Similitude des triangles rectangles

Deux triangles rectangles sont semblables. Le premier a des côtés de l'angle droit qui mesurent $3$ cm et $4$ cm. Si le plus petit côté de l'angle droit du second triangle mesure $9$ cm, combien mesure l'hypoténuse de ce second triangle ?

Deux équerres de dessin (qui ont la forme d'un triangle rectangle quelconque) sont semblables. Si l'hypoténuse de la plus grande équerre est le triple de celle de la plus petite, combien de fois l'aire de la grande équerre est-elle plus grande que celle de la petite ?

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit divise l'hypoténuse en deux segments qui mesurent $4$ cm et $9$ cm. Calculer la longueur de cette hauteur en utilisant la relation correspondante.

La hauteur relative à l'hypoténuse d'un triangle rectangle mesure $6$ cm. Si l'un des segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse mesure $3$ cm, combien mesure l'autre segment de l'hypoténuse ?

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit divise l'hypoténuse en deux segments de longueurs $m = 2\text{ cm}$ et $n = 10\text{ cm}$.

1. a) Avant de calculer, estimer en justifiant entre quels deux nombres entiers consécutifs doit se situer la longueur de la hauteur $h$. Pensez-vous que $h$ sera supérieure, inférieure ou égale à la moitié de l'hypoténuse ($(m+n)/2 = 6\text{ cm}$) ? Justifier votre prévision.
2. b) Appliquer la relation correspondante pour calculer la valeur exacte de la hauteur $h$ et en donner une valeur approchée à deux décimales.
3. c) Vérifier si votre calcul confirme l'estimation faite à la question a) et expliquer pourquoi, dans tout triangle rectangle non isocèle, la hauteur issue de l'angle droit est toujours strictement inférieure à la moitié de l'hypoténuse.

L'hypoténuse d'un triangle rectangle mesure $25$ cm et la projection d'un des côtés de l'angle droit sur elle mesure $9$ cm. Calculer la longueur de ce côté en appliquant la relation sur le côté de l'angle droit.

Un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle mesure $8$ cm et sa projection orthogonale sur l'hypoténuse mesure $3,2$ cm. Déterminer la longueur totale de l'hypoténuse.

Dans un triangle rectangle, les projections des deux côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse mesurent respectivement $5$ cm et $12$ cm. Combien mesure l'hypoténuse du triangle ?

Dans la conception d'une ferme de charpente pour un toit à deux pans en forme de triangle rectangle, la poutre verticale (qui joue le rôle de hauteur issue de l'angle droit) mesure $2,4$ m et sépare la poutre inférieure (hypoténuse) en deux tronçons, dont l'un mesure $1,8$ m. Calculer le périmètre total de la structure extérieure de la ferme.

La grand-voile d'un voilier a la forme d'un triangle rectangle. La couture qui marque la hauteur tracée depuis le sommet de l'angle droit jusqu'à l'hypoténuse mesure $6$ m. Si la projection du plus petit côté de la voile sur l'hypoténuse est de $4,5$ m, calculer l'aire totale de la voile en mètres carrés.

L'arche d'un pont en pierre a la forme d'un demi-cercle parfait de $20$ m de diamètre. À $4$ m d'une des extrémités du pont, on doit placer un pilier vertical allant du sol jusqu'à l'arche. En utilisant la relation sur la hauteur, déterminer la longueur exacte de ce pilier.

Pour mesurer la hauteur d'un immeuble, un élève place un miroir plan sur le sol à $15$ m de la base de l'immeuble. En reculant de $1,2$ m depuis le miroir, il voit le sommet de l'immeuble reflété dans celui-ci. Si les yeux de l'élève sont à $1,6$ m du sol, quelle est la hauteur de l'immeuble ?

Dans une chambre noire artisanale de $20$ cm de profondeur, se forme l'image inversée d'un arbre situé à $15$ m du sténopé. Si l'image formée au fond de la chambre a une hauteur de $8$ cm, quelle est la hauteur réelle de l'arbre en mètres ?

Dans un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $8$ cm et $6$ cm, on inscrit un carré de façon que l'un de ses sommets coïncide avec l'angle droit du triangle, et que les deux côtés du carré issus de ce sommet soient portés par les côtés de l'angle droit. Calculer la longueur du côté du carré $x$ en utilisant les triangles semblables ainsi formés.

Dans un triangle rectangle, on connaît exactement les longueurs de ses deux côtés de l'angle droit : $b = 15\text{ cm}$ et $c = 20\text{ cm}$. Pour trouver la hauteur relative à l'hypoténuse, $h$, deux élèves proposent des chemins différents :

• Méthode de Sergio : Il calcule d'abord l'hypoténuse $a$ avec le théorème de Pythagore. Ensuite, il utilise la relation sur le côté de l'angle droit pour trouver les deux projections, $m$ et $n$, sur l'hypoténuse. Enfin, il calcule $h$ en appliquant la relation sur la hauteur ($h^2 = m \cdot n$).

• Méthode de Nerea : Elle calcule d'abord l'hypoténuse $a$ avec Pythagore. Puis elle égalise deux expressions de l'aire du triangle (le produit des côtés de l'angle droit divisé par deux et l'hypoténuse multipliée par la hauteur divisée par deux : $\frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$) pour isoler directement $h$.

1. a) Développer pas à pas les deux méthodes et vérifier qu'on obtient le même résultat.
2. b) Si les côtés de l'angle droit mesuraient des valeurs décimales non exactes (par exemple $b = 13,4\text{ cm}$ et $c = 18,1\text{ cm}$), laquelle des deux méthodes serait la plus avantageuse et la moins sujette à l'accumulation d'erreurs d'arrondi ? Justifier votre choix en analysant le nombre d'étapes et les opérations nécessaires dans chaque cas.

Sur un terrain en forme de triangle rectangle, on a tracé un fossé d'irrigation qui coïncide avec la hauteur issue de l'angle droit et mesure $12$ m. Si le rapport entre les deux segments que ce fossé détermine sur l'hypoténuse est $\frac{9}{16}$, calculer les dimensions des trois côtés qui délimitent le terrain.

Dans un triangle rectangle, la projection du plus petit côté de l'angle droit sur l'hypoténuse mesure $x$ cm, la projection du plus grand côté mesure $(x+5)$ cm, et la hauteur relative à l'hypoténuse mesure $(x+2)$ cm. Poser l'équation correspondante, déterminer la valeur de $x$ et calculer l'aire totale du triangle.

Dans un triangle rectangle, le rapport entre les carrés des côtés de l'angle droit est $\frac{b^2}{c^2} = \frac{9}{16}$. Si l'hypoténuse mesure $50$ cm, utiliser la relation de proportionnalité déduite des relations sur les côtés de l'angle droit pour déterminer d'abord les projections des deux côtés sur l'hypoténuse, puis la longueur exacte des côtés de l'angle droit.