Géométrie au brevet : Pythagore, Thalès, trigonométrie, transformations et solides
Au brevet, un exercice de géométrie rapporte presque tous ses points si tu sais faire deux choses : choisir le bon outil et rédiger proprement. Une échelle contre un mur, un verre d'eau où l'on plonge une bille, un triangle tracé dans un repère… Dans chaque cas, il faut repérer la configuration. À la fin de cette page, tu sauras le faire en quelques secondes.
Choisir le bon outil
Avant de calculer, pose-toi trois questions : quel est le triangle ? a-t-il un angle droit ? y a-t-il des droites parallèles ?
| Ce que tu observes | Outil |
|---|---|
| Triangle rectangle, deux côtés connus, on cherche le troisième | Théorème de Pythagore |
| Triangle rectangle, un angle et un côté, ou deux côtés et on cherche un angle | Trigonométrie (CAH-SOH-TOA) |
| Deux droites parallèles qui coupent deux côtés d'un triangle | Théorème de Thalès |
| On veut prouver qu'un triangle est rectangle | Réciproque de Pythagore |
| On veut prouver que deux droites sont parallèles | Réciproque de Thalès |
Pythagore et sa réciproque
Pour la réciproque, on calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres, puis on compare.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=9\ \text{cm}$ et $AC=12\ \text{cm}$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans ce triangle. Toutes les…
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=9\ \text{cm}$ et $AC=12\ \text{cm}$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans ce triangle. Toutes les réponses doivent être justifiées.
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Calculer la longueur $BC$.
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Calculer l'aire du triangle $ABC$.
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En calculant l'aire du triangle $ABC$ d'une autre façon, montrer que $AH=7{,}2\ \text{cm}$.
Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on considère les points $A(1\ ;\ 1)$, $B(4\ ;\ 1)$ et $C(4\ ;\ 3)$. Toutes les réponses doivent être justifiées. 1. a) Montrer…
Dans un repère orthonormé d'origine $O$, on considère les points $A(1\ ;\ 1)$, $B(4\ ;\ 1)$ et $C(4\ ;\ 3)$. Toutes les réponses doivent être justifiées.
- a) Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
b) Calculer la valeur exacte de la longueur $AC$, puis en donner une valeur approchée au dixième.
- On note $A'B'C'$ l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$.
a) Donner les coordonnées des points $A'$, $B'$ et $C'$.
b) Calculer l'aire du triangle $ABC$, puis celle du triangle $A'B'C'$.
- On note $A''B''C''$ l'image du triangle $ABC$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-0{,}5$.
a) Donner les coordonnées des points $A''$, $B''$ et $C''$.
b) Calculer l'aire du triangle $A''B''C''$.
Thalès et sa réciproque
Pourquoi ? Le petit triangle $AMN$ est une réduction du grand triangle $ABC$ : tous ses côtés sont multipliés par le même rapport $k=\dfrac{AM}{AB}$. Les aires, elles, sont multipliées par $k^2$.
Triangles semblables
Configuration « papillon »
Si les droites $(BM)$ et $(CN)$ se coupent en $A$, avec $A$ entre $B$ et $M$ et entre $C$ et $N$, et si $(MN)\parallel(BC)$, alors on a encore $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$. La réciproque s'applique si $A$ est entre $B$ et $M$ et entre $C$ et $N$ et si $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$.
Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ au segment $[AC]$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne…
Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient au segment $[AB]$ et le point $N$ au segment $[AC]$. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AM=3\ \text{cm}$, $AB=7{,}5\ \text{cm}$, $AN=4\ \text{cm}$ et $BC=10\ \text{cm}$. Toutes les réponses doivent être justifiées.
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Calculer la longueur $AC$.
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Calculer la longueur $MN$.
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Quelle fraction de l'aire du triangle $ABC$ l'aire du triangle $AMN$ représente-t-elle ?
Le triangle $ABC$ est tel que $AB=4{,}8\ \text{cm}$, $AC=6{,}4\ \text{cm}$ et $BC=8\ \text{cm}$. Le point $M$ est placé sur le segment $[AB]$ tel que…
Le triangle $ABC$ est tel que $AB=4{,}8\ \text{cm}$, $AC=6{,}4\ \text{cm}$ et $BC=8\ \text{cm}$. Le point $M$ est placé sur le segment $[AB]$ tel que $AM=1{,}2\ \text{cm}$. Le point $N$ est placé sur le segment $[AC]$ tel que $AN=1{,}6\ \text{cm}$. Toutes les réponses doivent être justifiées.
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Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
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Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
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Calculer la longueur $MN$.
Trigonométrie du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu donné : le côté opposé est en face de l'angle, le côté adjacent le touche, l'hypoténuse est en face de l'angle droit.
Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$, avec $EF=6\ \text{cm}$ et $\widehat{EFG}=35^\circ$. Toutes les réponses doivent être justifiées. 1. Calculer la longueur $FG$.…
Le triangle $EFG$ est rectangle en $E$, avec $EF=6\ \text{cm}$ et $\widehat{EFG}=35^\circ$. Toutes les réponses doivent être justifiées.
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Calculer la longueur $FG$. Arrondir au dixième de centimètre.
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Calculer la longueur $EG$. Arrondir au dixième de centimètre.
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Calculer la mesure de l'angle $\widehat{FGE}$.
Une échelle de $4{,}5\ \text{m}$ de longueur est appuyée contre un mur vertical. Elle repose sur un sol horizontal et forme avec le sol un angle de $72^\circ$. Toutes…
Une échelle de $4{,}5\ \text{m}$ de longueur est appuyée contre un mur vertical. Elle repose sur un sol horizontal et forme avec le sol un angle de $72^\circ$. Toutes les réponses doivent être justifiées.
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Calculer la hauteur du mur atteinte par l'échelle. Arrondir au centimètre.
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Calculer la distance entre le pied de l'échelle et le mur. Arrondir au centimètre.
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On éloigne le pied de l'échelle : il est maintenant à $1{,}80\ \text{m}$ du mur.
a) Calculer la mesure de l'angle que forme l'échelle avec le sol. Arrondir au degré.
b) La consigne de sécurité impose un angle compris entre $65^\circ$ et $75^\circ$. Cette consigne est-elle respectée ?
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=8\ \text{cm}$ et $AC=15\ \text{cm}$. Le point $D$ est placé sur le segment $[AB]$ tel que $AD=2\ \text{cm}$. La…
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB=8\ \text{cm}$ et $AC=15\ \text{cm}$. Le point $D$ est placé sur le segment $[AB]$ tel que $AD=2\ \text{cm}$. La parallèle à $(BC)$ passant par $D$ coupe le segment $[AC]$ en $E$. Toutes les réponses doivent être justifiées.
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Calculer la longueur $BC$.
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Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$. Arrondir au degré.
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a) Calculer la longueur $AE$.
b) Calculer la longueur $DE$.
- Calculer l'aire du quadrilatère $DBCE$.
Homothétie, agrandissement et réduction
Une homothétie de rapport $k$ agrandit ou réduit une figure : toutes les longueurs sont multipliées par $|k|$. Si $k>0$, la figure image est du même côté du centre que la figure de départ ; si $k<0$, elle est de l'autre côté.
Rotation
Une rotation est définie par un centre, un angle et un sens (horaire ou antihoraire). Elle conserve les longueurs, les angles et les aires : la figure image a la même forme et la même taille.
Les frises, pavages et rosaces sont obtenus en répétant une figure par translations, rotations ou symétries : pour les décrire, on cherche quelle transformation envoie un motif sur un autre.
Solides, volumes et sections
Une section d'un cône par un plan parallèle à sa base est un cercle, et le petit cône obtenu est une réduction du grand. Un plan coupe une boule selon un cercle.
Un récipient a la forme d'un cylindre de rayon $5\ \text{cm}$ et de hauteur $12\ \text{cm}$. Il contient de l'eau sur une hauteur de $10\ \text{cm}$. On plonge…
Un récipient a la forme d'un cylindre de rayon $5\ \text{cm}$ et de hauteur $12\ \text{cm}$. Il contient de l'eau sur une hauteur de $10\ \text{cm}$. On plonge entièrement dans l'eau une boule de rayon $3\ \text{cm}$.
On rappelle que le volume d'une boule de rayon $R$ est $V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}$. Toutes les réponses doivent être justifiées.
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Calculer la valeur exacte du volume de la boule, puis en donner la valeur arrondie au $\text{cm}^3$.
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Calculer le volume d'eau contenu initialement dans le récipient. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au $\text{cm}^3$.
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Exprimer ce volume d'eau en litres. Arrondir au centilitre.
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Montrer que le niveau de l'eau monte de $1{,}44\ \text{cm}$ lorsqu'on plonge la boule.
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L'eau déborde-t-elle du récipient ?
Un cône de révolution a pour hauteur $12\ \text{cm}$ et pour rayon de base $5\ \text{cm}$. On le coupe par un plan parallèle à sa base, situé à $8\ \text{cm}$ de cette…
Un cône de révolution a pour hauteur $12\ \text{cm}$ et pour rayon de base $5\ \text{cm}$. On le coupe par un plan parallèle à sa base, situé à $8\ \text{cm}$ de cette base. On obtient un petit cône et un tronc de cône.
On rappelle que le volume d'un cône de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ est $V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$. Toutes les réponses doivent être justifiées.
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Calculer la valeur exacte du volume du grand cône.
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a) Quelle est la nature de la section obtenue par ce plan ?
b) Montrer que le petit cône est une réduction du grand cône de rapport $\dfrac{1}{3}$.
c) Calculer le rayon de la section. Donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au dixième de centimètre.
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Calculer la valeur exacte du volume du petit cône.
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En déduire le volume du tronc de cône. Arrondir au dixième de $\text{cm}^3$.
Rédiger au brevet
Une réponse complète suit toujours le même schéma : hypothèses → théorème → calcul → conclusion.
« Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore, on a $BC^2=AB^2+AC^2$. Donc $BC^2=\dots$ et $BC=\dots$ cm. »
Pense aussi à : donner la valeur exacte avant la valeur approchée, arrondir comme demandé, écrire l'unité, et vérifier que le résultat est plausible (l'hypoténuse est le plus grand côté).
L'essentiel
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Pythagore : $BC^2=AB^2+AC^2$ dans un triangle rectangle en $A$ ; la réciproque prouve qu'un triangle est rectangle.
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Thalès : si $(MN)\parallel(BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ ; la réciproque prouve un parallélisme.
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Trigonométrie : CAH-SOH-TOA, calculatrice en mode degré.
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Homothétie de rapport $k$ : longueurs $\times|k|$, aires $\times k^2$, volumes $\times|k|^3$.
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Volumes : cylindre, cône, boule ; section d'un cône parallèle à la base = cercle.
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Rédaction : hypothèses, théorème, calcul, conclusion avec unité.
Retour au début : devant une échelle contre un mur ou une boule dans un verre, tu sais maintenant repérer la configuration, choisir l'outil et rédiger.