Puissances de nombres rationnels

Calculer la valeur numérique des puissances suivantes. Rappel : il faut élever le numérateur et le dénominateur à l'exposant indiqué. Exprimer le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

1. $\left( \frac{2}{3} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{5} \right)^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4$

4. $\left( \frac{10}{7} \right)^0$

On dispose d'un petit carreau carré pour une mosaïque. Le côté du carreau mesure $\frac{2}{5}$ de mètre. Calculer l'aire de ce carreau en exprimant le résultat sous la forme d'une fraction.

S'aider du schéma suivant :

On confond parfois la taille des fractions lorsqu'on les élève à une puissance. Observer le graphique suivant qui représente l'unité, $\left(\frac{1}{2}\right)^1$ et $\left(\frac{1}{2}\right)^2$.

En s'appuyant sur la logique précédente, ranger les puissances suivantes de la plus petite à la plus grande :

$$ \left( \frac{1}{3} \right)^2, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^1, \quad \left( \frac{1}{3} \right)^3 $$

En mathématiques, on a parfois besoin de changer le signe de l'exposant pour pouvoir calculer. Transformer les puissances suivantes pour qu'elles aient un exposant positif, en inversant la base lorsque c'est nécessaire. Il n'est pas nécessaire de calculer le résultat final, il suffit d'exprimer la puissance transformée.

1. $\left( \frac{4}{5} \right)^{-2}$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{-4}$

3. $5^{-3}$

4. $\left( -\frac{2}{7} \right)^{-3}$

Calculer la valeur des puissances suivantes en les transformant d'abord en puissances d'exposant positif. Rappel : le résultat doit être une fraction irréductible.

1. a) $(\frac{3}{5})^{-2}$
2. b) $(\frac{-2}{3})^{-3}$
3. c) $-( \frac{1}{4} )^{-2}$
4. d) $(\frac{10}{3})^{-1}$

Déterminer le signe (positif ou négatif) du résultat des puissances suivantes sans effectuer le calcul complet. Justifier la réponse en s'appuyant sur le signe de la base et sur la parité de l'exposant.

1. $\left( -\frac{1}{2} \right)^4$

2. $\left( -\frac{3}{4} \right)^3$

3. $\left( \frac{5}{2} \right)^{-2}$

4. $\left( -\frac{2}{3} \right)^{-5}$

Calculer les puissances suivantes, qui ont le même exposant mais des bases différentes. Rappel : on peut d'abord multiplier les bases puis élever le résultat à l'exposant commun. Exprimer le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.

1. $\left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^3$

2. $\left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot 6^2$

3. $\left( \frac{3}{2} \right)^4 : \left( \frac{1}{2} \right)^4$

Déterminer la valeur de $x$ dans chacune des égalités suivantes pour qu'elles soient vraies. Penser aux propriétés des puissances de même base.

1. a) $(\frac{1}{2})^x = 32$
2. b) $(\frac{3}{5})^4 \cdot (\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^{-1}$
3. c) $[(\frac{2}{9})^x]^2 = (\frac{2}{9})^{10}$

Utiliser les propriétés des puissances pour simplifier les expressions suivantes. Le résultat doit être exprimé sous la forme d'une unique puissance (il n'est pas nécessaire de calculer la valeur finale).

1. $\left( \frac{3}{4} \right)^5 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2$

2. $\left( \frac{2}{5} \right)^7 : \left( \frac{2}{5} \right)^4$

3. $\left( \frac{1}{2} \right)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)$

4. $\left[ \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right]^4$

Utiliser les propriétés des puissances pour simplifier les expressions suivantes et écrire le résultat sous la forme d'une unique puissance de base rationnelle. Il n'est pas nécessaire de calculer la valeur finale, uniquement la puissance simplifiée.

1. a) $(\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{2}{7})^5 : (\frac{2}{7})^{-2}$
2. b) $[(\frac{1}{5})^2]^{-3} \cdot (\frac{1}{5})^4$
3. c) $(\frac{2}{3})^4 \cdot (\frac{6}{5})^4$

On dispose d'une balle en caoutchouc spéciale. À chaque rebond sur le sol, elle atteint une hauteur égale à $\frac{2}{3}$ de la hauteur précédente.

On lâche la balle d'une hauteur de 2 mètres :

1. a) Exprimer à l'aide d'une puissance la hauteur atteinte après le quatrième rebond.
2. b) Cette hauteur est-elle supérieure ou inférieure à 0,3 mètre ? Justifier la réponse en calculant la puissance.