Trigonométrie dans le triangle rectangle

Nommer les côtés d'un triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, les noms des côtés dépendent de l'angle aigu qu'on regarde.

L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit. C'est le plus long côté.

Pour un angle aigu choisi, le côté adjacent est le côté de l'angle qui n'est pas l'hypoténuse. Le côté opposé est celui qui est en face de l'angle.

Ici, pour l'angle $\widehat{B}$ : $[AB]$ est le côté adjacent, $[AC]$ est le côté opposé et $[BC]$ est l'hypoténuse.

Cosinus, sinus et tangente

Dans un triangle rectangle, le rapport entre deux côtés ne dépend que de l'angle aigu, pas de la taille du triangle. Si tu agrandis le triangle, tous les côtés sont multipliés par le même nombre, donc les quotients ne changent pas. C'est pour cela qu'on peut donner un nom à ces quotients.

Dans le triangle de la figure précédente :

Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1, car l'hypoténuse est le plus grand côté. La tangente, elle, peut être plus grande que 1.

Calculer une longueur

On connaît un angle aigu et un côté. On cherche un autre côté.

Méthode.

1. Repérer l'angle connu, puis nommer les côtés (adjacent, opposé, hypoténuse) par rapport à cet angle.

2. Choisir le rapport qui contient le côté connu et le côté cherché (CAH, SOH ou TOA).

3. Écrire l'égalité, puis calculer. Si l'inconnue est au dénominateur, on la tire de l'égalité.

4. Calculer avec la calculatrice en mode degré et arrondir à la précision demandée.

Calculer un angle

Cette fois, on connaît deux côtés et on cherche l'angle. On écrit le rapport, puis on utilise la touche inverse de la calculatrice : $\cos^{-1}$ (ou arccos), $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$. On y accède avec la touche « 2nde » ou « Shift ».

Relations entre cosinus, sinus et tangente

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ :

Et avec le théorème de Pythagore $AB^2+AC^2=BC^2$, en divisant par $BC^2$ :

On peut ainsi retrouver un côté avec seulement un cosinus connu (sans angle). Si $\cos\widehat{B}=\dfrac{3}{5}$ et $BC=20$ cm, alors $AB=20\times\dfrac{3}{5}=12$ cm.

Résoudre des problèmes

Dans un problème, on commence par faire un schéma et y repérer un triangle rectangle. Le vocabulaire utile :

• l'angle d'élévation est l'angle vers le haut, mesuré depuis l'horizontale (on regarde le sommet d'un immeuble) ;

• l'angle de dépression est l'angle vers le bas, mesuré depuis l'horizontale (on regarde un bateau depuis un phare) ;

• l'angle d'une rampe avec l'horizontale se mesure au sol, à la base de la pente.

Quand la figure contient deux triangles rectangles, on les traite l'un après l'autre. Une hauteur $[AH]$ d'un triangle $ABC$ le partage en deux triangles rectangles $ABH$ et $AHC$, qui ont un côté commun, $[AH]$.

Revenons à notre arbre. Lucas est à $30$ m du pied et voit la cime sous $40^\circ$. Le côté adjacent mesure $30$ m, on cherche le côté opposé : tangente. $\tan 40^\circ=\dfrac{h}{30}$, donc $h=30\times\tan 40^\circ\approx 25{,}2$ m au-dessus de ses yeux. Avec ses yeux à $1{,}60$ m du sol, l'arbre mesure environ $26{,}8$ m. Retour au début : la distance, l'angle et la hauteur des yeux suffisent.

L'essentiel