Calcul numérique, puissances, pourcentages et grandeurs

Fractions et nombres décimaux

Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les met au même dénominateur. Pour multiplier, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.

Une fraction est irréductible quand on ne peut plus simplifier : on divise le numérateur et le dénominateur par leurs diviseurs communs (ou on simplifie avant de multiplier).

Pour comparer des nombres, écris-les sous la même forme. Exemple : $0{,}7=\dfrac{7}{10}$, $\dfrac{3}{4}=0{,}75$ et $\dfrac{2}{3}\approx0{,}67$. Dans l'ordre croissant : $\dfrac{2}{3}<0{,}7<\dfrac{3}{4}$.

Prendre les $\dfrac{3}{4}$ de $80$, c'est calculer $\dfrac{3}{4}\times80=60$ (on divise par $4$, puis on multiplie par $3$).

Puissances et notation scientifique

Une puissance est un produit répété : $5^3=5\times5\times5=125$. Avec un exposant négatif, on passe à l'inverse : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$. Ainsi $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$ et $10^{-2}=\dfrac{1}{100}=0{,}01$. Et $a^0=1$.

Cela marche aussi avec une fraction : $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3}=\dfrac{2^3}{5^3}=\dfrac{8}{125}$. Avec un exposant négatif, on inverse la fraction : $\left(\dfrac{4}{3}\right)^{-2}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}=\dfrac{9}{16}$.

Inutile d'apprendre des formules : on revient à la définition. Par exemple $3^5\times3^2$ = (cinq facteurs $3$) × (deux facteurs $3$) = sept facteurs $3$ = $3^7$. De même $\dfrac{3^5}{3^7}=\dfrac{3\times3\times3\times3\times3}{3\times3\times3\times3\times3\times3\times3}=\dfrac{1}{3^2}$.

Pour les puissances de $10$, on additionne simplement les exposants dans un produit : $10^4\times10^{-7}=10^{-3}$.

L'écriture scientifique d'un nombre est $a\times10^n$ avec $1\leqslant a<10$ et $n$ entier relatif. Exemple : $4\,500\,000=4{,}5\times10^{6}$.

Les ordres de grandeur permettent d'estimer vite : on arrondit à la puissance de $10$ la plus proche. Les préfixes du système international sont : nano ($10^{-9}$), micro ($10^{-6}$), milli ($10^{-3}$), kilo ($10^{3}$), méga ($10^{6}$), giga ($10^{9}$). Ainsi $211\ \text{ng}=211\times10^{-9}\ \text{g}=2{,}11\times10^{-7}\ \text{g}$ et $3\ \text{Go}=3\times10^{9}$ octets.

Les puissances de $2$ décrivent aussi des populations qui doublent : des bactéries qui doublent chaque heure sont $2^{10}=1\,024$ au bout de $10$ heures, soit environ $10^3$.

Pourcentages et coefficient multiplicateur

Prendre $10\ \%$ d'un nombre, c'est le diviser par $10$ : $10\ \%$ de $250\ €$ font $25\ €$.

Une évolution de $t\ \%$ se traduit par un coefficient multiplicateur :

• une augmentation de $10\ \%$ : $\times1{,}10$ ;

• une baisse de $20\ \%$ : $\times0{,}80$ (car $1-0{,}20$).

Ainsi $40\ €$ augmentés de $10\ \%$ donnent $40\times1{,}1=44\ €$. Et $50\ €$ baissés de $30\ \%$ donnent $50\times0{,}7=35\ €$.

Pour trouver un pourcentage d'évolution : $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. De $80\ €$ à $92\ €$ : $\dfrac{12}{80}=0{,}15$, soit $15\ \%$ d'augmentation.

Racines carrées et nombres premiers

La racine carrée de $a\geqslant0$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Retiens les carrés parfaits : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$. Donc $\sqrt{81}=9$ et $\sqrt{49}+\sqrt{16}=7+4=11$.

Un carré d'aire $\mathcal{A}$ a pour côté $\sqrt{\mathcal{A}}$ : pour $36\ \text{cm}^2$, c'est $6\ \text{cm}$. Pour $19\ \text{cm}^2$, la valeur exacte est $\sqrt{19}\ \text{cm}$ (on ne l'arrondit pas, sinon ce n'est plus exact).

Pour encadrer $\sqrt{40}$ : $36<40<49$, donc $6<\sqrt{40}<7$.

Un nombre est premier s'il a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les nombres premiers jusqu'à $100$ : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$. Pour décomposer un nombre, on le divise par ces premiers, en commençant par les plus petits. Ainsi $15=3\times5$ et $21=3\times7$ ne sont pas premiers.

Application : événements simultanés. Deux lampes clignotent toutes les $12$ s et toutes les $18$ s. Elles clignotent ensemble au premier multiple commun des deux nombres, le PPCM. Multiples de $18$ : $18, 36$ ; et $36=3\times12$. Réponse : $36$ secondes.

Conversions et grandeurs composées

Retiens : $1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3$ et $1\ \text{m}^3=1\,000\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{L}$. Donc $3\ \text{m}^3=3\,000\ \text{L}$. Et $1\ \text{m}^3=10^{6}\ \text{cm}^3$.

Un cube d'arête $20\ \text{cm}=2\ \text{dm}$ a pour volume $2^3=8\ \text{dm}^3=8\ \text{L}$.

Pour les durées : $2\ \text{h}\ 15\ \text{min}=2+\dfrac{15}{60}=2{,}25\ \text{h}$.

Pour les vitesses : $d=v\times t$. Un TGV à $90\ \text{km/h}$ roule $20\ \text{min}=\dfrac{1}{3}\ \text{h}$ : $90\times\dfrac{1}{3}=30\ \text{km}$. Voilà la réponse à la question du début.

Pour passer de km/h à m/s, on divise par $3{,}6$ : $72\ \text{km/h}=\dfrac{72\,000\ \text{m}}{3\,600\ \text{s}}=20\ \text{m/s}$.

Pour un débit : volume = débit × durée. Un robinet à $2\ \text{L/s}$ pendant $1\ \text{h}=3\,600\ \text{s}$ débite $7\,200\ \text{L}=7{,}2\ \text{m}^3$.

L'essentiel

• Fractions : même dénominateur pour $+$ et $-$ ; pour diviser, on multiplie par l'inverse ; on simplifie jusqu'à la fraction irréductible.

• Puissances : $a^n$ est un produit de $n$ facteurs, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ ; notation scientifique $a\times10^n$ avec $1\leqslant a<10$.

• Pourcentages : $+t\ \%\to\times(1+\frac{t}{100})$, $-t\ \%\to\times(1-\frac{t}{100})$ ; les évolutions successives se multiplient.

• Racine carrée : connais les carrés jusqu'à $100$ ; valeur exacte $\sqrt{19}$, encadrement entre deux entiers.

• Premiers et PPCM : décompose en facteurs premiers, cherche le premier multiple commun.

• Grandeurs : $1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3$, $d=v\times t$, km/h $\div3{,}6$ = m/s.