Exercícios: Centro de massa de sistemas de partículas

Num treino de musculação, um haltere é constituído por duas esferas ligadas por uma barra rígida de massa desprezável. A esfera de $2,0\ \text{kg}$ está na posição $x = 0$ e a esfera de $4,0\ \text{kg}$ está na posição $x = 3,0\ \text{m}$, como se mostra na figura.

1. a) Escreve a expressão da posição do centro de massa de um sistema de duas partículas sobre um eixo, $x_{\text{CM}} = \frac{m_1 \cdot x_1 + m_2 \cdot x_2}{m_1 + m_2}$, e indica o significado de cada símbolo.
2. b) Determina a posição do centro de massa do haltere.
3. c) Se as duas esferas trocarem de posição, qual passa a ser a posição do centro de massa?
4. d) Num haltere real, a barra também tem massa. Considera que a barra é homogénea e tem $1,0\ \text{kg}$: sem efetuar cálculos, explica para que lado se desloca o centro de massa do conjunto em relação ao valor obtido em b).

Numa atividade laboratorial, três esferas de aço estão alinhadas sobre uma régua colocada numa mesa horizontal: uma esfera de $0,50\ \text{kg}$ na marca dos $0\ \text{cm}$, uma de $1,0\ \text{kg}$ na marca dos $80\ \text{cm}$ e uma de $1,5\ \text{kg}$ na marca dos $120\ \text{cm}$.

1. a) Determina a posição do centro de massa das três esferas, em centímetros, apresentando o resultado com duas casas decimais.
2. b) Onde deve ser colocada uma quarta esfera, de $2,0\ \text{kg}$, para que o centro de massa das quatro esferas fique na marca dos $60\ \text{cm}$?
3. c) Na situação inicial, sem a quarta esfera, retira-se a esfera de $1,5\ \text{kg}$. Determina a nova posição do centro de massa das duas esferas que ficam na régua.

Na mesma atividade laboratorial, as três esferas são agora colocadas nas posições indicadas na tabela, medidas num referencial $xOy$ do tampo da mesa, e representadas na figura.

Esfera	Massa	Posição $(x; y)$, em cm
$m_1$	$0,100\ \text{kg}$	$(2; 0)$
$m_2$	$0,200\ \text{kg}$	$(8; 6)$
$m_3$	$0,300\ \text{kg}$	$(12; 2)$

1. a) Escreve as expressões das componentes $x_{\text{CM}}$ e $y_{\text{CM}}$ do vetor posição do centro de massa de um sistema de três partículas.
2. b) Determina as coordenadas do centro de massa do sistema.
3. c) A esfera $m_3$ é substituída por outra esfera de $0,600\ \text{kg}$, colocada na mesma posição. Determina as novas coordenadas do centro de massa.

Numa molécula de monóxido de carbono, CO, a distância entre os núcleos dos dois átomos é $0,113\ \text{nm}$. As massas dos átomos são, aproximadamente, $12\ \text{u}$ para o carbono e $16\ \text{u}$ para o oxigénio, em que $\text{u}$ é a unidade de massa atómica.

1. a) Considera um eixo com origem no núcleo do carbono e sentido do carbono para o oxigénio. Determina a posição do centro de massa da molécula, em nanómetros, e indica a que núcleo se encontra mais próximo.
2. b) A molécula pode rodar em torno do seu centro de massa. Indica a que distância do centro de massa se encontra cada um dos núcleos.
3. c) Na molécula de dióxido de carbono, CO₂, os três núcleos estão alinhados, com o carbono no meio e os dois oxigénios à mesma distância, $0,116\ \text{nm}$, um de cada lado. Sem efetuar cálculos, indica a posição do centro de massa desta molécula e justifica a tua resposta.