Utilisation de la calculatrice en trigonométrie

Avant d'utiliser la calculatrice, il est utile d'anticiper l'ordre de grandeur du résultat pour détecter d'éventuelles erreurs de saisie ou de mode angulaire.

1. a) Sans calculatrice, sachant que $\sin 30^\circ = 0,5$ et $\sin 45^\circ \approx 0,7071$, estimer en justifiant si $\sin 35^\circ$ sera plus proche de $0,55$ ou de $0,65$.
2. b) Sachant que $\tan 45^\circ = 1$ et que la tangente augmente quand l'angle se rapproche de $90^\circ$, estimer si $\tan 50^\circ$ sera légèrement supérieure à $1$ (par exemple autour de $1,2$) ou bien très supérieure (autour de $3$).
3. c) Vérifier maintenant vos estimations en calculant $\sin 35^\circ$ et $\tan 50^\circ$ avec la calculatrice en mode DEG (arrondi à quatre décimales). Comparer les valeurs obtenues avec vos prévisions et dire si vos raisonnements étaient corrects.

Calculer, à l'aide de la calculatrice et en arrondissant à quatre décimales, la valeur des rapports trigonométriques suivants : $\sin 34^\circ$, $\cos 78^\circ$ et $\tan 12^\circ$.

Calculer la valeur numérique de l'expression trigonométrique suivante, en arrondissant le résultat final à deux décimales :

$E = \frac{\sin 35^\circ + \cos 55^\circ}{\tan 40^\circ}$

Vérifier numériquement l'identité fondamentale $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ pour un angle $\alpha = 37^\circ 42' 15''$. Écrire les valeurs intermédiaires du sinus et du cosinus arrondies à quatre décimales avant de les élever au carré et de les additionner.

Déterminer la valeur des rapports trigonométriques suivants, en donnant le résultat avec trois décimales. Veiller à saisir correctement les degrés, minutes et secondes dans la calculatrice : $\sin(45^\circ 12' 30'')$, $\cos(12^\circ 5')$ et $\tan(89^\circ 0' 10'')$.

Un géomètre mesure un angle d'inclinaison de $14^\circ 25'$ sur un versant. Calculer la tangente de cet angle avec quatre décimales pour connaître le coefficient de pente du terrain.

Utiliser la fonction inverse de la calculatrice pour trouver l'angle aigu $\alpha$, exprimé en degrés, minutes et secondes, sachant que $\sin \alpha = 0,456$.

Déterminer l'angle aigu $\beta$ en degrés, minutes et secondes, sachant que sa tangente est $\tan \beta = 2,15$.

Sur une rampe de chargement d'un entrepôt, la longueur totale de la rampe est de $15 \text{ m}$ et la hauteur verticale franchie est de $2,5 \text{ m}$. Calculer l'angle d'inclinaison de la rampe par rapport à l'horizontale, en l'exprimant en degrés et minutes.

Dans un projet d'architecture, un toit a une pente de $28\%$. Sachant que le pourcentage de pente est égal à la tangente de l'angle d'inclinaison multipliée par $100$, utiliser la calculatrice pour déterminer cet angle en degrés, minutes et secondes.

Une antenne de téléphonie projette une ombre de $34,5 \text{ m}$ sur le sol horizontal lorsque le soleil se trouve à un angle d'élévation de $42^\circ 15'$. Calculer la hauteur de l'antenne en arrondissant à une décimale.

Sur le réseau routier français, la Sécurité routière utilise des panneaux de danger indiquant des pentes prononcées en pourcentage. Dans un col des Pyrénées, un tronçon présente un panneau de descente à $14\%$, ce qui signifie que la chaussée descend de $14\text{ m}$ pour $100\text{ m}$ d'avancée à l'horizontale.

1. a) Modéliser la pente par un triangle rectangle et écrire le rapport trigonométrique qui permet de déterminer l'angle d'inclinaison $\alpha$ du tronçon par rapport à l'horizontale.
2. b) Utiliser la calculatrice en mode DEG pour calculer $\alpha$ en degrés décimaux, puis l'exprimer en degrés, minutes et secondes.
3. c) Le système de freinage automatique d'un véhicule importé nécessite l'angle programmé en radians. Convertir l'angle $\alpha$ en radians avec quatre décimales en multipliant par le facteur approprié. Vérifier ensuite le résultat en réglant la calculatrice en mode RAD et en recalculant directement le rapport inverse. Expliquer ce qui se passerait dans le calcul si un technicien oubliait de repasser la calculatrice du mode RAD au mode DEG lors de mesures ultérieures.

Calculer, en arrondissant à trois décimales, la valeur des rapports trigonométriques inverses $\sec 55^\circ$, $\csc 20^\circ$ et $\cot 70^\circ$, c'est-à-dire $\dfrac{1}{\cos 55^\circ}$, $\dfrac{1}{\sin 20^\circ}$ et $\dfrac{1}{\tan 70^\circ}$ (les notations sécante, cosécante et cotangente sont peu utilisées en France). Penser à utiliser les relations inverses fondamentales avec la calculatrice.

Exprimer en radians les angles suivants donnés en degrés, en utilisant la valeur de $\pi$ de la calculatrice et en arrondissant à trois décimales : $40^\circ$, $115^\circ$ et $250^\circ$.

Évaluer l'expression trigonométrique suivante en supposant que les angles sont donnés en radians :

$M = \sin(1,5) \cdot \cos(0,5) - \tan(0,8)$.

Donner le résultat final arrondi à trois décimales.

Résoudre l'équation trigonométrique $3 \sin x - 2 = 0$ en utilisant la calculatrice pour trouver toutes les valeurs possibles de l'angle $x$ comprises entre $0^\circ$ et $360^\circ$. Donner les résultats finaux en degrés et minutes.