Statistiques et probabilités au brevet

Voici les notes obtenues par $10$ élèves à un contrôle de mathématiques :

$12$ ; $15$ ; $9$ ; $14$ ; $10$ ; $8$ ; $16$ ; $12$ ; $14$ ; $10$.

Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer la moyenne de ces notes.

2. Déterminer la médiane de cette série.

3. Calculer l'étendue de cette série.

4. Quelle est la fréquence, en pourcentage, des élèves ayant obtenu une note supérieure ou égale à $12$ ?

On a demandé aux $40$ élèves d'une classe combien ils ont de frères et sœurs. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Vérifier que l'effectif total est bien égal à $40$.

2. Quelle est la fréquence, en pourcentage, des élèves ayant exactement deux frères et sœurs ?

3. Calculer le nombre moyen de frères et sœurs par élève.

4. Déterminer la médiane de cette série.

5. Calculer l'étendue de cette série.

Le temps de trajet entre le domicile et le collège a été relevé pour $50$ élèves. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Vérifier que l'effectif total est égal à $50$.

2. Quel pourcentage d'élèves met moins de $15$ minutes pour venir au collège ?

3. On représente cette série par un histogramme. Le rectangle correspondant à la classe $[10\ ;\ 15[$ a une hauteur de $9\ \text{cm}$.

a) Pourquoi les hauteurs des rectangles sont-elles proportionnelles aux effectifs ?

b) Calculer la hauteur du rectangle correspondant à la classe $[5\ ;\ 10[$.

1. En prenant le centre de chaque classe, calculer une estimation du temps de trajet moyen.

Toutes les réponses doivent être justifiées.

Partie A

La classe de 3e A compte $24$ élèves et sa moyenne au dernier devoir surveillé est de $12{,}5$. La classe de 3e B compte $6$ élèves et sa moyenne est de $10{,}5$.

1. Calculer la moyenne des $30$ élèves des deux classes réunies.

Partie B

Au cours d'un contrôle, sept élèves ont obtenu les notes suivantes : $6$ ; $8$ ; $11$ ; $11$ ; $13$ ; $15$ et $x$. La moyenne de ces sept notes est égale à $11$.

1. a) Calculer la valeur de $x$.

b) Déterminer la médiane de cette série de sept notes.

c) Calculer l'étendue de cette série.

1. Un élève affirme : « La moitié des élèves a une note strictement supérieure à la moyenne. » A-t-il raison ?

Un sac contient $4$ jetons rouges, $3$ jetons bleus et $5$ jetons verts, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer la probabilité de tirer un jeton bleu.

2. Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge ou un jeton vert.

3. Calculer la probabilité de ne pas tirer un jeton vert.

4. Quelle est la probabilité de tirer un jeton jaune ? Comment appelle-t-on cet événement ?

Un sac contient $24$ boules rouges, vertes ou bleues, indiscernables au toucher. La probabilité de tirer une boule rouge est $\dfrac{1}{3}$ et celle de tirer une boule verte est $\dfrac{1}{4}$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Montrer que le sac contient $8$ boules rouges, $6$ boules vertes et $10$ boules bleues.

2. Calculer la probabilité de tirer une boule bleue.

3. On retire toutes les boules bleues du sac. Quelle est alors la probabilité de tirer une boule rouge ?

4. On remet les boules bleues dans le sac. On y ajoute ensuite des boules rouges de façon que la probabilité de tirer une boule rouge devienne égale à $\dfrac{1}{2}$. Combien de boules rouges a-t-on ajoutées ?

On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de $1$ à $6$ et on additionne les deux nombres obtenus. On pourra utiliser un tableau à double entrée. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Combien y a-t-il d'issues possibles pour cette expérience ?

2. Calculer la probabilité d'obtenir une somme égale à $8$.

3. Calculer la probabilité d'obtenir une somme supérieure ou égale à $10$.

4. Calculer la probabilité d'obtenir un double, c'est-à-dire deux nombres identiques.

5. Calculer la probabilité d'obtenir une somme qui est un nombre premier.

Un jeu utilise deux roues. La première roue est partagée en $3$ secteurs identiques numérotés $1$, $2$ et $3$. La seconde roue est partagée en $4$ secteurs identiques numérotés $1$, $2$, $3$ et $4$. On fait tourner chaque roue et on lit le numéro désigné. On note le produit des deux numéros obtenus. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Construire le tableau à double entrée des produits possibles. Combien y a-t-il d'issues ?

2. Calculer la probabilité que le produit soit un nombre pair.

3. En déduire la probabilité que le produit soit un nombre impair.

4. Calculer la probabilité que le produit soit supérieur ou égal à $6$.

5. Pierre affirme : « Il y a une chance sur deux que le produit soit un multiple de $3$. » A-t-il raison ?

Pour étudier un dé équilibré à six faces, un élève simule avec un tableur $500$ lancers. Il obtient les résultats suivants :

Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Vérifier que le nombre total de lancers simulés est bien $500$.

2. Calculer la fréquence d'apparition de la face $4$. L'exprimer en pourcentage.

3. Quelle est la probabilité théorique d'obtenir la face $4$ ? Comparer avec la fréquence obtenue.

4. Calculer la moyenne des $500$ valeurs obtenues. La comparer à $3{,}5$.

5. Quelle formule peut-on écrire dans une cellule du tableur pour simuler un lancer de ce dé ?

6. Que peut-on attendre des fréquences si on simule $10\ 000$ lancers au lieu de $500$ ?