sol, o periélio (ponto mais próximo do Sol) e o afélio (ponto mais afastado).
3. c) Indica o que é o semieixo maior $a$ da órbita e escreve a sua expressão em função das distâncias do periélio, $r_p$, e do afélio, $r_a$.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

1. a) Enuncia a segunda lei de Kepler (lei das áreas).
2. b) Um planeta percorre a sua órbita elíptica passando pelo periélio e pelo afélio. Aplica a lei das áreas para justificar em qual desses dois pontos se move mais rapidamente.
3. c) A velocidade areolar (área varrida pelo raio vetor por unidade de tempo) é constante porque o momento angular do planeta se conserva. Explica qualitativamente por que razão um raio vetor mais curto no periélio implica uma velocidade maior.

1. a) Enuncia a terceira lei de Kepler (lei dos períodos) e escreve a sua expressão matemática, $\frac{T^2}{a^3} = C$, indicando o significado de $T$ e de $a$.
2. b) A constante vale $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, onde $M$ é a massa do corpo central. Justifica se $C$ é a mesma para todos os planetas do sistema solar e se o seria também para as luas de Júpiter.

A Terra passa pelo periélio a uma distância do Sol de $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ e pelo afélio a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. A figura mostra a órbita com ambas as distâncias (sem escala):

1. a) Calcula o semieixo maior da órbita terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sabendo que $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$ (unidade astronómica: distância média Terra–Sol), exprime o resultado em unidades astronómicas e comenta o que observas.

Para os corpos que orbitam o Sol, se o período $T$ for expresso em anos e o semieixo maior $a$ em unidades astronómicas, a terceira lei de Kepler reduz-se a $T^2 = a^3$. Mercúrio orbita com um semieixo maior $a = 0,387\ \text{UA}$.

1. a) Calcula o período orbital de Mercúrio, em anos.
2. b) Exprime-o em dias terrestres ($1$ ano $= 365,25$ dias).

Um asteroide da cintura principal demora $T = 8$ anos a completar a sua órbita em torno do Sol. Para os corpos que orbitam o Sol cumpre-se $T^2 = a^3$, com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas.

1. a) Isola o semieixo maior $a$ da expressão anterior.
2. b) Calcula o seu valor, em $\text{UA}$.

Um aluno afirma: «como $\frac{T^2}{a^3} = C$ é uma constante universal, o seu valor é o mesmo para a Terra em torno do Sol e para a Lua em torno da Terra».

1. a) Justifica por que razão a afirmação é falsa, tendo em conta que $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, sendo $M$ a massa do corpo central.
2. b) Indica um conjunto de corpos para o qual a constante coincidiria com a das luas de Júpiter.

Desenha no teu caderno uma órbita elíptica alongada com o Sol situado num dos seus focos.

1. a) Marca dois intervalos de tempo iguais, um centrado no periélio e outro no afélio, e sombreia as áreas varridas pelo raio vetor em ambos os troços.
2. b) De acordo com a lei das áreas, que relação existe entre as duas áreas sombreadas?
3. c) Justifica, a partir do desenho, em que troço o planeta percorre um arco mais longo no mesmo tempo e o que isso implica quanto à sua velocidade.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Marte orbita o Sol com um semieixo maior $a = 1,524\ \text{UA}$. Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas.

1. a) Calcula a duração do ano marciano, em anos terrestres.
2. b) Exprime o resultado em dias ($1$ ano $= 365,25$ dias).

Vénus completa a sua órbita em torno do Sol em $T = 0,615$ anos. Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula o semieixo maior da órbita de Vénus, em $\text{UA}$.
2. b) Exprime-o em quilómetros, utilizando a notação científica.

Uma equipa de astrónomos descobre um objeto cujo período orbital é $T = 27$ anos. Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas.

1. a) Calcula o semieixo maior da sua órbita, em $\text{UA}$.
2. b) Compara-o com a órbita de Neptuno ($a \approx 30\ \text{UA}$): o objeto orbita mais perto ou mais longe do Sol do que Neptuno?

Kepler verificou a sua terceira lei com os dados de vários planetas. A Terra tem $a = 1\ \text{UA}$ e $T = 1$ ano; Júpiter tem $a = 5,20\ \text{UA}$ e $T = 11,86$ anos.

1. a) Calcula o quociente $\frac{T^2}{a^3}$ para a Terra, em $\text{anos}^2/\text{UA}^3$.
2. b) Calcula o mesmo quociente para Júpiter e verifica que coincide com o anterior (salvo arredondamentos).
3. c) Explica por que razão esse quociente só é idêntico para corpos que orbitam o mesmo corpo central.

A excentricidade de uma elipse é $e = \frac{c}{a}$, onde $a$ é o semieixo maior e $c$ a distância do centro da elipse a um dos focos. Para a Terra: $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ (periélio) e $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$ (afélio). Observa a geometria da órbita na figura (sem escala):

1. a) Calcula o semieixo maior, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Calcula a distância focal, $c = \frac{r_a - r_p}{2}$, e a excentricidade $e$ da órbita terrestre.
3. c) Um valor $e = 0$ corresponde a uma circunferência e um valor próximo de $1$, a uma elipse muito alongada. Comenta a forma da órbita terrestre de acordo com o valor obtido.

Pela conservação do momento angular, no periélio e no afélio cumpre-se $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$. A Terra passa pelo periélio ($r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$) com uma velocidade de $30,3\ \text{km/s}$, e o afélio fica a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. O esquema mostra a órbita e as velocidades em ambos os pontos (sem escala):

1. a) Isola a velocidade no afélio, $v_a$, da expressão anterior.
2. b) Calcula o seu valor, em $\text{km/s}$.
3. c) O periélio ocorre no início de janeiro e o afélio no início de julho. Indica em qual desses meses a Terra se desloca mais rapidamente ao longo da sua órbita e relaciona-o com a segunda lei de Kepler.

Ceres, o maior corpo da cintura de asteroides, tem um período orbital de $T = 4,60$ anos. Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula o semieixo maior da órbita de Ceres, em $\text{UA}$.
2. b) Exprime a sua distância média ao Sol em metros, utilizando a notação científica.

Um cometa tem um semieixo maior igual ao dobro do de outro cometa do mesmo sistema.

1. a) Demonstra, a partir de $T^2 = a^3$, que se $a' = 2\cdot a$ então $T' = \sqrt{8}\cdot T \approx 2,83\cdot T$.
2. b) Um asteroide orbita o Sol com $a = 2\ \text{UA}$. Calcula o seu período, em anos.
3. c) Justifica, sem efetuar novos cálculos, se um planeta situado a metade da distância do Sol relativamente à Terra teria um ano mais longo ou mais curto do que o terrestre.

Para uma órbita circular de raio $r$, a terceira lei de Kepler pode ser deduzida a partir da lei da gravitação universal. O esquema mostra um planeta em órbita circular com a força que atua sobre ele:

1. a) Iguala a força gravítica, $F = \frac{G\cdot M\cdot m}{r^2}$, à força centrípeta do movimento circular, $F_c = \frac{m\cdot v^2}{r}$, e obtém a velocidade orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.
2. b) Substitui $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$ no resultado anterior e deduz que $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}\cdot r^3$.
3. c) Identifica na expressão obtida a constante da terceira lei de Kepler e explica de que grandezas depende.

A terceira lei de Kepler permite «pesar» o Sol. Dados: distância média Terra–Sol $a = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$, período orbital terrestre $T = 365,25$ dias e $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. A figura representa a órbita terrestre com os dados conhecidos:

1. a) Exprime o período orbital em segundos.
2. b) Isola a massa do Sol da expressão $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_S}$.
3. c) Calcula $M_S$ e compara o resultado com o valor aceite, $1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$.

O cometa Halley tem um período de $T = 76$ anos e passa pelo periélio a $r_p = 0,586\ \text{UA}$ do Sol. Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas. A figura mostra a sua órbita alongada (sem escala):

1. a) Calcula o semieixo maior da sua órbita, em $\text{UA}$.
2. b) Tendo em conta que $a = \frac{r_p + r_a}{2}$, calcula a distância do afélio, $r_a$.
3. c) Aplicando a conservação do momento angular, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calcula o quociente $\frac{v_p}{v_a}$ e explica por que razão o Halley só é observável a partir da Terra durante alguns meses em cada $76$ anos.

A sonda Juno estudou o sistema de Júpiter. A sua lua Io orbita o planeta com um semieixo maior $a = 4,22\cdot10^{8}\ \text{m}$ e um período $T = 1,77$ dias. Dado: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Exprime o período de Io em segundos.
2. b) Isola a massa de Júpiter a partir da terceira lei de Kepler, $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_J}$.
3. c) Calcula $M_J$ e compara-a com o valor aceite, $1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$.

A constante da terceira lei de Kepler é $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, com $M$ a massa do corpo central. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, massa do Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa da Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e semieixo maior da órbita da Lua $a = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$.

1. a) Calcula, em unidades do Sistema Internacional, a constante $C$ para o sistema solar e para o sistema Terra–Lua.
2. b) Justifica a que se deve a enorme diferença entre ambos os valores.
3. c) Utiliza a constante do sistema Terra–Lua para prever o período orbital da Lua e exprime-o em dias.

Mercúrio tem a órbita planetária mais excêntrica do sistema solar: $a = 0,387\ \text{UA}$ e $e = 0,206$. As distâncias ao Sol no periélio e no afélio são $r_p = a\cdot(1 - e)$ e $r_a = a\cdot(1 + e)$.

1. a) Calcula $r_p$ e $r_a$, em $\text{UA}$.
2. b) Aplicando a conservação do momento angular, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calcula o quociente $\frac{v_p}{v_a}$.
3. c) Para a Terra esse quociente vale $1,034$. Compara ambos os resultados e explica qual é o papel desempenhado pela excentricidade na variação da velocidade orbital.

Para viajar da Terra a Marte com o menor consumo de combustível utiliza-se uma órbita de transferência de Hohmann: uma elipse com o periélio na órbita terrestre ($1\ \text{UA}$) e o afélio na órbita marciana ($1,524\ \text{UA}$). Para os corpos que orbitam o Sol, $T^2 = a^3$ com $T$ em anos e $a$ em unidades astronómicas. O esquema mostra a órbita de transferência:

1. a) Calcula o semieixo maior da elipse de transferência.
2. b) Calcula o período completo dessa elipse, em anos.
3. c) A viagem de ida dura meio período. Calcula a sua duração em dias ($1$ ano $= 365,25$ dias) e fundamenta por que razão as missões a Marte só podem ser lançadas em determinadas janelas que se repetem a cada $26$ meses.

Descobre-se um exoplaneta que orbita uma estrela de massa $M_E = 4\cdot M_S$ (quatro vezes a massa do Sol) com um semieixo maior $a = 1\ \text{UA}$, igual ao da Terra.

1. a) Partindo de $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M}$, demonstra que $\frac{T^2}{T_{Tierra}^2} = \frac{a^3}{a_{Tierra}^3}\cdot\frac{M_S}{M_E}$.
2. b) Calcula o período do exoplaneta, em anos terrestres.
3. c) Explica por que razão neste caso não se pode aplicar diretamente a relação simplificada $T^2 = a^3$ válida para o sistema solar.