Vitesse, débit et unités
Lucas part de Tours à vélo et arrive à Orléans trois heures et demie plus tard. Sa montre affiche 115 km parcourus. Roulait-il vite ? Pour comparer avec un TGV à $80\ \text{m/s}$, il faut d'abord parler la même langue : celle des unités. Nous reviendrons sur cette question à la fin.
Convertir des unités de volume et de capacité
Un volume se mesure en m³, dm³, cm³… et une capacité en litres. Le lien à connaître est simple : 1 dm³ = 1 L.
Quand on passe de m à dm, on multiplie les longueurs par 10. Pour un volume, on multiplie trois fois par 10 : c'est pourquoi chaque marche vaut 1 000.
Les sous-multiples du litre : $1\ \text{L} = 10\ \text{dL} = 100\ \text{cL} = 1\,000\ \text{mL}$. Et $1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3$.
Effectuer les conversions : a) $3,5$ m³ en L b) $2\,500$ L en m³ c) $45$ cL en L d) $0,8$ dm³ en cm³
Effectuer les conversions :
- a) $3,5$ m³ en L
- b) $2\,500$ L en m³
- c) $45$ cL en L
- d) $0,8$ dm³ en cm³
Une piscine a la forme d'un pavé droit de $10$ m de long, $5$ m de large et $1,8$ m de profondeur. a) Calculer son volume en m³ puis en litres. b) Elle est remplie par…
Une piscine a la forme d'un pavé droit de $10$ m de long, $5$ m de large et $1,8$ m de profondeur.
- a) Calculer son volume en m³ puis en litres.
- b) Elle est remplie par un tuyau de débit $25$ L/min. Combien de temps faut-il, en heures et minutes ?
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne d'un déplacement est la distance parcourue divisée par la durée :
$$v = \frac{d}{t} \qquad d = v \times t \qquad t = \frac{d}{v}$$Une vitesse est une grandeur composée : son unité est un quotient (km/h, m/s). Pour que la formule marche, les unités doivent être cohérentes : distance en km et durée en h donnent des km/h.
Pour passer des km/h aux m/s : $1\ \text{km/h} = \dfrac{1\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}}$. Donc on divise par $3{,}6$ pour aller de km/h à m/s, et on multiplie par $3{,}6$ dans l'autre sens.
Un train roule à vitesse constante et parcourt $270$ km en $1,5$ h. a) Calculer sa vitesse moyenne en km/h. b) Convertir cette vitesse en m/s.
Un train roule à vitesse constante et parcourt $270$ km en $1,5$ h.
- a) Calculer sa vitesse moyenne en km/h.
- b) Convertir cette vitesse en m/s.
Une cycliste roule de Tours à Orléans, soit $115$ km. Elle part à $8$ h $15$ et arrive à $11$ h $45$. a) Calculer la durée du trajet en heures. b) Calculer sa vitesse…
Une cycliste roule de Tours à Orléans, soit $115$ km. Elle part à $8$ h $15$ et arrive à $11$ h $45$.
- a) Calculer la durée du trajet en heures.
- b) Calculer sa vitesse moyenne en km/h, arrondie au dixième.
- c) Exprimer cette vitesse en m/s, arrondie au dixième.
Débit et grandeurs quotients
Le débit est le volume écoulé par unité de temps : $D = \dfrac{V}{t}$, en L/min, L/s, m³/s…
On retrouve la même structure que pour la vitesse :
$$V = D \times t \qquad t = \frac{V}{D}$$D'autres grandeurs fonctionnent de la même façon : la consommation d'une voiture (L pour $100$ km) ou un prix au kilo. Dans tous les cas, c'est une situation de proportionnalité, qu'on résout avec un produit en croix ou avec le quotient.
Un robinet a un débit de $12$ L/min. a) Quel volume d'eau coule en $15$ minutes ? b) Combien de temps faut-il pour remplir un seau de $9$ L ?
Un robinet a un débit de $12$ L/min.
- a) Quel volume d'eau coule en $15$ minutes ?
- b) Combien de temps faut-il pour remplir un seau de $9$ L ?
Une voiture consomme $6,4$ L de carburant pour $100$ km. Le litre coûte $1,85$ €. a) Quel est le coût du carburant pour un trajet Paris–Lyon de $465$ km ? b) Quelle…
Une voiture consomme $6,4$ L de carburant pour $100$ km. Le litre coûte $1,85$ €.
- a) Quel est le coût du carburant pour un trajet Paris–Lyon de $465$ km ?
- b) Quelle distance peut-on parcourir avec $40$ L ?
Problèmes à plusieurs étapes
Dans un problème plus long, on suit toujours la même méthode : convertir, calculer, vérifier. Souvent, on enchaîne volume, débit et durée.
Pour une cuve cylindrique, on rappelle $V = \pi r^2 h$ avec $r$ et $h$ dans la même unité. Si $r$ et $h$ sont en m, $V$ est en m³ : on convertit ensuite en litres.
Pour deux mobiles qui roulent l'un vers l'autre, les distances parcourues s'additionnent : les deux trains se rapprochent à la vitesse $v_1 + v_2$.
Un automobiliste parcourt $180$ km. Il roule les $120$ premiers km à $90$ km/h puis le reste à $60$ km/h. a) Calculer la durée de chaque partie du trajet. b) Calculer sa…
Un automobiliste parcourt $180$ km. Il roule les $120$ premiers km à $90$ km/h puis le reste à $60$ km/h.
- a) Calculer la durée de chaque partie du trajet.
- b) Calculer sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet.
- c) Pourquoi cette vitesse moyenne n'est-elle pas égale à la moyenne de $90$ et $60$ ?
Une cuve cylindrique a un rayon de $1,5$ m et une hauteur de $2$ m. a) Calculer son volume exact en m³, puis en litres arrondi à l'unité. b) Elle se vide par un orifice…
Une cuve cylindrique a un rayon de $1,5$ m et une hauteur de $2$ m.
- a) Calculer son volume exact en m³, puis en litres arrondi à l'unité.
- b) Elle se vide par un orifice dont le débit est de $0,8$ L/s. Combien de temps faut-il pour la vider, en heures et minutes, arrondi à la minute près ?
- c) Au bout d'une heure, quelle hauteur d'eau reste-t-il dans la cuve, au centimètre près ?
Deux trains partent en même temps de deux gares distantes de $420$ km et roulent l'un vers l'autre sur deux voies parallèles, à $120$ km/h et $90$ km/h. a) Au bout de…
Deux trains partent en même temps de deux gares distantes de $420$ km et roulent l'un vers l'autre sur deux voies parallèles, à $120$ km/h et $90$ km/h.
- a) Au bout de combien de temps se croisent-ils ?
- b) À quelle distance de la première gare se croisent-ils ?
- c) Un oiseau vole de l'un à l'autre à $60$ km/h jusqu'à leur croisement. Quelle distance parcourt-il ?
Retour au début : Lucas a roulé $115$ km en $3{,}5$ h, soit environ $32{,}9\ \text{km/h}$, c'est-à-dire $\approx 9{,}1\ \text{m/s}$. Le TGV à $80\ \text{m/s}$ roule donc près de $9$ fois plus vite.