Calcul littéral : sommes, produits et factorisation

Compléter le tableau suivant en identifiant les éléments de chaque monôme :

Soit les polynômes $P(x) = 4x^2 - 3x + 5$ et $Q(x) = x^2 + 7x - 2$. Effectuer les opérations suivantes en regroupant les termes semblables :

1. a) $P(x) + Q(x)$
2. b) $P(x) - Q(x)$

Déterminer le polynôme qui exprime le périmètre de la figure géométrique suivante (un « L-block » d'un jeu vidéo). Rappel : le périmètre est la somme de tous ses côtés.

Calculer le périmètre de la figure géométrique suivante en fonction de la variable $x$, en exprimant le résultat sous la forme d'un polynôme réduit.

Effectuer les produits de monômes suivants en appliquant les propriétés des puissances :

1. a) $(3x^2) \cdot (4x^3) =$
2. b) $(-2a^2b) \cdot (5ab^3) =$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^5) =$

Appliquer la distributivité pour calculer l'aire du rectangle suivant, en exprimant le résultat sous la forme d'un polynôme :

Appliquer la distributivité pour multiplier les polynômes suivants et réduire les termes semblables :

1. a) $(2x - 3) \cdot (x^2 - 4x + 1)$
2. b) $(x^2 + 2) \cdot (x^2 - 2)$
3. c) $-(x - 5) \cdot (2x + 3) + 2x^2$

Déterminer la valeur du coefficient $k$ pour que l'égalité suivante entre polynômes soit vérifiée :

$(x + 3) \cdot (2x - 5) = 2x^2 + kx - 15$

Une fois $k$ trouvé, effectuer le produit $(x + 3) \cdot (2x - 5) \cdot (x + 1)$ et écrire le polynôme obtenu par degrés décroissants.

Étant donnés les polynômes $P(x) = 2x^2 - ax + 5$ et $Q(x) = bx^2 + 3x - c$, déterminer les valeurs des paramètres $a$, $b$ et $c$ sachant que leur somme est le polynôme identité $S(x) = 5x^2 + x + 2$. Justifier la réponse en comparant les coefficients des termes de même degré.

Réduire les expressions polynomiales suivantes en combinant additions, soustractions et produits simples :

1. a) $3 \cdot (x^2 - 2x + 1) + (4x - 5) =$
2. b) $x \cdot (x + 3) - (x^2 - 2) =$

Factoriser les expressions littérales suivantes en mettant un facteur commun en évidence, pour les transformer en produit d'un monôme par un polynôme :

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $3a^2b - 6ab^2 + 9ab$
3. c) $2x(x+1) - 3(x+1)$

Pour simplifier l'expression $(2x + 7)\cdot(2x - 7)$, deux camarades de classe proposent de procéder différemment :

• David propose : « Je multiplie terme à terme avec la distributivité : $2x \cdot 2x + 2x \cdot (-7) + 7 \cdot 2x + 7 \cdot (-7)$, puis je regroupe les termes semblables ».

• Sarah affirme : « Comme il s'agit d'un produit de la somme par la différence, je peux appliquer directement l'identité remarquable $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, et écrire directement $(2x)^2 - 7^2$ ».

1. a) Appliquer les deux méthodes pas à pas et vérifier si elles conduisent au même polynôme.
2. b) Justifier laquelle des deux stratégies est la plus efficace et expliquer quels termes s'annulent toujours, et pourquoi, lorsqu'on multiplie la somme de deux termes par leur différence.

Lucie doit développer l'expression $(3x - 5)^2$ lors d'un contrôle et écrit sur sa copie :

1. a) Identifier et expliquer en justifiant les deux erreurs de raisonnement commises par Lucie dans l'application des identités remarquables.
2. b) Développer correctement l'expression en appliquant pas à pas la formule du carré d'une différence.
3. c) Comparer numériquement votre résultat à celui de Lucie en remplaçant la valeur $x = 2$ dans l'expression initiale $(3x - 5)^2$, dans le résultat erroné de Lucie et dans votre polynôme final simplifié. Quelle conclusion en tirez-vous ?

Calculer le polynôme obtenu à partir de l'expression suivante en utilisant les identités remarquables (carré d'une somme, carré d'une différence et produit de la somme par la différence) :

$A(x) = (2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x + 4) \cdot (x - 4)$

Simplifier au maximum le résultat final.