Exercícios: Movimentos compostos

Um barco atravessa um rio de $40\ \text{m}$ de largura com uma velocidade própria de $2\ \text{m/s}$, dirigida perpendicularmente à corrente. Observa o esquema da travessia:

1. a) Enuncia o princípio da independência dos movimentos de Galileu.
2. b) Aplica-o para calcular o tempo que o barco demora a atravessar o rio, justificando por que razão a corrente não altera esse tempo.

Um drone voa para norte a $4\ \text{m/s}$ enquanto o vento o empurra para este a $3\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula o módulo da velocidade resultante do drone em relação ao solo.
2. b) Tendo em conta a independência dos movimentos, calcula quanto tempo demora a avançar $100\ \text{m}$ para norte.

Um comboio atravessa uma ponte de $19,6\ \text{m}$ de altura quando um objeto se solta de uma carruagem. Considera $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula o tempo que o objeto demora a chegar ao solo.
2. b) Justifica se esse tempo depende da velocidade horizontal que o comboio tinha.

Um avião de ajuda humanitária voa horizontalmente a $100\ \text{m/s}$ e a $500\ \text{m}$ de altitude quando larga um pacote. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa o esquema:

1. a) Calcula o tempo que o pacote demora a cair.
2. b) Calcula a distância horizontal que o pacote percorre antes de atingir o solo.

Uma bola de futebol é pontapeada com velocidade inicial $v_0 = 50\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $37^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$. A figura mostra a decomposição da velocidade inicial.

1. a) Calcula a componente horizontal da velocidade inicial.
2. b) Calcula a componente vertical da velocidade inicial.

Uma bola de ténis sai da raquete com $v_0 = 20\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $60^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 60^\circ \approx 0,87$ e $\cos 60^\circ = 0,5$.

1. a) Calcula a componente horizontal da sua velocidade inicial.
2. b) Calcula a componente vertical da sua velocidade inicial.

A componente vertical da velocidade inicial de um projétil é $20\ \text{m/s}$. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula o tempo que demora a atingir o ponto mais alto da sua trajetória.
2. b) Se parte do solo e regressa ao solo, quanto tempo dura o seu voo completo? Justifica.

Uma flecha sai do arco com uma componente vertical de velocidade de $30\ \text{m/s}$. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ e recorda que no ponto mais alto a velocidade vertical se anula.

1. a) Calcula o tempo que demora a subir.
2. b) Calcula a altura máxima que atinge em relação ao ponto de partida.

Um barco com velocidade própria de $4\ \text{m/s}$ atravessa um rio de $80\ \text{m}$ de largura, orientando a proa perpendicularmente à corrente, que corre a $1,5\ \text{m/s}$. Observa o esquema da travessia:

1. a) Calcula o tempo de travessia.
2. b) Calcula a deriva: a distância que a corrente o deslocou rio abaixo ao atingir a outra margem.
3. c) Calcula o módulo do deslocamento total entre o ponto de partida e o de chegada.

O piloto de um barco pretende atravessar um rio de $120\ \text{m}$ de largura, atingindo exatamente o ponto em frente. O barco atinge $5\ \text{m/s}$ em águas calmas e a corrente desce a $3\ \text{m/s}$. O diagrama de velocidades é apresentado na figura.

1. a) Calcula o ângulo para montante com que deve orientar a proa, sabendo que satisfaz $\sen\theta = \frac{3}{5}$.
2. b) Calcula o módulo da velocidade resultante do barco em relação às margens.
3. c) Calcula o tempo que demora a atravessar.

Um helicóptero voa horizontalmente a $30\ \text{m/s}$ e a $20\ \text{m}$ de altitude quando larga um pacote. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula o tempo de queda do pacote.
2. b) Calcula o alcance horizontal do pacote.
3. c) Calcula as componentes da velocidade ao atingir o solo e o seu módulo.

Um avião voa horizontalmente a $80\ \text{m/s}$ e a $720\ \text{m}$ de altitude e deve largar um pacote para que este caia sobre um ponto específico do solo. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula o tempo de queda do pacote.
2. b) Calcula a distância horizontal percorrida pelo pacote durante a queda.
3. c) Justifica a que distância horizontal antes do alvo deve ser largado o pacote.

Uma bola de golfe sai do tee com $v_0 = 50\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $37^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. A trajetória da pancada é apresentada na figura.

1. a) Calcula as componentes da velocidade inicial.
2. b) Calcula o tempo de voo.
3. c) Calcula o alcance sobre terreno horizontal.
4. d) Calcula a altura máxima.

Um guarda-redes de andebol lança a bola com $v_0 = 20\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $30^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 30^\circ = 0,5$, $\cos 30^\circ \approx 0,87$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula as componentes da velocidade inicial.
2. b) Calcula o tempo de voo até a bola regressar à altura de lançamento.
3. c) Calcula o alcance.
4. d) Calcula a altura máxima.

Um jogador de voleibol efetua um serviço com $v_0 = 25\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $53^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula as componentes da velocidade inicial.
2. b) Justifica quanto vale a componente vertical da velocidade no ponto mais alto e calcula aí o módulo da velocidade.
3. c) Calcula a altura máxima e o tempo que demora a atingi-la.

Do cimo de uma escarpa de $45\ \text{m}$ sobre o mar deixa-se cair uma pedra e, no mesmo instante, lança-se outra idêntica horizontalmente com $10\ \text{m/s}$. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa o esquema da escarpa:

1. a) Calcula o tempo que a primeira pedra demora a cair.
2. b) Justifica, com base no princípio da independência dos movimentos, qual das duas atinge a água primeiro.
3. c) Calcula o alcance horizontal da segunda pedra.
4. d) Calcula o módulo da velocidade com que cada pedra atinge a água e compara os resultados.

Um jogador de râguebi chuta a bola a partir do solo com $v_0 = 30\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $53^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. A figura mostra a trajetória da bola e os postes.

1. a) Calcula as componentes da velocidade inicial.
2. b) Se os postes se encontram a $36\ \text{m}$ do ponto do pontapé, calcula a que altura passa a bola sobre a linha de golo e determina se ultrapassa a barra horizontal, situada a $3\ \text{m}$ de altura.
3. c) Calcula a altura máxima atingida pela bola.
4. d) Calcula o alcance da bola e determina se sairia pela linha de fundo, situada a $80\ \text{m}$ do ponto de pontapé.

Para um lançamento sobre terreno horizontal, o alcance é dado por $x = \frac{v_0^2 \cdot \sen(2\theta)}{g}$, onde $\theta$ é o ângulo de lançamento.

1. a) Justifica, a partir dessa expressão, que o alcance é máximo quando $\theta = 45^\circ$.
2. b) Uma lançadora de dardo quer atingir $80\ \text{m}$ lançando a $45^\circ$; considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ e calcula a velocidade inicial necessária.
3. c) Com essa mesma velocidade inicial, calcula o alcance se o lançamento for feito a $30^\circ$ e verifica se atinge os $80\ \text{m}$. Usa $\sen 60^\circ \approx 0,87$.

Numa reconstituição histórica, um canhão dispara projéteis com $v_0 = 40\ \text{m/s}$. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e lembra-te de que $\sen(2\theta) = 2 \cdot \sen\theta \cdot \cos\theta$.

1. a) Calcula o alcance para um ângulo de disparo de $37^\circ$.
2. b) Calcula o alcance para o ângulo complementar, $53^\circ$, e compara os dois resultados.
3. c) Calcula a altura máxima e o tempo de voo em cada um dos dois casos.
4. d) Explica que propriedade têm os pares de ângulos complementares no lançamento oblíquo e o que se ganha e o que se perde ao escolher o ângulo maior.

Um barco capaz de navegar a $5\ \text{m/s}$ em águas calmas deve atravessar um rio de $100\ \text{m}$ de largura com uma corrente de $3\ \text{m/s}$.

1. a) Se orientar a proa perpendicularmente à margem, calcula o tempo de travessia, a deriva e o módulo do deslocamento total.
2. b) Se pretender chegar exatamente ao ponto em frente, calcula o ângulo para montante que deve tomar (satisfaz $\sen\theta = \frac{3}{5}$), a velocidade resultante e o tempo de travessia.
3. c) Compara ambas as estratégias e justifica qual minimiza o tempo de travessia e qual minimiza o comprimento da trajetória em relação à margem, apoiando-te nos resultados obtidos.

Um saltador de esqui abandona a rampa com uma velocidade horizontal de $20\ \text{m/s}$ a partir de uma altura de $80\ \text{m}$ acima da zona de aterragem. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula o tempo de voo e o alcance horizontal.
2. b) Calcula as componentes da velocidade ao atingir a zona de aterragem e o seu módulo.
3. c) Calcula o ângulo que a velocidade de chegada faz com a horizontal.

Um avião voa para este com velocidade própria de $200\ \text{m/s}$ enquanto o vento sopra de forma constante para norte a $40\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula o módulo da velocidade resultante do avião em relação ao solo.
2. b) Calcula o ângulo de deriva: o ângulo que a sua trajetória se desvia em relação ao rumo este pretendido.
3. c) Se o voo durar $500\ \text{s}$, calcula a posição do avião (distância percorrida para este e para norte a partir do ponto de partida) e a distância a que fica do ponto a que teria chegado sem vento.

Numa aula laboratorial, uma esfera rola sobre uma mesa de $1,25\ \text{m}$ de altura e sai horizontalmente pelo bordo. No chão coloca-se um copo cujo centro se encontra a $1,5\ \text{m}$ da vertical do bordo da mesa. Considera $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observa o esquema:

1. a) Calcula o tempo que a bola demora a cair desde o bordo até ao solo.
2. b) Calcula a velocidade horizontal com que deve sair da mesa para cair no copo.
3. c) Com essa velocidade, calcula as componentes e o módulo da velocidade da bola ao chegar ao solo.

Uma arqueira dispara uma flecha com $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ com a horizontal. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula as componentes da velocidade inicial.
2. b) Escreve as equações $x(t)$ e $y(t)$, elimina o tempo e obtém a equação da trajetória $y(x)$.
3. c) Há um painel publicitário de $5\ \text{m}$ de altura a $20\ \text{m}$ do ponto de tiro: calcula a que altura passa a flecha sobre ele e decide se o ultrapassa.
4. d) Calcula o alcance da flecha sobre terreno horizontal.

Desafio do tema. Investiga a cinemática de um lançamento horizontal analisando a influência do meio envolvente.

1. Variáveis termodinâmicas: Consulta no site do IPMA a temperatura $T$ ($^\circ\text{C}$) e a pressão $P$ ($\text{hPa}$) atuais da tua localidade para registar o estado termodinâmico do ar circundante.

2. Movimentos retilíneo e circular: Usa uma rampa inclinada (MRUA) ou uma roda de bicicleta invertida que rode uniformemente (MCU) com raio conhecido, por exemplo $R = (30,0 \pm 0,1)\text{ cm}$, para impulsionar um berlinde com velocidade inicial horizontal $v_0$. Determina $v_0$ de forma independente do alcance: na roda, mede $\omega$ cronometrando 10 voltas e usa $v_0 = \omega R$; na rampa, cronometra a passagem do berlinde por um troço final horizontal de comprimento conhecido. Estima a incerteza de cada $v_0$.

3. Movimento composto e medições: Lança o berlinde horizontalmente a partir do bordo de uma mesa situada a uma altura $h = (80,0 \pm 0,5)\text{ cm}$. Mede com fita métrica (incerteza $\pm 0,1\text{ cm}$) o alcance horizontal $x$ para 5 velocidades iniciais distintas, realizando 3 repetições em cada uma para calcular o valor médio e a dispersão.

4. Produto final: Elabora um relatório breve que contenha a tabela de dados experimentais, um gráfico do alcance $x$ em função de $v_0$ e uma discussão fundamentada sobre se os valores das variáveis termodinâmicas ambientais geram desvios apreciáveis em relação ao lançamento parabólico ideal no vácuo.

Será valorizado:

• Obtenção rigorosa de medições experimentais e expressão adequada das suas incertezas.

• Qualidade técnica na elaboração da tabela e do gráfico cinemático.

• Integração coerente dos tipos de movimento (retilíneo, circular e composto) com as variáveis termodinâmicas.

• Sentido crítico e clareza expositiva nas conclusões do relatório.