Exercices: Trigonométrie dans le triangle rectangle

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Pour l'angle $\widehat{B}$, nommer le côté adjacent, le côté opposé et l'hypoténuse, puis écrire $\cos\widehat{B}$, $\sin\widehat{B}$ et $\tan\widehat{B}$ sous forme de quotients de longueurs.

Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$, avec $FG = 10$ cm et $\widehat{F} = 40°$.

Calculer $EF$ et $EG$ au millimètre près.

Le triangle $IJK$ est rectangle en $I$ avec $IJ = 5$ cm et $IK = 7$ cm.

Calculer la mesure de l'angle $\widehat{J}$ au degré près.

Une rampe d'accès d'un gymnase à Lyon mesure $6$ m de long et fait un angle de $5°$ avec l'horizontale.

1. a) Calculer la hauteur dont elle s'élève, au centimètre près.

1. b) Calculer la longueur horizontale qu'elle occupe au sol, au centimètre près.

À Bordeaux, Camille se place à $25$ m du pied d'un immeuble. Elle voit le sommet sous un angle de $52°$ par rapport à l'horizontale. Ses yeux sont à $1,60$ m du sol.

Calculer la hauteur de l'immeuble au mètre près.

Un toit symétrique a une base de $9$ m et une hauteur au faîtage de $2,5$ m. Chaque versant est un côté d'un triangle isocèle.

1. a) Calculer l'angle que fait un versant avec l'horizontale, au degré près.

1. b) Calculer la longueur d'un versant, au décimètre près.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a $\cos\widehat{B} = \dfrac{3}{5}$ et $BC = 20$ cm.

1. a) Calculer $AB$ puis $AC$.

1. b) Calculer $\tan\widehat{B}$.

1. c) Montrer que $\cos^2\widehat{B}+\sin^2\widehat{B}=1$ dans ce cas.

Depuis le sommet d'un phare de $40$ m de haut, on voit deux bateaux alignés avec le pied du phare, du même côté, sous des angles de dépression de $15°$ et de $30°$ par rapport à l'horizontale.

1. a) Calculer la distance de chaque bateau au pied du phare, au mètre près.

1. b) En déduire la distance entre les deux bateaux.

Dans le triangle $ABC$, la hauteur $[AH]$ vérifie $H\in[BC]$, $AH = 6$ cm, $\widehat{B}=35°$ et $\widehat{C}=50°$.

1. a) Calculer $BH$ et $HC$ au millimètre près.

1. b) En déduire $BC$ et l'aire du triangle $ABC$ au cm² près.

1. c) Le triangle $ABC$ est-il rectangle ? Justifier.