Homothétie et agrandissement
Sur la photocopieuse du CDI, Léa choisit « agrandir à 200 % » pour une carte de la Bretagne. Les distances ont-elles été multipliées par 2 ? Et la surface de papier occupée par le dessin, par combien est-elle multipliée ? Tu peux répondre en quelques minutes : c'est l'objet de cette page.
Définition d'une homothétie
Une homothétie est une transformation qui agrandit ou réduit une figure en gardant sa forme. Elle est définie par un centre $O$ et un rapport $k$ (un nombre non nul).
Le centre $O$ est sa propre image : il ne bouge pas.
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Si $k > 1$ ou $k < -1$ : c'est un agrandissement.
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Si $-1 < k < 1$ : c'est une réduction.
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Si $k = 1$, la figure ne change pas. Si $k = -1$, c'est une symétrie centrale de centre $O$.
Voici le triangle $ABC$ et son image par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $2$. Chaque sommet de l'image est sur la droite qui joint $O$ au sommet de départ, deux fois plus loin.
Teste l'effet du rapport avec le curseur.
Quand $k$ est négatif, la figure est agrandie (ou réduite) et retournée de l'autre côté du centre. Voici le rapport $-2$.
Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$. Le point $A$ est tel que $OA = 2$ cm. a) Placer mentalement $A'$, image de $A$ par $h$. Calculer $OA'$. b) Les…
Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$. Le point $A$ est tel que $OA = 2$ cm.
- a) Placer mentalement $A'$, image de $A$ par $h$. Calculer $OA'$.
- b) Les points $O$, $A$, $A'$ sont-ils alignés ? Dans quel ordre ?
Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$. Le point $B$ est tel que $OB = 3$ cm. a) Calculer $OB'$, où $B'$ est l'image de $B$. b) Le point $O$ est-il situé…
Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $-2$. Le point $B$ est tel que $OB = 3$ cm.
- a) Calculer $OB'$, où $B'$ est l'image de $B$.
- b) Le point $O$ est-il situé entre $B$ et $B'$ ? Justifier.
Effet sur les longueurs, les aires et les volumes
Une homothétie de rapport $k$ conserve la forme : une figure et son image sont semblables.
Pourquoi $k^2$ ? Si tu doubles les deux dimensions d'un rectangle, il tient $2 \times 2 = 4$ fois dans le nouveau. Pour un volume, on multiplie par $k$ dans les trois directions : $k^3$.
Pour les volumes, il faut des unités cohérentes. Retiens : $1\ \text{m}^3 = 10^6\ \text{cm}^3$ (car $1\ \text{m} = 10^2\ \text{cm}$ dans les trois directions) et $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}$.
Voilà la réponse à la photocopieuse : « 200 % » signifie $k = 2$. Les distances sont multipliées par $2$, mais la surface occupée par le dessin l'est par $4$.
Un triangle $ABC$ a pour côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm. On lui applique une homothétie de rapport $2$. a) Donner les longueurs des côtés du triangle image. b) Calculer…
Un triangle $ABC$ a pour côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm. On lui applique une homothétie de rapport $2$.
- a) Donner les longueurs des côtés du triangle image.
- b) Calculer le périmètre de chaque triangle.
Un rectangle de $4$ cm sur $6$ cm est transformé par une homothétie de rapport $2,5$. a) Calculer les dimensions du rectangle image. b) Calculer l'aire de chaque…
Un rectangle de $4$ cm sur $6$ cm est transformé par une homothétie de rapport $2,5$.
- a) Calculer les dimensions du rectangle image.
- b) Calculer l'aire de chaque rectangle et le rapport entre les aires.
Une homothétie de rapport $k$ transforme un triangle d'aire $12$ cm² en un triangle d'aire $48$ cm². a) Déterminer $k$ sachant que $k>0$. b) Un côté du triangle initial…
Une homothétie de rapport $k$ transforme un triangle d'aire $12$ cm² en un triangle d'aire $48$ cm².
- a) Déterminer $k$ sachant que $k>0$.
- b) Un côté du triangle initial mesure $5$ cm. Quelle est la longueur du côté correspondant dans l'image ?
- c) Y a-t-il une autre valeur possible de $k$ si l'on autorise $k<0$ ?
Sur une carte de Bretagne, une réduction de rapport $\dfrac{1}{50\,000}$ est utilisée. a) Deux villes sont distantes de $7,5$ cm sur la carte. Quelle est la distance…
Sur une carte de Bretagne, une réduction de rapport $\dfrac{1}{50\,000}$ est utilisée.
- a) Deux villes sont distantes de $7,5$ cm sur la carte. Quelle est la distance réelle en km ?
- b) Un lac a une aire réelle de $2$ km². Quelle est son aire sur la carte en cm² ?
Homothétie dans un repère
Quand le centre est l'origine $O$ du repère, tout est très simple.
Pourquoi ? Le vecteur $\overrightarrow{OM'}$ est $k$ fois le vecteur $\overrightarrow{OM}$ : on multiplie chaque coordonnée par $k$. Et de même $\overrightarrow{A'B'} = k\,\overrightarrow{AB}$, ce qui explique que $(AB)$ et $(A'B')$ soient parallèles.
Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-\dfrac{1}{2}$. Dans un repère d'origine $O$, on a $A(4\,;\,2)$ et $B(-2\,;\,6)$. a) Déterminer les coordonnées de…
Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-\dfrac{1}{2}$. Dans un repère d'origine $O$, on a $A(4\,;\,2)$ et $B(-2\,;\,6)$.
- a) Déterminer les coordonnées de $A'$ et $B'$, images de $A$ et $B$.
- b) Calculer $AB$ puis $A'B'$ et vérifier que $A'B' = \left|k\right|\times AB$.
- c) Montrer que les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles.
Solides, pavages et composition
Les volumes se traitent comme les aires, avec $|k|^3$. Une réduction d'une pyramide ou d'un cône par une homothétie de centre son sommet donne un petit solide : le volume restant est un tronc.
Composer deux homothéties de même centre. Si l'on applique $h_1$ de rapport $k_1$, puis $h_2$ de rapport $k_2$ (même centre $O$), alors $OM'' = |k_1 \times k_2| \times OM$ (une distance n'est jamais négative), avec les points toujours alignés avec $O$. La composée est donc l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k_1 \times k_2$.
Une pyramide de hauteur $12$ cm et de base carrée de côté $9$ cm est réduite par l'homothétie de centre son sommet et de rapport $\dfrac{1}{3}$. a) Calculer le volume de…
Une pyramide de hauteur $12$ cm et de base carrée de côté $9$ cm est réduite par l'homothétie de centre son sommet et de rapport $\dfrac{1}{3}$.
- a) Calculer le volume de la pyramide initiale ($V=\dfrac{1}{3}\times\text{aire de base}\times h$).
- b) Sans refaire de calcul avec la formule, déduire le volume de la petite pyramide.
- c) Quel est le volume du tronc de pyramide obtenu ?
Dans un pavage, un motif $M_1$ est un hexagone d'aire $18$ cm². On compose deux homothéties de même centre $O$ : $h_1$ de rapport $-2$ puis $h_2$ de rapport…
Dans un pavage, un motif $M_1$ est un hexagone d'aire $18$ cm². On compose deux homothéties de même centre $O$ : $h_1$ de rapport $-2$ puis $h_2$ de rapport $\dfrac{3}{2}$.
- a) Montrer que la composée est une homothétie de centre $O$ et déterminer son rapport.
- b) Calculer l'aire de l'image finale de $M_1$.
- c) Quel rapport faudrait-il pour que l'aire de l'image soit $162$ cm² ? Distinguer le cas $k>0$ et $k<0$.
L'essentiel
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Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ envoie $M$ sur $M'$ aligné avec $O$ et $M$, avec $OM' = |k| \times OM$.
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$k > 0$ : $M'$ du même côté de $O$ que $M$ ; $k < 0$ : de l'autre côté.
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Angles conservés, droites transformées en droites parallèles ; longueurs $\times |k|$, aires $\times k^2$, volumes $\times |k|^3$.
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Dans un repère de centre $O$ : $M(x ; y) \mapsto M'(kx ; ky)$.
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Composée de deux homothéties de même centre : rapport $k_1 \times k_2$.
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Une photocopie à « 200 % » : longueurs $\times 2$, aires $\times 4$.