Problème de la vie courante et tâche à prise d'initiative

Léa participe à une sortie à vélo sur les bords de la Loire. Elle roule à une vitesse constante de $24\ \text{km/h}$. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Quelle distance parcourt-elle en $45$ minutes ?

2. Combien de temps lui faut-il pour parcourir $30\ \text{km}$ ? Donner le résultat en heures et minutes.

3. Exprimer sa vitesse en $\text{m/s}$. Arrondir au dixième.

Une piscine a la forme d'un pavé droit de $8\ \text{m}$ de long, $4\ \text{m}$ de large et $1{,}5\ \text{m}$ de profondeur. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer le volume de la piscine en $\text{m}^3$, puis en litres.

2. On remplit la piscine avec une pompe de débit $12\ \text{m}^3/\text{h}$. Quelle est la durée du remplissage ?

3. Le mètre cube d'eau coûte $4{,}20\ €$. Calculer le coût du remplissage.

4. Par évaporation, le niveau d'eau baisse de $1\ \text{cm}$ par jour. Calculer le volume d'eau perdu en une journée, en litres.

Pendant les soldes, un blouson coûte $85\ €$. Il est d'abord soldé à $-30\ \%$. Quelques jours plus tard, une remise supplémentaire de $10\ \%$ est appliquée sur le prix déjà soldé. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer le prix du blouson après la première remise.

2. Calculer le prix du blouson après la seconde remise.

3. Montrer que ces deux remises successives équivalent à une baisse unique de $37\ \%$ du prix initial.

Inès place $2\ 000\ €$ sur un livret dont le taux d'intérêt annuel est de $3\ \%$. Les intérêts sont ajoutés chaque année au capital et produisent eux-mêmes des intérêts (intérêts composés). Aucun retrait n'est effectué. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer le capital au bout d'un an.

2. Montrer que le capital au bout de $2$ ans est de $2\ 121{,}80\ €$.

3. Calculer le capital au bout de $5$ ans. Arrondir au centime.

4. Quel est le pourcentage d'évolution global du capital au bout de $5$ ans ? Arrondir au dixième.

5. Au bout de combien d'années entières le capital dépasse-t-il $2\ 500\ €$ ?

Le directeur d'un collège s'inquiète de la chute éventuelle d'un tilleul de la cour sur le gymnase, dont le mur se trouve à $12\ \text{m}$ du pied de l'arbre. Le sol est horizontal et l'arbre est vertical.

À $15$ h, Théo mesure l'ombre de l'arbre : elle mesure $7{,}2\ \text{m}$. Au même moment, un piquet vertical de $1{,}2\ \text{m}$ de haut a une ombre de $0{,}9\ \text{m}$.

Les rayons du soleil sont supposés parallèles. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Calculer la hauteur de l'arbre.

2. En cas de chute, l'arbre pourrait-il atteindre le gymnase ?

3. Calculer la mesure de l'angle que forment les rayons du soleil avec le sol à cet instant. Arrondir au degré.

Une mairie doit installer une rampe d'accès pour fauteuil roulant devant un bâtiment. L'entrée se situe à $0{,}45\ \text{m}$ au-dessus du sol horizontal. La réglementation impose que la rampe forme avec l'horizontale un angle d'au plus $4^\circ$. On modélise la rampe par un segment dans un plan vertical. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Quelle est la longueur minimale de la rampe ? Donner la valeur arrondie au centimètre supérieur.

2. Pour cette longueur minimale, quelle est la distance horizontale occupée par la rampe au sol ? Arrondir au dixième de mètre.

3. L'espace disponible devant le bâtiment mesure $6\ \text{m}$ dans la direction de la rampe. Une rampe droite respectant la réglementation peut-elle être installée ?

4. Le mètre linéaire de rampe coûte $85\ €$. Calculer le coût de la rampe de longueur minimale trouvée à la question 1.

Julien écrit le programme Scratch suivant :

• Quand le drapeau vert est cliqué.

• Mettre la variable « côté » à $50$.

• Répéter $4$ fois :

• avancer de « côté » pas ;

• tourner à droite de $90$ degrés.

Le stylo est abaissé au départ, et un pas correspond à une unité de longueur. Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Quelle figure ce programme trace-t-il ?

2. Quelle est la longueur totale du tracé ? Quelle est l'aire de la figure obtenue ?

3. Julien souhaite tracer un triangle équilatéral de côté $50$ pas. Quelles modifications doit-il apporter au programme ?

On écrit le programme Scratch suivant :

• Quand le drapeau vert est cliqué.

• Mettre la variable « score » à $0$.

• Répéter $100$ fois :

• mettre la variable « dé » à un nombre aléatoire entre $1$ et $6$ ;

• si « dé » $=6$, alors ajouter $1$ à « score ».

• Dire « score ».

Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Quelles sont les valeurs possibles de « score » à la fin du programme ?

2. Que représente le nombre $\dfrac{\text{score}}{100}$ pour l'expérience simulée ?

3. Vers quelle valeur de « score » peut-on s'attendre en exécutant ce programme ? Justifier.

4. Comment modifier le programme pour compter le nombre de fois où le dé affiche un nombre pair ?

5. En exécutant le programme, Hugo obtient $19$ comme score. Ce résultat est-il anormal ?

Un programme Scratch simule le placement de $1\ 000\ €$ sur un livret au taux de $4\ \%$ par an :

• Quand le drapeau vert est cliqué.

• Mettre « capital » à $1\ 000$.

• Mettre « années » à $0$.

• Répéter jusqu'à ce que « capital » $>1\ 500$ :

• mettre « capital » à « capital » $\times\ 1{,}04$ ;

• ajouter $1$ à « années ».

• Dire « années ».

Toutes les réponses doivent être justifiées.

1. Quelles sont les valeurs de « capital » et de « années » après le premier passage dans la boucle ?

2. Calculer la valeur de « capital » après le deuxième passage dans la boucle.

3. Quel nombre le programme affiche-t-il à la fin de son exécution ?

4. Quelle modification apporter à la ligne « mettre capital à capital $\times\ 1{,}04$ » pour simuler un taux de $3\ \%$ ?

5. Marie affirme : « Avec ce placement, le capital double au bout de $12$ ans. » A-t-elle raison ?