Identités remarquables

Lucie veut choisir un tapis carré pour sa chambre. Le côté du tapis mesure $(x + 4)$ mètres.

1. a) Écrire l'expression de l'aire du tapis sous la forme du carré d'un binôme.
2. b) Développer le binôme pour obtenir le polynôme qui représente l'aire.

Développer les expressions suivantes à l'aide des identités remarquables pour les écrire sous la forme d'un polynôme ordonné :

1. a) $(3x + 5)^2$

1. b) $(2x - 7y)^2$

1. c) $(x^2 + 4) \cdot (x^2 - 4)$

1. d) $(\frac{x}{2} - 6)^2$

Compléter les espaces vides pour que les égalités suivantes soient correctes :

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + \dots x + 16$

1. b) $(a - \dots)^2 = a^2 - 6a + 9$

1. c) $(y + 5)(y - 5) = y^2 - \dots$

Lors d'un contrôle de 4e, Lucie a résolu le développement de l'expression $(2x - 3)^2$ en écrivant directement : $4x^2 - 9$. Son professeur lui a indiqué que la réponse est erronée car elle contient deux erreurs de raisonnement dans cette seule étape.

1. a) Identifier les deux erreurs commises par Lucie (l'une portant sur le signe du dernier terme et l'autre sur les termes manquants dans le développement).
2. b) Appliquer la distributivité en multipliant $(2x - 3) \cdot (2x - 3)$ terme à terme pour lui expliquer clairement d'où vient chaque élément, puis écrire l'expression finale correcte et réduite.

Associer dans le cahier chaque identité remarquable à son expression développée correspondante :

• A. $(x + 2)^2$

• B. $(x - 2)^2$

• C. $(x + 2)(x - 2)$

• $x^2 - 4$

• $x^2 + 4x + 4$

• $x^2 - 4x + 4$

Les identités remarquables servent aussi à effectuer rapidement des calculs mentaux avec de grands nombres. Utiliser l'identité du produit d'une somme par une différence $(a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2$ pour calculer astucieusement les produits suivants :

1. a) $52 \cdot 48$ (Indice : considérer $50 + 2$ et $50 - 2$)

1. b) $99 \cdot 101$

1. c) $35 \cdot 25$

Nadia et Louis font leurs devoirs de mathématiques et ont commis quelques erreurs courantes. Identifier laquelle des égalités suivantes est incorrecte et la corriger dans le cahier en expliquant pourquoi elle est fausse :

1. a) $(x + 4)^2 = x^2 + 16$

1. b) $(x - 5) \cdot (x + 5) = x^2 - 25$

1. c) $(2a - 3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$

Une erreur très courante quand on débute avec les identités remarquables est de penser que le carré d'une somme est simplement la somme des carrés. Par exemple :

Est-il vrai que $(x + 3)^2 = x^2 + 3^2$ ?

Pour le vérifier, calculer la valeur numérique des deux expressions pour $x = 2$ et expliquer si les résultats sont égaux ou différents.

Recopier et compléter dans le cahier les termes manquants pour que ces expressions forment un trinôme carré parfait ou une différence de deux carrés :

1. a) $x^2 + 10x + \_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_)^2$

1. b) $25a^2 - \_\_\_\_ + 1 = (\_\_\_\_ - 1)^2$

1. c) $16x^2 - \_\_\_\_ = (\_\_\_\_ + 3y) \cdot (\_\_\_\_ - 3y)$

Une mairie veut aménager une nouvelle place carrée. Au centre se trouvera une zone de verdure, également carrée, entourée d'un chemin dallé de largeur constante.

Si le côté total de la place mesure $(3x + 2)$ mètres et le côté du jardin central mesure $(3x - 2)$ mètres, déterminer le polynôme réduit qui représente l'aire réservée uniquement au chemin dallé.

Pour calculer mentalement le résultat de l'opération $105^2 - 95^2$ sans calculatrice, Marc et Hélène proposent deux stratégies différentes :

• Méthode de Marc : effectuer séparément les deux multiplications classiques, $105 \cdot 105$ et $95 \cdot 95$, puis soustraire le second résultat du premier.

• Méthode d'Hélène : reconnaître que l'expression est une différence de deux carrés de la forme $a^2 - b^2$, la transformer en produit d'une somme par une différence et effectuer les opérations obtenues.

1. a) Appliquer la méthode proposée par Hélène en détaillant pas à pas le calcul numérique jusqu'à la valeur finale.
2. b) Comparer les deux méthodes et justifier pourquoi celle d'Hélène est beaucoup plus avantageuse, en analysant la difficulté des opérations intermédiaires de chaque démarche.

Calculer la valeur numérique de l'expression $E = (3x + 4y)^2 - (3x - 4y)^2$ pour $x = \frac{1}{3}$ et $y = 5$.

Conseil : simplifier l'expression littérale à l'aide des identités remarquables avant de remplacer les valeurs.

Simplifier les fractions algébriques suivantes en utilisant les identités remarquables pour factoriser le numérateur et le dénominateur :

1. a) $\frac{x^2 - 25}{x^2 + 10x + 25}$

1. b) $\frac{9x^2 - 12x + 4}{9x^2 - 4}$