Échelle des aires et des volumes

Deux figures planes sont semblables, avec un rapport d'agrandissement $k = 3$.

a) Par quel nombre les longueurs sont-elles multipliées ?

b) Par quel nombre l'aire est-elle multipliée ?

c) S'il s'agissait de solides, par quel nombre le volume serait-il multiplié ?

Deux carrés sont semblables, avec un rapport $k = 2$. Si le petit a un côté de $5$ cm :

a) Quelle est la longueur du côté du grand ?

b) Quelles sont les aires des deux carrés ?

Dire si ces affirmations sont vraies ou fausses, en justifiant :

a) Si je double les côtés d'un rectangle, je double son aire.

b) Le rapport des aires de deux figures semblables est le carré du rapport de similitude.

c) Si le rapport d'agrandissement de deux solides est $2$, le volume du grand est $8$ fois celui du petit.

d) Sur un plan à l'échelle $1:50$, un centimètre carré du plan représente $50\ \text{cm}^2$ réels.

Sur un plan à l'échelle $1:100$, une pièce occupe $12\ \text{cm}^2$. Quelle est son aire réelle ? L'exprimer en mètres carrés.

Une artiste peint une fresque à partir d'une esquisse de $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ en appliquant un rapport d'échelle $k = 8$.

a) Quelles seront les dimensions de la fresque ?

b) Quelle sera sa surface ?

c) Si un pot de peinture couvre $2\ \text{m}^2$, combien de pots faudra-t-il au minimum ?

a) Le rapport des aires de deux figures planes semblables est $9$. Quel est le rapport d'agrandissement ou de réduction entre leurs côtés ? Et le rapport entre leurs périmètres ?

b) Les volumes de deux solides semblables sont dans le rapport $\frac{27}{8}$. Quel est le rapport d'agrandissement ou de réduction ?

c) Les aires de deux parcelles semblables sont dans le rapport $\frac{1}{4}$. Quel est le rapport de leurs côtés ?

Un cube a une arête de $4$ cm et un autre cube, semblable au premier, a une arête deux fois plus longue.

a) Quel est le volume de chaque cube ?

b) Combien de fois le volume du grand cube est-il plus grand que celui du petit ?

Pour la maquette d'un quartier, on a construit deux petites maisons semblables avec un rapport d'agrandissement $1,5$. La petite maison a nécessité $7,2\ \text{dm}^2$ de carton et son volume intérieur est de $6,4$ litres.

a) Quelle quantité de carton faudra-t-il pour la grande maison ?

b) Quel sera son volume intérieur ?

Observer les deux cubes de la figure : le petit a une arête de $2$ cm et le grand, de $6$ cm. Le volume du petit cube est $8\ \text{cm}^3$.

a) Quel est le rapport d'agrandissement ?

b) Calculer le volume du grand cube sans utiliser la formule du volume du cube, à partir du volume du petit.

c) Si l'aire totale du petit cube est $24\ \text{cm}^2$, quelle est l'aire totale du grand ?

Un projecteur forme un carré de $1,5$ m de côté sur un écran situé à $3$ m. Lorsqu'on éloigne l'écran jusqu'à $6$ m, l'image reste carrée, comme le montre la figure.

a) Quel est le rapport d'agrandissement entre les deux images ? Combien mesure le côté du carré à $6$ m ?

b) Combien de fois l'aire de l'image éloignée est-elle plus grande que celle de l'image proche ?

c) Comme la même quantité de lumière se répartit sur toute la surface, avec quelle fraction de luminosité par mètre carré voit-on l'image à $6$ m par rapport à $3$ m ?

d) À quelle distance faudrait-il placer l'écran pour que l'aire de l'image soit $9$ fois l'aire initiale ?

On agrandit une photo de $40\ \text{cm}^2$ avec une photocopieuse à $150\%$. Quelle est l'aire de l'agrandissement ?

Sur une maquette à l'échelle $1:50$, un réservoir a un volume de $80\ \text{cm}^3$. Quel est le volume du réservoir réel ? L'exprimer en mètres cubes.

Deux aquariums sont semblables : le petit mesure $40$ cm de long et le grand $80$ cm.

a) Quel est le rapport d'agrandissement ?

b) Si le verre du petit aquarium a coûté $30\text{ €}$, combien coûtera celui du grand, au même prix par unité de surface ?

c) Si remplir d'eau le petit coûte $5\text{ €}$, combien coûtera le remplissage du grand ?

Sur le plan d'un lotissement, dessiné à l'échelle $1:75$, un jardin rectangulaire occupe $96\ \text{cm}^2$. Quelle est la surface réelle du jardin en mètres carrés ?

Une entreprise de déménagement veut « doubler la capacité » de ses cartons cubiques et décide de les fabriquer avec une arête deux fois plus longue. Le patron affirme : « Comme ça, il y rentrera deux fois plus de choses ».

a) Expliquer l'erreur du patron.

b) Combien de fois plus de capacité le nouveau carton aura-t-il réellement ?

c) Si le petit carton a un volume de $27\ \text{dm}^3$, quel sera le volume du nouveau ?

Deux réservoirs cylindriques sont semblables et le rapport de leurs hauteurs est $2$. Remplir d'eau le petit réservoir coûte $15\text{ €}$ et peindre sa surface extérieure coûte $40\text{ €}$.

a) Combien coûtera le remplissage d'eau du grand réservoir ?

b) Combien coûtera la peinture de sa surface extérieure ?

c) Un ouvrier affirme que « tout coûtera le double, parce que le réservoir est deux fois plus grand ». Corriger son affirmation à l'aide des résultats précédents et expliquer pourquoi il se trompe.

Défi du thème. As-tu déjà voulu calculer la hauteur d'un élément de ton environnement sans monter dessus et prévoir sa réplique ? Deviens géomètre et concepteur technique depuis chez toi.

1. Relevé de données et Thalès : par une journée ensoleillée, mesure avec un mètre ta taille ($h_1$) et la longueur de ton ombre ($s_1$). Mesure en même temps l'ombre projetée par un grand objet proche ($s_2$, comme un lampadaire ou un arbre). En appliquant les triangles semblables et le théorème de Thalès, déduis sa hauteur réelle ($h_2$).

2. Application de Pythagore : en prenant $s_2$ et $h_2$ comme côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, applique le théorème de Pythagore pour trouver la distance réelle entre le sommet de l'objet et l'extrémité de son ombre.

3. Échelles dans un tableur : imagine une maquette à l'échelle $1:20$ ($k = 0,05$). Dans un tableur (ou GeoGebra), tabule les mesures réelles et celles de la maquette. Calcule l'échelle des aires ($k^2$) pour estimer la surface de matériau que tu utiliserais et l'échelle des volumes ($k^3$) pour comparer la capacité ou la masse de la réplique par rapport à l'original.

Rédige un court compte rendu avec tes données, tes calculs justifiés et une capture de ton tableur.

Seront évalués :

• La rigueur géométrique dans l'application de Thalès et de Pythagore avec des mesures prises par toi.

• La déduction correcte et l'utilisation des échelles $k$, $k^2$ et $k^3$ dans le tableur.

• La clarté, l'ordre et la justification mathématique dans le compte rendu final.

Observer les deux rectangles semblables de la figure.

a) Vérifier que le rapport d'agrandissement est $3$.

b) Si l'aire du petit rectangle est $8\ \text{cm}^2$, quelle est l'aire du grand ?

Une sculpture et sa miniature souvenir sont semblables, avec un rapport d'agrandissement $5$.

a) Si l'on utilise $120$ mL de peinture pour peindre la miniature, combien de litres faudra-t-il pour peindre la sculpture ?

b) Si la miniature pèse $2$ kg et que les deux sont faites du même matériau, quelle est la masse de la sculpture ?