Équations, équations produit et problèmes
Lucas hésite entre deux abonnements de sport à Nantes. L'un coûte une inscription de 60 € puis 15 € par mois, l'autre 25 € par mois sans inscription. À partir de combien de mois le premier est-il plus avantageux ? Pour répondre, il faut savoir écrire une équation, puis la résoudre.
Équations du premier degré
Une équation est une égalité contenant une inconnue, souvent notée $x$. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions.
Pense à une balance en équilibre : si tu fais la même opération des deux côtés, elle reste en équilibre. C'est ce qui justifie la méthode.
Avec des parenthèses, on commence par développer : $5(x-2)=3x+4$ devient $5x-10=3x+4$, puis $2x=14$ et $x=7$.
Autre exemple avec des $x$ dans les deux membres : $7x-4=2x+11$. On soustrait $2x$ : $5x-4=11$. On ajoute $4$ : $5x=15$, donc $x=3$.
Résoudre les équations : a) $3x+5=20$ b) $7x-4=2x+11$ c) $\dfrac{x}{4}-1=2$ d) $5(x-2)=3x+4$
Résoudre les équations :
- a) $3x+5=20$
- b) $7x-4=2x+11$
- c) $\dfrac{x}{4}-1=2$
- d) $5(x-2)=3x+4$
Équations produit
Un produit de deux nombres est nul si, et seulement si, l'un de ces deux nombres est nul. C'est la clé pour résoudre $(x-3)(x+5)=0$.
Pour $x(3x-6)=0$, les facteurs sont $x$ et $3x-6$ : on obtient $x=0$ ou $x=2$.
Se ramener à une équation produit
Si l'équation n'est pas déjà un produit, on factorise : on met en facteur, ou on utilise l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Pour résoudre $x^2+6x=0$ : $x(x+6)=0$, donc $x=0$ ou $x=-6$.
Résoudre les équations : a) $(x-3)(x+5)=0$ b) $(2x+1)(x-4)=0$ c) $x(3x-6)=0$
Résoudre les équations :
- a) $(x-3)(x+5)=0$
- b) $(2x+1)(x-4)=0$
- c) $x(3x-6)=0$
Résoudre les équations : a) $x^2-9=0$ en factorisant b) $(x+2)^2-16=0$ c) $x^2+6x=0$ d) $4x^2-12x+9=0$
Résoudre les équations :
- a) $x^2-9=0$ en factorisant
- b) $(x+2)^2-16=0$
- c) $x^2+6x=0$
- d) $4x^2-12x+9=0$
Équations $x^2=a$
Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul. Cela donne trois cas.
| Cas | Solutions |
|---|---|
| $a>0$ | deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ |
| $a=0$ | une solution : $0$ |
| $a<0$ | aucune solution |
Ainsi $x^2=49$ a pour solutions $7$ et $-7$ ; $x^2=7$ a pour solutions $\sqrt7$ et $-\sqrt7$ (valeurs exactes) ; $x^2=-4$ n'a aucune solution.
Résoudre les équations : a) $x^2=49$ b) $x^2=7$ c) $x^2=-4$ d) $x^2-25=0$
Résoudre les équations :
- a) $x^2=49$
- b) $x^2=7$
- c) $x^2=-4$
- d) $x^2-25=0$
Mettre un problème en équation
Pour résoudre un problème, on suit toujours les mêmes étapes.
Un exemple d'amortissement : un récupérateur d'eau coûte $480$ € et fait économiser $0{,}004$ € par litre. Avec $90\,000$ L par an, l'économie annuelle est $90\,000\times0{,}004=360$ €. Il est amorti quand $360n=480$, donc $n=\dfrac{480}{360}=\dfrac43\approx1{,}33$ an : au bout de 2 années entières, l'économie dépasse le prix d'achat.
Dans un club de sport de Nantes, l'abonnement A coûte $15$ € par mois plus $60$ € d'inscription, l'abonnement B coûte $25$ € par mois sans inscription. a) Exprimer le…
Dans un club de sport de Nantes, l'abonnement A coûte $15$ € par mois plus $60$ € d'inscription, l'abonnement B coûte $25$ € par mois sans inscription.
- a) Exprimer le coût de chaque abonnement pour $n$ mois.
- b) Résoudre l'équation traduisant l'égalité des coûts.
- c) Quel abonnement choisir pour une année ? Justifier.
Un récupérateur d'eau de pluie coûte $480$ € à l'achat et à l'installation. Il permet d'économiser $0,004$ € par litre d'eau du réseau non consommé. Une famille de…
Un récupérateur d'eau de pluie coûte $480$ € à l'achat et à l'installation. Il permet d'économiser $0,004$ € par litre d'eau du réseau non consommé. Une famille de Rennes récupère en moyenne $90\,000$ L par an.
- a) Calculer l'économie annuelle réalisée.
- b) Écrire l'équation pour déterminer le nombre $n$ d'années à partir duquel l'investissement est amorti, puis la résoudre.
- c) Conclure par une phrase.
Un terrain rectangulaire a une longueur égale à $x+5$ et une largeur égale à $x$ (en mètres). On augmente chaque dimension de $3$ m ; l'aire augmente alors de $96$ m².…
Un terrain rectangulaire a une longueur égale à $x+5$ et une largeur égale à $x$ (en mètres). On augmente chaque dimension de $3$ m ; l'aire augmente alors de $96$ m².
- a) Écrire l'équation vérifiée par $x$.
- b) La résoudre et donner les dimensions initiales du terrain.
- c) Quel est le périmètre du nouveau terrain ?
Factoriser pour résoudre
Dans les problèmes plus difficiles, l'équation est écrite avec des carrés. On la factorise pour obtenir une équation produit.
Autre exemple : une bordure d'aire $x^2-(x-6)^2=(x-(x-6))(x+(x-6))=6(2x-6)=12x-36$. Elle vaut $108$ cm² quand $12x-36=108$, donc $12x=144$ et $x=12$. Elle égale l'aire du carré intérieur si $12x-36=(x-6)^2$, soit $12x-36=x^2-12x+36$, donc $x^2-24x+72=0$ : on se ramène ainsi à une équation du second degré, que l'on étudie en factorisant ou en utilisant une identité remarquable.
Soit $E=(2x-3)^2-(x+1)^2$. a) Factoriser $E$. b) Résoudre l'équation $E=0$. c) Développer $E$ et vérifier que, pour $x=4$, les deux écritures donnent le même résultat.
Soit $E=(2x-3)^2-(x+1)^2$.
- a) Factoriser $E$.
- b) Résoudre l'équation $E=0$.
- c) Développer $E$ et vérifier que, pour $x=4$, les deux écritures donnent le même résultat.
Une entreprise de Toulouse fabrique des cadres carrés. Un cadre de côté $x$ cm (avec $x>6$) est formé d'un carré extérieur dont on retire un carré intérieur de côté…
Une entreprise de Toulouse fabrique des cadres carrés. Un cadre de côté $x$ cm (avec $x>6$) est formé d'un carré extérieur dont on retire un carré intérieur de côté $x-6$.
- a) Exprimer l'aire de la bordure en fonction de $x$ et montrer qu'elle vaut $12x-36$.
- b) Pour quelle valeur de $x$ l'aire de la bordure est-elle égale à $108$ cm² ?
- c) Existe-t-il une valeur de $x$ pour laquelle l'aire de la bordure est égale à l'aire du carré extérieur ? Justifier par une équation produit.
Retour au début : au bout de 6 mois, les deux abonnements coûtent autant ; au-delà, l'abonnement A est plus avantageux.