Longitude et latitude

Imagine que tu es un cartographe débutant. Sur ta première carte, tu dois placer les lignes de référence les plus importantes de la Terre. Observer le dessin et associer chaque lettre au nom qui lui correspond :

1. Équateur.

2. Méridien de Greenwich.

3. Pôle Nord.

4. Un parallèle quelconque.

Indiquer dans quel hémisphère (Nord ou Sud pour la latitude, Est ou Ouest pour la longitude) se trouvent les points géographiques suivants :

• Point A : $34^\circ$ N, $120^\circ$ E

• Point B : $12^\circ$ S, $45^\circ$ O

• Point C : $89^\circ$ N, $5^\circ$ O

• Point D : $40^\circ$ S, $170^\circ$ E

Un explorateur a noté par erreur les coordonnées suivantes dans son carnet. Expliquer pourquoi ces coordonnées sont géographiquement impossibles :

1. a) Latitude : $105^\circ$ S, longitude : $20^\circ$ E.
2. b) Latitude : $45^\circ$ N, longitude : $210^\circ$ O.

Deux bateaux, l'Alpha et le Bêta, naviguent sur l'océan Atlantique. Leurs coordonnées sont :

• Bateau Alpha : $20^\circ$ N, $30^\circ$ O

• Bateau Bêta : $20^\circ$ N, $60^\circ$ O

Répondre en justifiant :

1. a) Se trouvent-ils sur le même parallèle ou sur le même méridien ?
2. b) Lequel des deux bateaux est le plus proche du méridien de Greenwich ?

Si tu voyages en avion depuis Madrid ($40^\circ$ N, $3^\circ$ O) vers une ville située exactement à ses antipodes (le point opposé sur la sphère terrestre) :

1. a) Quelle serait la latitude de ce point ? (Même valeur mais hémisphère opposé.)
2. b) Si la longitude d'un point et celle de son antipode doivent avoir pour somme $180^\circ$ et se trouver dans des hémisphères opposés, quelle serait la longitude de ce point ?

Observer la représentation plane (planisphère) suivante d'une zone de l'océan. Identifier les coordonnées (latitude et longitude) du point $P$ marqué d'une étoile.

On appelle antipodes d'un lieu le point de la surface terrestre qui lui est diamétralement opposé. Si les coordonnées de ta ville sont $40^\circ$ $25'$ N de latitude et $3^\circ$ $41'$ O de longitude :

1. a) Quelle serait la latitude de tes antipodes ?
2. b) Quelle serait la longitude de tes antipodes ?

(Indice : pour la latitude, change d'hémisphère ; pour la longitude, cherche le méridien qui complète $180^\circ$ et change d'hémisphère E/O.)

Deux villes, Villesoleil et Villelune, se trouvent sur le même méridien. Si Villesoleil a une latitude de $45^\circ$ N et Villelune a une latitude de $20^\circ$ S, combien de degrés d'arc de méridien les séparent ?

Lors d'un contrôle de géométrie, Sergio doit calculer la distance qui sépare deux balises maritimes situées sur le même méridien terrestre ($0^\circ$, le méridien de Greenwich) : la balise Alpha, située à $42^\circ\text{ N}$, et la balise Beta, située à $18^\circ\text{ S}$. Sergio écrit sur sa copie :

« Comme les deux balises se trouvent sur le méridien de Greenwich, l'écart angulaire entre elles est $\alpha = 42^\circ - 18^\circ = 24^\circ$. Donc, en multipliant par la distance théorique par degré de méridien, la distance est $d = 24 \cdot 111{,}2 = 2668{,}8\text{ km}$ ».

1. a) Repérer et expliquer, en justifiant, l'erreur de raisonnement de Sergio en s'appuyant sur la définition géométrique de l'équateur comme référence pour la latitude.
2. b) Corriger la démarche et déterminer la distance réelle correcte entre les deux balises le long du méridien.

Deux villes espagnoles, Santander ($43{,}5^\circ\text{ N}$) et Jaén ($37{,}8^\circ\text{ N}$), sont situées presque exactement sur le même méridien terrestre ($3{,}8^\circ\text{ O}$).

1. a) Estimer : sans calculatrice ni décimales, arrondir les deux latitudes à l'entier le plus proche. Calculer mentalement l'écart en degrés et estimer la distance en kilomètres sachant qu'un degré de méridien correspond approximativement à $110\text{ km}$.
2. b) Calculer : effectuer maintenant le calcul rigoureux en utilisant les valeurs décimales réelles données ($43{,}5^\circ$ et $37{,}8^\circ$) et l'équivalence théorique de $111{,}2\text{ km}$ par degré.
3. c) Vérifier : déterminer l'écart en kilomètres entre votre estimation et le calcul précis. Pensez-vous que l'estimation initiale était assez bonne pour qu'une entreprise de transport évalue sa consommation de carburant ? Justifier la réponse.

Une baleine à bosse migre en suivant exactement le même méridien, depuis une zone d'alimentation située à $65^\circ$ de latitude N jusqu'à une zone de reproduction à $15^\circ$ S. Si le rayon moyen de la Terre est de $6\,371$ km, calculer la distance totale en kilomètres parcourue par la baleine lors de son voyage aller.

Deux navires de recherche océanographique se trouvent sur la ligne de l'équateur. Le navire A est à une longitude de $12^\circ$ E et le navire B se trouve à une distance de $2\,500$ km vers l'ouest du navire A. Déterminer la longitude exacte du navire B, sachant que le rayon de la Terre est de $6\,371$ km.

En navigation, on utilise le « mille marin », défini comme la longueur d'un arc de méridien de $1'$ (une minute d'angle).

1. a) Calculer à combien de kilomètres correspond un mille marin (rayon de la Terre = $6\,371$ km).
2. b) Si un voilier a navigué le long d'un méridien d'une latitude de $30^\circ$ N jusqu'à $35^\circ$ N, combien de milles marins a-t-il parcourus ?

Deux villes, P et Q, sont situées sur le même méridien. La ville P est à $42^\circ$ N et la ville Q à $15^\circ$ N. Une autre ville, R, est située sur le même parallèle que Q, à une distance de $20^\circ$ de longitude vers l'est.

Calculer, en utilisant $R = 6\,371$ km :

1. a) La distance entre P et Q sur le méridien.
2. b) La distance entre Q et R sur le parallèle.

Laquelle des deux distances est la plus grande ?

Une bouée de recherche océanographique de l'Ifremer est mouillée dans le golfe de Gascogne à $44^\circ\text{ N}$ et $5^\circ\text{ O}$. Pendant une forte tempête, elle se détache de ses amarres et dérive en ligne droite cap au sud le long de son méridien ($5^\circ\text{ O}$). Des semaines plus tard, le satellite localise la bouée après qu'elle a parcouru exactement $5448{,}8\text{ km}$.

1. a) Sachant qu'à chaque degré de méridien correspondent $111{,}2\text{ km}$, déterminer la différence angulaire $\alpha$ parcourue par la bouée.
2. b) Déduire les coordonnées géographiques finales exactes (latitude et longitude) où se trouve la bouée et justifier dans quel hémisphère elle s'est immobilisée.
3. c) Poser une équation générale dont l'inconnue est la latitude finale $x$, permettant de résoudre ce problème lorsqu'on part d'une latitude nord $\text{Lat}_0$ et qu'on avance vers le sud en dépassant l'équateur d'une distance donnée $d$.

Calculer la plus courte distance entre deux points, P et Q, situés sur la surface terrestre, dont les coordonnées sont :

• P : $(40^\circ \text{ N}, 10^\circ \text{ O})$

• Q : $(40^\circ \text{ S}, 10^\circ \text{ O})$

On considère que la Terre est une sphère parfaite de rayon $6371 \text{ km}$. Exprimer le résultat en kilomètres. Le voyageur se déplace-t-il le long d'un méridien ou d'un parallèle ? Justifier la réponse.

Une compagnie de transport aérien conçoit une route entre Tromsø (Norvège, située à $70^\circ\text{ N}, 19^\circ\text{ E}$) et une station scientifique à Point Hope (Alaska, située à $70^\circ\text{ N}, 161^\circ\text{ O}$). Elle observe que les méridiens $19^\circ\text{ E}$ et $161^\circ\text{ O}$ sont des antiméridiens (leur somme vaut $180^\circ$) et forment donc ensemble un grand cercle complet passant par les deux pôles. Deux trajets suivant des arcs de grand cercle sont proposés :

• Méthode polaire : voler vers le nord le long du méridien $19^\circ\text{ E}$ jusqu'au pôle Nord ($90^\circ\text{ N}$), puis continuer en descendant le long du méridien $161^\circ\text{ O}$ jusqu'à $70^\circ\text{ N}$.

• Méthode équatoriale : voler vers le sud le long du méridien $19^\circ\text{ E}$ jusqu'à l'équateur ($0^\circ$), parcourir un demi-équateur ($180^\circ$ de longitude sur le cercle équatorial, dont le rayon est égal à celui du méridien) jusqu'au méridien $161^\circ\text{ O}$, puis remonter vers le nord jusqu'à $70^\circ\text{ N}$.

1. a) Calculer la distance en kilomètres parcourue avec la méthode polaire en utilisant l'équivalence de $111{,}2\text{ km}$ par degré.
2. b) Calculer la distance en kilomètres parcourue avec la méthode équatoriale.
3. c) Comparer les deux méthodes en quantifiant la différence en kilomètres et justifier géométriquement pourquoi les vols commerciaux intercontinentaux entre hautes latitudes de l'hémisphère nord empruntent des routes polaires plutôt que de descendre vers des latitudes plus tempérées.

Deux navires de recherche océanographique naviguent sur le même méridien atlantique ($15^\circ\text{ O}$). Le navire A part du point ($44^\circ\text{ N}, 15^\circ\text{ O}$) cap au sud, et le navire B part du point ($10^\circ\text{ S}, 15^\circ\text{ O}$) cap au nord. Les deux commencent leur trajet simultanément à 08:00 (heure solaire de leur méridien) à une même vitesse constante de $27{,}8\text{ km/h}$.

1. a) Modéliser la distance initiale en kilomètres qui sépare les deux navires (en considérant $111{,}2\text{ km}$ par degré de méridien) et calculer la vitesse de rapprochement conjointe, exprimée à la fois en $\text{km/h}$ et en degrés de latitude par heure.
2. b) Combien d'heures mettront-ils pour se rencontrer et quelles seront les coordonnées géographiques exactes (latitude et longitude) du point de rencontre ? Justifier si ce point se trouve dans l'hémisphère nord ou dans l'hémisphère sud.
3. c) Au moment de la rencontre, ils envoient un message radio à une base de réception située à la longitude $75^\circ\text{ E}$. Déterminer la différence d'heure solaire théorique entre le lieu de rencontre et la base de réception, puis en déduire quelle heure solaire théorique il est à la base de réception à l'instant où elle reçoit le message.

On sait que la Terre met 24 heures pour effectuer un tour de $360^\circ$ sur son axe.

1. a) Combien de degrés de longitude correspondent à une heure de différence ?
2. b) Si dans une ville située à $0^\circ$ de longitude (Greenwich) il est 12:00, quelle heure sera-t-il dans une ville située à $30^\circ$ E ?

Un groupe d'amis à Madrid (longitude $3^\circ$ $41'$ O) veut suivre en direct le lancement d'une fusée depuis Cap Canaveral (longitude $80^\circ$ $36'$ O). Si le lancement est programmé à 14:30, heure locale de Floride, et sachant que chaque fuseau horaire de $15^\circ$ correspond à une heure de décalage théorique, à quelle heure devront-ils se connecter au direct en Espagne ? Utiliser le schéma des fuseaux horaires théoriques pour effectuer le calcul.

Un avion décolle de Tokyo ($35^\circ$ N, $139^\circ$ E) à 08:00 le lundi à destination de San Francisco ($37^\circ$ N, $122^\circ$ O). Si le vol dure 10 heures, quelle heure et quel jour sera-t-il à San Francisco lorsque l'avion atterrira ? Tenir compte du changement de date lors de la traversée de l'antiméridien de Greenwich ($180^\circ$).

Le « midi solaire » astronomique se produit lorsque le Soleil traverse exactement le méridien du lieu. La Terre effectue un tour de $360^\circ$ en 24 heures, ce qui fait que chaque fuseau théorique de $15^\circ$ de longitude équivaut à 1 heure (ou $1^\circ$ à 4 minutes).

1. a) Écrire la formule mathématique qui relie la différence de longitude angulaire $\Delta \lambda$ (en degrés) entre deux localités et le décalage de leurs midis solaires respectifs $\Delta t$ (en minutes).
2. b) Mahón (Minorque, Espagne) se situe à $4{,}2^\circ\text{ E}$ de longitude et le cap Touriñán (Galice, Espagne) se situe à $9{,}3^\circ\text{ O}$. Modéliser et calculer la différence angulaire totale entre les deux localités, puis déterminer le décalage solaire exact en minutes.
3. c) Si à Mahón le midi solaire a lieu à 13:10 à l'heure officielle de l'horloge d'hiver, à quelle heure officielle a lieu le midi solaire au cap Touriñán ? À partir du résultat, interpréter pourquoi en Galice on a socialement l'impression que la nuit tombe « très tard » par rapport à l'heure de l'horloge.

Un avion de reconnaissance décolle d'une base située aux coordonnées $(30^\circ \text{ N}, 15^\circ \text{ O})$ à 08:00, heure locale. Il vole directement vers l'est en suivant le même parallèle jusqu'à atteindre une ville située à $60^\circ$ de longitude Est. Le vol dure 9 heures au total.

À quelle heure locale de la ville de destination l'avion atterrira-t-il ? Tenir compte du changement de fuseaux horaires pendant le trajet (considérer des fuseaux théoriques de $15^\circ$ chacun).

Un sous-marin se déplace sur le fond marin d'un point X $(0^\circ, 175^\circ \text{ E})$ à un point Y $(0^\circ, 170^\circ \text{ O})$. La figure montre l'équateur vu depuis le pôle Nord, avec les deux points repérés.

1. a) Combien de degrés de longitude a-t-il parcourus s'il a suivi la route la plus courte le long de l'équateur ?

1. b) Si le sous-marin se déplace à une vitesse constante de $20 \text{ nœuds}$ ($1 \text{ nœud} \approx 1,85 \text{ km/h}$), combien de temps mettra-t-il pour effectuer le trajet ? (Rayon de la Terre : $6371 \text{ km}$).

1. c) Y a-t-il eu un changement de date pendant le trajet ? Expliquer pourquoi.

On considère un cylindre de rayon $R$ et de hauteur $2R$. On y place une sphère de rayon $R$ qui est tangente aux parois et aux bases du cylindre.

1. Démontrer, par le calcul, la relation entre le volume de la boule et le volume du cylindre.

2. Si le volume du cylindre est de $54 \text{ cm}^3$, quel volume d'air reste-t-il libre dans le cylindre une fois la boule placée ?

Une entreprise de parfums conçoit un flacon ayant la forme d'un tronc de cône renversé surmonté d'une demi-sphère qui s'ajuste parfaitement à la base supérieure. Les données de la conception sont les suivantes :

• Hauteur du tronc de cône : $8 \text{ cm}$.

• Rayon de la base inférieure (sur laquelle il repose) : $3 \text{ cm}$.

• Rayon de la base supérieure (où s'ajuste la demi-sphère) : $6 \text{ cm}$.

Calculer le volume total du flacon et déterminer s'il peut contenir un flacon standard de $330 \text{ ml}$ d'essence. (Prendre $\pi \approx 3,14$).

Un réservoir d'eau a la forme d'un prisme droit à base hexagonale régulière. On sait que le rayon du cercle circonscrit à la base hexagonale mesure $4 \text{ m}$ et que la hauteur du prisme est le triple de l'apothème de la base.

Calculer le coût de l'imperméabilisation des parois latérales et du fond (base inférieure) si le prix du matériau est de $12,50 \text{ €/m}^2$. Arrondir le résultat au centième.

On construit un octaèdre tronqué à partir d'un octaèdre régulier d'arête $12 \text{ cm}$. Pour cela, on coupe chacun des six sommets de façon à retirer de petites pyramides à base carrée régulière, ce qui transforme chaque face triangulaire d'origine en un hexagone régulier.

1. Déterminer le nombre de faces, de sommets et d'arêtes du polyèdre obtenu et vérifier s'il satisfait la relation d'Euler.

2. Si l'arête du nouveau polyèdre (celle de l'hexagone obtenu) mesure $4 \text{ cm}$, calculer l'aire totale de la surface de l'octaèdre tronqué.

Défi du thème. Concevoir un refuge bioclimatique d'urgence pour une réserve naturelle de ta région.

1. Emplacement : Ouvrir le Géoportail de l'IGN ou Google Earth, localiser la réserve choisie et noter ses coordonnées géographiques exactes (latitude et longitude).

2. Structure géométrique : Concevoir le refuge en combinant un polyèdre (module de base habitable, par exemple un prisme droit) et un solide de révolution (toit en demi-sphère ou réservoir d'eau cylindrique). Indiquer sur ton croquis au moins un couple de plans parallèles et deux arêtes perpendiculaires essentielles à sa stabilité.

3. Calcul avec un tableur : Mesurer un récipient domestique pour l'utiliser comme maquette à l'échelle $1:20$ ou définir des dimensions réelles en mètres. Dans un tableur, programmer les formules permettant de trouver l'aire du polyèdre (isolation thermique nécessaire) et le volume total du solide composé obtenu.

4. Proposition finale : Rédiger un court rapport justifiant la viabilité du refuge, sa capacité d'accueil en $\text{m}^3$ et le coût de l'imperméabilisation à raison de $18,50\text{ €/m}^2$.

Seront évalués :

• La détermination rigoureuse de la latitude et de la longitude, et l'identification correcte du parallélisme et de la perpendicularité.

• La précision dans le calcul de l'aire du polyèdre et du volume du solide composé.

• L'automatisation correcte des formules dans le tableur avec l'usage de la virgule décimale.

• La qualité et la cohérence du rapport technique remis.