Exercícios: Trabalho e balanços energéticos

Uma sonda afasta-se da Terra na direção radial.

1. a) Desenha no teu caderno a força gravítica sobre a sonda e o seu deslocamento, e justifica que sinal tem o trabalho realizado pelo campo gravítico durante o afastamento.
2. b) Escreve a relação entre esse trabalho e a variação de energia potencial, $W_{campo} = -\Delta E_p$, e explica o seu significado.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Uma carga útil de $m = 1000\ \text{kg}$ passa da superfície terrestre ($r_1 = R_T$) para uma posição a $r_2 = 2\cdot R_T$ do centro da Terra. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa o esquema:

1. a) Calcula a energia potencial do conjunto em cada posição, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.
2. b) Calcula a variação de energia potencial, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$, e justifica o teu sinal.

Um fragmento de lixo espacial desce lentamente de uma órbita de raio $r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ para outra de raio $r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Justifica, sem efetuar cálculos, que sinal tem o trabalho realizado pelo campo gravítico durante a descida.
2. b) Indica se a sua energia potencial aumenta ou diminui e fundamenta com a expressão $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.

Um satélite descreve uma órbita circular estável em torno da Terra. Observa o esquema:

1. a) Tendo em conta que a força gravítica é perpendicular à velocidade em cada ponto da órbita, quanto vale o trabalho realizado pelo campo gravítico numa volta completa?
2. b) A energia cinética, a energia potencial e a energia mecânica do satélite variam ao longo dessa órbita? Justifica.

A energia que é necessário fornecer a uma massa $m$ em repouso na superfície terrestre para a colocar numa órbita circular de raio $r$ é $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Pretende-se colocar um pequeno satélite de $m = 200\ \text{kg}$ numa órbita a $500\ \text{km}$ de altura ($r = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula essa energia e exprime-a em notação científica.
2. b) Indica em que duas «parcelas» energéticas é investida essa energia.

Uma sonda de $m = 800\ \text{kg}$ é transferida muito lentamente (praticamente sem variar a sua energia cinética) desde $r_1 = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ até $r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$, medidos a partir do centro da Terra. O trabalho externo mínimo necessário coincide então com a variação de energia potencial. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a variação de energia potencial entre ambas as posições.
2. b) Indica que trabalho externo mínimo é necessário realizar e que sinal tem.

Para colocar um satélite numa determinada órbita é necessário aumentar a sua energia potencial em $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ e, além disso, fornecer-lhe uma energia cinética orbital de $E_c = 4\cdot10^{9}\ \text{J}$.

1. a) Calcula a energia total que o lançador deve fornecer.
2. b) Explica por que razão colocar um satélite em órbita não consiste apenas em «subi-lo» até essa altura.

Uma sonda de $m = 500\ \text{kg}$ cai de $r_1 = 4\cdot R_T$ até $r_2 = 2\cdot R_T$, medidos a partir do centro da Terra. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula a variação da sua energia potencial, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$.
2. b) Calcula o trabalho realizado pelo campo gravítico, $W_{campo} = -\Delta E_p$, e interpreta o seu sinal.

Um satélite de uma constelação de internet, de $m = 300\ \text{kg}$, deve subir da sua órbita de estacionamento, a $500\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$), para a sua órbita operacional, a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). O trabalho necessário para passar de uma órbita circular para outra é $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o trabalho que os propulsores do satélite devem fornecer.
2. b) Justifica o sinal positivo do resultado: de onde provém essa energia e para onde vai?

Pretende-se colocar um satélite meteorológico de $m = 1500\ \text{kg}$ em órbita geoestacionária, de raio $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, partindo do repouso na superfície terrestre. A energia necessária é $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula essa energia.
2. b) Calcula que fração dessa energia corresponde a «subir» (variação de $E_p$) e qual corresponde a «orbitar» (energia cinética orbital), e comenta o resultado.

Um meteorito de $m = 2\cdot10^{3}\ \text{kg}$ cai em direção à Terra a partir de uma grande distância, partindo praticamente do repouso. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Aplica a conservação da energia para calcular a energia cinética com que chegaria à superfície se não existisse atmosfera.
2. b) Calcula a velocidade correspondente.
3. c) Um automóvel ligeiro de $1200\ \text{kg}$ a $120\ \text{km/h}$ ($33,3\ \text{m/s}$) tem uma energia cinética de cerca de $6,7\cdot10^{5}\ \text{J}$: calcula quantas vezes maior é a energia do meteorito.

Um satélite de $m = 300\ \text{kg}$ decai por atrito com a alta atmosfera desde uma órbita circular a $800\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) até outra a $500\ \text{km}$ ($r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o trabalho realizado pelo campo gravítico na descida, $W_{campo} = G\cdot M\cdot m\cdot\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)$.
2. b) Calcula a variação de energia mecânica do satélite entre ambas as órbitas circulares, $\Delta E_m = E_{m,2} - E_{m,1}$ com $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Explica por que razão os dois resultados não coincidem e o que aconteceu à diferença.

Pretende-se comparar a energia necessária para duas missões distintas com uma carga de $m = 1000\ \text{kg}$ que parte do repouso na superfície terrestre. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula a energia mínima para que a carga escape à atração terrestre, $E_{esc} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$.
2. b) Calcula a energia para a colocar numa órbita circular rasante ($r \approx R_T$), $E_{orb} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot R_T}$.
3. c) Justifica, a partir dos resultados, por que razão «escapar à Terra» custa exatamente o dobro de «colocar em órbita baixa», e que consequência prática isso tem para as missões interplanetárias.

Os propulsores de um satélite de $m = 500\ \text{kg}$ elevam-no de uma órbita circular a $500\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$) para outra a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o trabalho fornecido pelos propulsores, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcula a velocidade orbital em cada órbita, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$, e verifica que diminui.
3. c) Explica o aparente paradoxo: os motores fornecem energia ao satélite e, no entanto, este acaba por se mover mais devagar. Apoia a explicação nos balanços de $E_c$, $E_p$ e $E_m$.

Um lançador coloca uma carga de $m = 400\ \text{kg}$ numa órbita circular a $600\ \text{km}$ de altura ($r = 6,97\cdot10^{6}\ \text{m}$), partindo do repouso na superfície. A energia necessária é $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula a energia total.
2. b) Calcula a energia por quilograma de carga e exprime-a em notação científica.
3. c) A energia de escape a partir da superfície é $6,25\cdot10^{7}\ \text{J}$ por quilograma: calcula que fração representa a energia de colocação em órbita em relação à de escape.

Um orbitador de $m = 1000\ \text{kg}$ em torno de Marte deve passar de uma órbita circular baixa a $200\ \text{km}$ de altura ($r_1 = 3,59\cdot10^{6}\ \text{m}$) para uma órbita alta de raio $r_2 = 1,7\cdot10^{7}\ \text{m}$. Dados de Marte: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula o trabalho necessário, $W = \frac{G\cdot M_M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) A massa de Marte é cerca de $0,11$ vezes a da Terra: justifica por que razão, para os mesmos raios orbitais e a mesma massa do orbitador, as mudanças de órbita são energeticamente muito mais baratas em torno de Marte do que em torno da Terra.

Um satélite de $m = 500\ \text{kg}$ perde altura devido ao atrito com a alta atmosfera e passa de uma órbita circular de $350\ \text{km}$ ($r_1 = 6,72\cdot10^{6}\ \text{m}$) para outra de $250\ \text{km}$ ($r_2 = 6,62\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a variação de energia cinética entre ambas as órbitas, $\Delta E_c$, com $E_c = \frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
2. b) Calcula a variação de energia potencial, $\Delta E_p$.
3. c) Calcula a variação de energia mecânica, $\Delta E_m$, e explica o que aconteceu a essa energia.
4. d) Calcula a velocidade orbital em cada órbita e explica o «paradoxo do satélite»: ao travar por atrito, o satélite acaba por se mover mais depressa.

Uma missão transporta uma carga de $m = 1000\ \text{kg}$ desde o repouso na superfície terrestre até fazê-la escapar da Terra, em duas etapas: primeiro é colocada numa órbita circular a $800\ \text{km}$ de altura ($r = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) e a partir daí é-lhe dado o impulso final de escape. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. A missão é apresentada na figura.

1. a) Calcula a energia da primeira etapa, $E_1 = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$.
2. b) Calcula a energia da segunda etapa: a que é necessário fornecer a um satélite em órbita circular para que escape, $E_2 = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Soma ambas as energias e verifica que o total coincide com a energia de escape direta a partir da superfície, $E_{esc} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$.
4. d) Justifica por que razão o total não depende da órbita intermédia escolhida, apoiando-te no facto de a energia mecânica final (no infinito, em repouso) ser a mesma em todos os casos.

Em 2013, um meteorito de cerca de $20\ \text{m}$ de diâmetro explodiu sobre Cheliabinsk (Rússia). Considera um corpo de $m = 10^{7}\ \text{kg}$ que se aproxima da Terra com velocidade, quando ainda está longe, de $v_\infty = 1,5\cdot10^{4}\ \text{m/s}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Aplica a conservação da energia mecânica para calcular a velocidade com que atinge a superfície terrestre.
2. b) Calcula a sua energia cinética nesse momento.
3. c) Um quilotone de TNT equivale a $4,18\cdot10^{12}\ \text{J}$: exprime a energia do meteorito em quilotones e comenta o resultado.
4. d) Explica por que razão a atmosfera terrestre atua como escudo protetor, mas apenas de forma parcial face a corpos deste tamanho.

Para alturas pequenas em comparação com o raio terrestre, costuma aproximar-se a variação de energia potencial por $\Delta E_p \approx m\cdot g_0\cdot h$, com $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$. Considera uma carga de $m = 1000\ \text{kg}$ elevada $h = 100\ \text{km} = 10^{5}\ \text{m}$ acima da superfície. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. A figura compara ambas as expressões:

1. a) Calcula a variação exata de energia potencial, $\Delta E_p = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h}\right)$.
2. b) Calcula o valor aproximado $m\cdot g_0\cdot h$.
3. c) Determina o erro relativo da aproximação, em percentagem.
4. d) Repete a comparação para $h = R_T$ (uma altura igual ao raio terrestre) e conclui em que intervalo de alturas a aproximação $m\cdot g_0\cdot h$ é aceitável.

Uma nave tripulada de $m = 5\cdot10^{3}\ \text{kg}$ parte de uma órbita circular baixa terrestre ($r_1 = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) em direção à Lua, cuja distância média ao centro da Terra é $r_2 = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula a energia mecânica da nave na órbita baixa, $E_{m,1} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot r_1}$.
2. b) Calcula a energia mecânica mínima que teria ao atingir a distância lunar se chegasse com velocidade nula, $E_{m,2} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r_2}$.
3. c) Calcula a energia mínima que o impulso de saída de órbita deve fornecer, $\Delta E = E_{m,2} - E_{m,1}$, e compara-a com a energia necessária para escapar da Terra a partir dessa mesma órbita.
4. d) Justifica por que razão a missão real necessita de energia adicional: a nave não pode ficar nesse ponto com velocidade nula, devendo antes inserir-se em órbita lunar ou regressar.

Pretende-se comparar o custo energético de colocar em órbita baixa, a $100\ \text{km}$ de altura, uma mesma carga de $m = 500\ \text{kg}$ a partir da superfície da Terra e a partir da superfície da Lua. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; Terra: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$; Lua: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula a energia necessária a partir da Terra, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$, com $r = R_T + 10^{5}\ \text{m}$.
2. b) Calcula a energia necessária a partir da Lua, com $r = R_L + 10^{5}\ \text{m}$.
3. c) Calcula o quociente entre ambas as energias e comenta que consequência teria para a logística de uma futura base lunar o facto de descolar da Lua ser tão «barato» energeticamente.

No final da sua vida útil, os satélites geoestacionários são elevados cerca de $300\ \text{km}$ para a chamada «órbita cemitério» para não interferirem com os operacionais. Considera um satélite de $m = 2000\ \text{kg}$ que passa da órbita geoestacionária ($r_1 = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$) para a de cemitério ($r_2 = 4,25\cdot10^{7}\ \text{m}$). Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula o trabalho necessário para esse último impulso, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcula a energia que custou na altura colocá-lo em órbita geoestacionária a partir da superfície, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r_1}\right)$, com $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Calcula a energia que custaria «fazê-lo descer» da órbita geoestacionária até uma órbita de $300\ \text{km}$ de altitude ($r_3 = 6,67\cdot10^{6}\ \text{m}$) para que reentrasse, e fundamenta, comparando os três resultados, por que razão se escolhe a órbita cemitério.

Para viajar até à Lua é necessário ultrapassar o «ponto neutro», situado aproximadamente a $d = 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$ do centro da Terra, onde as atrações da Terra e da Lua se compensam. A distância média Terra-Lua é $r_{TL} = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Uma nave de $m = 5\cdot10^{3}\ \text{kg}$ parte do repouso na superfície terrestre. Dados: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$. Observa o esquema:

1. a) Calcula a variação de energia potencial devida à Terra ao ir da superfície terrestre até ao ponto neutro, $\Delta E_{p,T} = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{d}\right)$.
2. b) Calcula a variação de energia potencial devida à Lua no mesmo trajeto, tendo em conta que a nave passa de estar a $r_{TL}$ da Lua para estar a $r_{TL} - d$: $\Delta E_{p,L} = G\cdot M_L\cdot m\cdot\left(\frac{1}{r_{TL}} - \frac{1}{r_{TL} - d}\right)$.
3. c) Soma ambas as contribuições para obter a energia mínima total da viagem até ao ponto neutro e compara-a com a energia de escape da Terra a partir da superfície, $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$. Que conclusão retiras sobre o «custo» energético de chegar à Lua?

Desafio do tema. Como relacionar a queda de um objeto com o lançamento de satélites? Transforma-te num engenheiro de missões espaciais a partir de casa:

1. Medição caseira e incerteza: Deixa cair uma bola pequena de 5 alturas distintas entre $0,50\text{ m}$ e $2,00\text{ m}$. Regista com o telemóvel (gravando vídeo em câmara lenta e analisando-o fotograma a fotograma) o tempo de queda (3 repetições por altura) associando a respetiva incerteza ($\pm \Delta h$, $\pm \Delta t$). Elabora uma tabela com os valores médios e faz o gráfico de $v^2$ em função de $h$ para determinar o valor local de $g$ através do balanço de energia mecânica ($mgh = \frac{1}{2}mv^2$).

2. Balanço energético orbital: Consulta no site da Direção-Geral do Território (DGT) o raio médio terrestre ($R_T = 6371\text{ km}$) e calcula a massa da Terra $M_T$ a partir do teu $g$. Determina o trabalho necessário para transferir um nanossatélite de $3,5\text{ kg}$ desde a superfície até uma órbita circular a $400\text{ km}$ de altitude.

3. Proposta fundamentada e trajetórias: Redige um relatório breve que inclua tabela, gráfico e uma discussão teórica: classifica o tipo de movimento (órbita elíptica, parábola ou hipérbole) consoante o sinal da energia mecânica total ($E_m < 0$, $E_m = 0$, $E_m > 0$) e calcula a velocidade de escape.

Avaliar-se-á:

• Rigor no tratamento de dados experimentais, estimativa de incertezas e ajuste gráfico.

• Correção nos balanços de energia mecânica e cálculo do trabalho gravítico.

• Coerência física ao associar o sinal de $E_m$ à trajetória e ao escape gravítico.